与对话高三数学（文）一轮复习课时跟踪训练第九章平面解析几何课时跟踪训练51

课时跟踪训练(五十一)[基础巩固]一、选择题1．(2017·江西九江一模)若双曲线mx2＋2y2＝2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为()A．2eq\r(5)B.eqB.\r(5)C．2eq\r(3)D.eqD.\r(3)[解析]双曲线方程为y2－eq\f(x2,－\f(2,m))＝1，∴－eq\f(2,m)＝4，∴m＝－eq\f(1,2)，双曲线的焦距为2eq\r(5)，故选A.[答案]A2．(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2)) D．(1,2)[解析]依题意得，双曲线的离心率e＝eq\r(1＋\f(1,a2))，因为a>1，所以e∈(1，eq\r(2))，选C.[答案]C3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A.eq\f(1,3)B.eqB.\f(1,2)C.eqC.\f(2,3)D.eqD.\f(3,2)[解析]解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－eq\f(y2,3)＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴；又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝eq\f(1,2)|PF|·|AP|＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).故选D.解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－eq\f(y2,3)＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以eq\o(AP,\s\up16(→))＝(1,0)，eq\o(PF,\s\up16(→))＝(0，－3)，所以eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(PF,\s\up16(→))＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝eq\f(1,2)|PF||AP|＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).故选D.[答案]D4．(2017·天津卷)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1[解析]由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)，又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝eq\r(3)，∴双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.[答案]D5．(2018·广东六校联盟联考)设F1，F2是双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．4eq\r(2)B．8eq\r(3)C．24D．48[解析]依题意，得F1(－5,0)，F2(5,0)，|F1F2|＝10.∵3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|＝eq\f(4,3)x.由双曲线的性质知eq\f(4,3)x－x＝2，解得x＝6.∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，∴∠F1PF2＝90°，∴△PF1F2的面积＝eq\f(1,2)×8×6＝24.故选C.[答案]C6．(2016·天津卷)已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(3y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(4y2,3)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1[解析]根据对称性，不妨设点A在第一象限，其坐标为(x，y)，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y＝\f(b,2)x))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,\r(b2＋4))，,y＝\f(4,\r(b2＋4))·\f(b,2)，))则xy＝eq\f(16,b2＋4)·eq\f(b,2)＝eq\f(b,2)⇒b2＝12.故所求双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，故选D.[答案]D二、填空题7．若双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，焦距为10，则该双曲线的方程为__________．[解析]设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，焦距2c＝10，c2＝25，当λ>0时，eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,\f(λ,4))＝1，λ＋eq\f(λ,4)＝25，∴λ＝20；当λ<0时，eq\f(y2,－\f(λ,4))－eq\f(x2,－λ)＝1，－λ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(λ,4)))＝25，∴λ＝－20.故该双曲线的方程为eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1或eq\f(y2,5)－eq\f(x2,20)＝1.[答案]eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1或eq\f(y2,5)－eq\f(x2,20)＝18．(2018·银川第二中学月考)若以双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点和点P(1，eq\r(2))为顶点的三角形为直角三角形，则b等于__________．[解析]设双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，依题意，kPF1·kPF2＝eq\f(\r(2),1＋c)·eq\f(\r(2),1－c)＝－1，∴c2＝3，b2＝1，∴b＝1.[答案]19．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．[解析]双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝eq\f(|ba－a×0|,\r(b2＋a2))＝eq\f(ab,c)，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝eq\f(ab,c)，即eq\f(\r(3)b,2)＝eq\f(ab,c)，所以e＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).[答案]eq\f(2\r(3),3)三、解答题10．如图，已知F1、F2为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程．[解](1)∵∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝30°.在Rt△PF2F1中，|PF1|＝eq\f(|F1F2|,cos∠PF1F2)＝eq\f(2c,cos30°)＝eq\f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝eq\f(1,2)|PF1|＝eq\f(2\r(3)c,3)，又|PF1|－|PF2|＝2a，即eq\f(2\r(3),3)c＝2a，eq\f(c,a)＝eq\r(3)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).