2026年河南省开封高中高三下学期学情调研数学试题级答案

试卷第=page44页，共=sectionpages44页河南省开封高级中学2026届高三下学期学情调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数满足：，为虚数单位，为的共轭复数，则（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．一组数据：1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，则关于这组数据的结论错误的是（

）A．平均数为2 B．众数为1C．极差为3 D．中位数为4．已知向量，，则（

）A．2 B． C．3 D．5．过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（

）A． B． C． D．6．已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（

）A．2 B． C． D．7．已知，满足：，的最大值为，则（

）A． B． C． D．8．在等比数列中，，公比，也是中的项（），当最小时，对应的，，则的通项公式为（

）参考公式：．A． B． C． D．二、多选题9．在直三棱柱中，，，为线段的中点，则下列正确的有（

）A．直线平面B．C．直线与直线所成的角为D．到平面距离为10．已知函数，则下列正确的有（

）A．的一个周期为B．的图象关于点中心对称C．是图象的一条对称轴D．的值域为11．已知等差数列满足：，公差，其前项和为，且，则下列正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．的最小值为2 D．的取值范围是三、填空题12．，，则实数的值为______．13．在正四棱台中，，，为线段的中点，则三棱锥的体积为______．14．如图，过作两条不同的直线，且分别交抛物线于四点，分别交轴于两点，以为直径作圆，过原点作的切线，则切线段的长度为______．四、解答题15．如图，实地测量中，在岸边选了3个位置在对岸处，下面得到了一些参数．已知：，，，．(1)求的长度；(2)求的值．16．在长方体中，，，为线段的中点，．(1)求的长度；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17．甲、乙两人进行投篮，两人每次投进的概率分别为，．(1)若甲、乙两人各投篮一次，“两人总投进次数”，求的值；(2)若甲投篮3次，乙投篮2次，比较两人所投进的球数，进球多者胜出，求甲胜出的概率．18．已知双曲线的离心率为，右焦点为，是双曲线上一点，轴，．(1)求双曲线的标准方程．(2)过点作斜率为的直线交该双曲线于两点，且．（ⅰ）求的值；（ⅱ）若点不在直线上，且点满足：平分，求面积的最大值．19．已知函数．(1)证明：．(2)对于任意的，求解下列问题．（ⅰ）已知函数，证明：有两个不同的实数根：；（ⅱ）若，证明：．答案第=page1010页，共=sectionpages1212页《河南省开封高级中学2026届高三下学期学情调研数学试题》参考答案1．D【详解】，故．2．C【分析】解出集合后利用交集定义即可得.【详解】由可得，则，故．3．D【详解】平均数：，A正确；众数为1，B正确；极差：，C正确；将10个数排列：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4，可知：中位数为2，故D错误．4．B【分析】根据数量积坐标公式及运算律，即可得答案.【详解】由题意，所以，而，所以．5．B【分析】通过设切点，求导得斜率，再利用切线过原点表示斜率，列方程得切点坐标，即得斜率.【详解】设切点坐标为，切线的斜率为，显然不合题意，时，，，解得,故.6．C【分析】先求出直线的方程，再根据同解可求的值.【详解】设，，直线的斜率为，由已知，则，，，，两式相减整理得：，故可得：，故直线，由可得，由可得，由题设，两个方程均有解，故，故．7．A【分析】根据三角换元结合三角恒等变换即可求解.【详解】，令，，，代入整理得：即的最大值为，即．8．D【分析】通过利用等比数列的通项公式、乘积性质以及“是数列中的项”这一条件建立关系，验证时符合题意，即可求得通项.【详解】因为是等比数列，首项，公比，所以，，由题意可知：为非负整数，因为为奇数，而是非负整数，则必须为偶数，即为奇数，又，取检验知：时符合题意，，与相除得：，则可得，，故．9．