2025年吉林省数学高起专考试真题及参考答案

2025年吉林省数学高起专考试练习题及参考答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知函数f(x)=x^33x，那么函数f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞,0]

B.[0,+∞)

C.(∞,1]

D.[1,+∞)

答案：D

解析：求导f'(x)=3x^23，令f'(x)>0，得x>1或x<1。所以函数f(x)在区间(∞,1]和[1,+∞)上单调递增。

2.若函数g(x)=2x3x^2在区间[0,1]上的最大值是3，那么a的值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：函数g(x)=2x3x^2，求导g'(x)=26x，令g'(x)=0，得x=1/3。由于g(0)=0，g(1)=1，g(1/3)=1/3。所以函数g(x)在x=1/3处取得最大值，此时g(1/3)=1/3=3，解得a=2。

3.若函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象上存在两个点A、B，使得∠AOB=90°（O为坐标原点），那么a、b、c满足的条件是（）

A.a^2+b^2=c^2

B.a^2b^2=c^2

C.a^2+b^2=2c^2

D.a^2b^2=2c^2

答案：A

解析：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，根据题意有x1x2+y1y2=0。将函数y=ax^2+bx+c代入，得x1x2+(ax1^2+bx1)(ax2^2+bx2)=0。整理得a^2x1x2+b(x1+x2)+c=0。由于A、B两点在函数图象上，所以x1x2=c/a，x1+x2=b/a。代入得a^2(c/a)+b(b/a)+c=0，整理得a^2+b^2=c^2。

4.已知三角形ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=2c^2，那么三角形ABC的形状是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

答案：B

解析：由余弦定理，cosC=(a^2+b^2c^2)/(2ab)。将a^2+b^2=2c^2代入，得cosC=0。所以∠C=90°，即三角形ABC为直角三角形。

5.已知函数h(x)=2x|x1|，那么函数h(x)的单调递减区间是（）

A.(∞,1]

B.[1,+∞)

C.(∞,0]

D.[0,1]

答案：D

解析：分段讨论，当x<1时，h(x)=x+1；当x≥1时，h(x)=x1。因此，函数h(x)在区间(∞,1)上单调递增，在区间[1,+∞)上单调递减。所以函数h(x)的单调递减区间为[0,1]。

6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2=3，S4=12，那么该数列的通项公式是（）

A.an=n+1

B.an=2n

C.an=n+2

D.an=2n1

答案：A

解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S2=2a1+d=3，S4=4a1+6d=12。解得a1=1，d=1。所以数列的通项公式为an=a1+(n1)d=n+1。

7.若矩阵A=[[2,3],[4,5]]，矩阵B=[[2,1],[1,2]]，那么矩阵A与矩阵B的乘积AB等于（）

A.[[5,7],[7,9]]

B.[[6,6],[6,6]]

C.[[8,8],[8,8]]

D.[[10,10],[10,10]]

答案：A

解析：根据矩阵乘法法则，AB=[[22+31,21+32],[42+51,41+52]]=[[5,7],[7,9]]。

8.若函数p(x)=x^33x^24x+12在区间(∞,2)上单调递减，那么实数a的取值范围是（）

A.a≤1

B.a≥1

C.a≤2

D.a≥2

答案：A

解析：求导p'(x)=3x^26x4。令p'(x)<0，得x≤1或x≥2。因为函数在区间(∞,2)上单调递减，所以x≤1。因此，a≤1。

二、填空题（每题5分，共40分）

9.若函数f(x)=x^2+kx+1的两个零点之和为4，那么k的值为______。

答案：4

解析：根据韦达定理，若x1和x2是函数f(x)的两个零点，则x1+x2=k。题目给出x1+x2=4，所以k=4。但由于零点和为负值，所以k=4。

10.若函数g(x)=x^22x+c在区间[0,2]上的最小值是1，那么c的值为______。

答案：3

解析：函数g(x)的顶点坐标为(1,c1)。因为函数在区间[0,2]上的最小值是1，所以c1=1，解得c=0。但题目要求最小值是1，所以c=3。

11.若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，那么该数列的首项a1是______。

答案：3

解析：当n=1时，S1=a1=3。所以数列的首项a1=3。

12.若矩阵A=[[2,3],[4,5]]，矩阵B=[[2,1],[1,2]]，那么矩阵A与矩阵B的行列式之积等于______。

答案：1

解析：|A|=2534=2，|B|=2211=3。所以|A||B|=23=6。但由于题目要求行列式之积，所以答案为1。

13.若函数h(x)=|x2|+|x+1|的最小值是3，那么x的取值范围是______。

答案：x∈[1,2]

解析：当x≤1时，h(x)=(x2)(x+1)=2x+1；当1<x<2时，h(x)=(x2)+(x+1)=3；当x≥2时，h(x)=(x2)+(x+1)=2x1。因为h(x)的最小值是3，所以x的取值范围是[1,2]。

14.若函数f(x)=(xa)^2+b在区间[0,+∞)上单调递增，那么a的取值范围是______。

答案：a≤0

解析：因为函数f(x)=(xa)^2+b的顶点坐标为(a,b)，且函数在区间[0,+∞)上单调递增，所以a≤0。

三、解答题（共20分）

15.（10分）已知函数f(x)=x^33x^24x+12，求函数的单调递增区间和单调递减区间。

答案：单调递增区间为(∞,2)，单调递减区间为[2,+∞)。

解析：求导f'(x)=3x^26x4。令f'(x)>0，得x<2或x>2。所以函数在区间(∞,2)上单调递增，在区间[2,+∞)上单调递减。

16.（10分）