(2)对于双曲线，有c2＝a2＋b2，∴b＝eq\r(c2－a2).∴eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2－1)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2).∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.[能力提升]11．(2017·广东佛山一中段考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2＋y2＝a2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D，且|CD|＝|CF2|，则双曲线的离心率为()A.eq\r(6)B.eqB.\r(5)C.eqC.\r(3)D.eqD.\r(2)[解析]∵过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，且|CD|＝|CF2|，∴|DF1|＝2a，由题意，切线的斜率为eq\f(a,b)，切线方程为y＝eq\f(a,b)(x＋c)，与y＝－eq\f(b,a)x垂直，∴2a＝b，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，故选B.[答案]B12．(2017·吉林长春市二模)已知双曲线C1：eq\f(x2,4)－y2＝1，双曲线C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是()A．32B．16C．8D．4[解析]双曲线C1：eq\f(x2,4)－y2＝1的离心率为eq\f(\r(5),2)，设F2(c,0)，双曲线C2一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，可得|F2M|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，即有|OM|＝eq\r(c2－b2)＝a，由S△OMF2＝16，可得eq\f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，且eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，解得a＝8，b＝4，c＝4eq\r(5)，即有双曲线的实轴长为16，故选B.[答案]B13．(2017·江西上饶一模)已知双曲线方程为eq\f(x2,m2＋4)－eq\f(y2,b2)＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞))[解析]由题意，eq\f(2b2,a)＝2，a≥2，∴b＝eq\r(a)，∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(1,a))≤eq\f(\r(6),2)，∵e>1，∴1<e≤eq\f(\r(6),2).[答案]A14．(2018·山东日照模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，其右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B，D，使△ABD为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．[解析]双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，要使△ABD为正三角形，则只需过右顶点A，且斜率为eq\f(\r(3),3)的直线与双曲线有两个不同的交点，即只需该直线的斜率大于渐近线y＝eq\f(b,a)x的斜率．∴eq\f(\r(3),3)>eq\f(b,a)，∴b<eq\f(\r(3),3)a.即b2<eq\f(1,3)a2，则c2<a2＋eq\f(1,3)a2，即c<eq\f(2\r(3),3)a，则e<eq\f(2\r(3),3)，又e>1，所以1<e<eq\f(2\r(3),3).[答案]1<e<eq\f(2\r(3),3)15．(2017·云南省高三统一检测)已知双曲线M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，与双曲线M的两条渐近线交于C，D两点．若|AB|＝eq\f(3,5)|CD|，则双曲线M的离心率是________．[解析]设双曲线的右焦点为F(c,0)，易知，|AB|＝eq\f(2b2,a).该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，当x＝c时，y＝±eq\f(bc,a)，所以|CD|＝eq\f(2bc,a).由|AB|＝eq\f(3,5)|CD|，得eq\f(2b2,a)＝eq\f(3,5)×eq\f(2bc,a)，即b＝eq\f(3,5)c，所以a＝eq\r(c2－b2)＝eq\f(4,5)c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4).[答案]eq\f(5,4)16．设A，B分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4eq\r(3)，焦点到渐近线的距离为eq\r(3).(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝eq\f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M，N两点，O为坐标原点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(ON,\s\up16(→))＝teq\o(OD,\s\up16(→))，求t的值及点D的坐标．[解](1)由题意知a＝2eq\r(3).∵一条渐近线为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，右焦点的坐标为(c,0)，∴由焦点到渐近线的距离为eq\r(3)，得eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝eq\r(3).∴b2＝3，∴双曲线的方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线的方程y＝eq\f(\r(3),3)x－2代入双曲线的方程eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1，得x2－16eq\r(3)x＋84＝0，则x1＋x2＝16eq\r(3)，y1＋y2＝eq\f(\r(3),3)(x1＋x2)－4＝12，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\o\al(2,0),12)－\f(y\o\al(2,0),3)＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4\r(3)，,y0＝3，))∴t＝4，点D的坐标为(4eq\r(3)，3)．[延伸拓展]1．(2017·福州市高三质量检测)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与AF2相切于点Q.若|AQ|＝eq\r(3)，则双曲线E的离心率是()A．2eq\r(3)B.eqB.\r(5)C.eqC.\r(3)D.eqD.\r(2)[解析]如图所示，设△PAF2的内切圆与PF2相切于点M.依题意知，|AF1|＝|AF2|，根据双曲线的定义，以及P是双曲线E右支上一点，得2a＝|PF1|－|PF2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF1|＝|AF1|＋|PA|＝|AF1|＋(|PM|＋|AQ|)，|PF2|＝|PM|＋|MF