福建省宁德市2025-2026学年高一数学上学期期末质量检测试题 (一)【含答案】

宁德市2025-2026学年度高一数学上学期期末质量检测试题（满分：150分时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，，，若，则实数a的值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B解析：，，，，，，解得，即，，符合题意.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B解析：，即或，即是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.角是第二象限角，其终边与单位圆交于点P，若点P的纵坐标为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C解析：依题意，点在第二象限，纵坐标为，则点的横坐标为，所以.故选：C.4.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】B解析：解：当时，对一切实数都成立，故符合题意；当时，要使不等式对一切实数都成立，则，综上：故选：B.5.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A. B.2 C. D.【答案】A解析：函数是定义在上的奇函数，，又当时，，.故选：A.6.已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B解析：由或.所以.当时，；当时，；当时，.综上可得，.故选：B7.设函数，，若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C解析：解法一因为，均是偶函数，所以只需考虑在上的零点情况，（1）当时，，在上单调递增，在上单调递减，可得，即，解得（2）当时，，，所以两函数图象没有交点，所以无零点.综上所述，a的取值范围为.解法二，，易知为偶函数，故只需考虑的零点情况.当时，恒成立，不存在零点；当时，上单调递增，要使在区间内存在零点，只需，，得，又也符合题意，得.综上a的取值范围为.解法三令得，函数的零点问题转化为函数与在区间的交点问题.如图可知，a的取值范围为.故选：C.8.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是“悬链线”.在适当坐标系下，该曲线的解析式为，称为双曲余弦函数，与之对应的函数称为双曲正弦函数.若对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C解析：依题意得，令，，则，故原式化简为，即在上恒成立，于是，所以a的取值为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B. C. D.【答案】AC解析：因为函数在上单调递增，所以.所以，故选项A正确；因为在上单调递减，所以，故选项B错误；因为，所以，，且，所以成立，故选项C正确；由，两边同乘以，因为，所以，故选项D错误.故选：AC10.下列各式计算结果为1的是（）A. B.C. D.【答案】BD解析：，，，，，.故选：BD.11.已知函数，则（）A.是的一个周期B.的值域为C.直线是函数图象的一条对称轴D.函数在区间上有7个零点【答案】BCD解析：由，可得是偶函数，是的一个周期，当时，，如图画出函数图象，，，所以不是的一个周期，故A错；由图可知的值域为，故B对；，所以直线是函数图象的一条对称轴，故C对；令，即，由图可得函数与的图像有7个交点，故D对.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.【答案】解析：原式.故答案为：13.若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________.【答案】（不唯一）解析：先假设为一次函数，设，则.所以函数都满足条件.故答案为：（不唯一）14.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量会按确定的比率衰减，若经过4个小时他血液中的酒精含量下降到原来的一半.那么他停止喝酒后，至少经过__________小时才能驾驶.（结果保留整数，参考数据：）【答案】10解析：因为驾驶员体内的酒精含量是按确定的比率衰减，设t小时后驾驶员体内的酒精含量为，，依题意得：，解得由，得，整理得，两边取对数解得所以他停止喝酒后，至少经过10小时才能驾驶.故答案为：10.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）（1），即，.当时，，，，..（2）“”是“”的充分条件，，，所以a的取值范围是.16.已知函数.（1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性；（2）求不等式的解集.【答案】（1），偶函数，证明见解析（2）（1）依题意得解得，所以函数的定义域为判断为偶函数，又的定义域关于原点对称，所以是偶函数.（2）解法一：所以可化为因为在定义域内单调递增，故有，解得或又因为的定义域为，所以的解集为解法二：因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减.故可化为，所以，即或，又因为的定义域为，故的解集为17.函数（，，）在一个周期内的图象如图所示.（1）求的解析式和单调递增区间；（2）将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的，得到的图象.若，且，求的值.【答案】（1），.（2）（1）由图可得且，，，，，，代入，，，，，，，令，的单调递增区间为.（2）依题意得，，，，又，，，，所以的值为.18.（，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”.（1）若，判断函数在上的单调性，并用定义证明；（2）若两个不相等的正数m，n满足，求证：；（3）若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）上单调递增，证明见解析（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析（1）在上单调递增，理由如下：证明：任取，且，，则因为，故且于是，即，所以在单调递增（2）依题意得，，即，整理得因为，所以，即又依题意m，，故因为，故等号不成立，所以（3）假设存在实数，使得在的值域是，易知，因为定义域为，区间是连续区间，故符号相同当时，因为，故，即由（1）可知，在单调递增，于是，即，故有，得，这与矛盾，故无解同理，当时，可得.由，可得是奇函数，由对称性可知在单调递增.于是，得，解得，这与矛盾，故无解.综上所述，不存在符合要求实数s，t.19.已知直线，于点E，于点，是线段上一定点，，.，分别是，上的动点（，均位于线段的右侧）.设.（1）如图1，若，请写出的面积关于角的函数解析式，并求的最小值：（2）如图2，若是等边三角形，求值；（3）如图3，若，当时