ABD【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，对A，求直线的方向向量和平面的法向量，验证方向向量与法向量垂直，结合线不在面内判定；对B，计算和​的数量积判断；对C，利用异面直线夹角公式，计算两个方向向量夹角的余弦绝对值判断；对D，求出平面的法向量，代入距离公式计算验证.【详解】以为原点，​分别为轴，由，得各点坐标：，对于选项A：，平面中，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以是平面的一个法向量，因为，故，且不在平面内，因此平面，A正确；对于选项B：，因为，所以，B正确；对于选项C：，设异面直线与所成角为，则，得，C错误；对于选项D：，设平面的法向量，则，即，令，则，所以是平面的一个法向量，又，所以点到平面的距离：，D正确.10．ACD【详解】,，所以，故A正确；，故C正确；因为函数的周期为，故可取一个周期长度的区间来解函数的值域，令，则，则，由定义域可去掉绝对值号，故，所以的值域为，所以D正确；由D正确可知：的图象上没有函数值小于0的点，的图象不可能关于点中心对称，故B错误．11．AB【分析】由等差数列的性质及前项和公式，结合可得，即.代入，求出，判断A；根据，解不等式可判断B；用表示，进而表示，利用基本不等式，可判断C；用表示，根据，求得的取值范围，判断D.【详解】由题可知，，所以.因为，公差，所以，故，即.当时，，故A正确.若，则，所以，即，故，故B正确.由，得.所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3，故C错误.由，得，即，解得，故D错误．12．或2【分析】利用赋值法，分别令和，结合条件，可得关于m的方程，求解即可.【详解】令，则令，则，所以，整理得，解得或2．13．【分析】证明平面，利用等体积法求解即可.【详解】连接交于点，则，且，故四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面，因为，，四边形中，作于，中，，，故，所以．14．【分析】设，，，，方程设为，直线和抛物线联立方程组，利用韦达定理得到的值，同理得到的值，设，，方程设为，直线和抛物线联立方程组，利用韦达定理得到的值，同理得到的值，求出值，从而得到的值，设，利用勾股定理求出切线段长，将，代入圆的方程分别得到一个等式，将这两个等式相减，得到，代入切线段长得解.【详解】设，，，，方程设为，代入，得，同理，设，，方程设为代入，得，得，同理，两式相乘得：，又，故，设，切线段长为：，将代入圆的方程得：（*），同理（**），两式相减得：，故，代入（*）得：，故所求切线段的长度：．故答案为：.15．(1)(2)．【分析】（1）利用余弦定理即可求出；（2）延长交于点，先在中，求出的值，再利用正弦定理求出的长，最后设，由即可求出.【详解】（1）在中，，．（2）延长交于点，则，所以为等边三角形，，，由，得，在中，，在中，由正弦定理可得，，则，在中，设，由，可得，则．故的值为．16．(1)(2)【分析】（1）借助线面垂直性质定理与线面垂直判定定理可得平面，则可得，从而可得，再设，可得，解出即可得；（2）建立适当空间直角坐标系后，可求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得.【详解】（1）因为平面，且平面，所以，又，又，平面，所以平面，又平面，则，则，故，故，设，则，则，故的长度为；（2）如图，以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则有，可得，取，则，，即，，则所求线面角的正弦值等于.17．(1)(2)【分析】（1）先确定的取值，再根据独立事件可求相应的概率，得到分布列后根据公式求得期望；（2）就甲投进的次数分类讨论，再利用独立事件的概率公式求相应的概率.【详解】（1）易知的可能取值为0，1，2，则，，，分布列如下：012故．（2）甲胜出的情况如下：甲投进1次，乙投进0次的情况：，甲投进2次，乙投进0次或1次的情况：，甲投进3次的情况：，故甲胜出的概率．18．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）．【分析】（1）将代入双曲线方程，可得，得到，再由，联立求得的值，即可求解；(2)（ⅰ）求得方程为，联立方程组，求得交点坐标，再由，转化为，即可求解；（ⅱ）设，得到，化简得到点的轨迹是一个圆，且圆心满足的方程，进而求得面积最大值.【详解】（1）解：设双曲线的右焦点为，将代入双曲线方程，可得，因为是双曲线上一点，轴，且，所以，又因为双曲线的离心率为，所以，即，因为，可得，所以双曲线的标准方程为．（2）解：（ⅰ）由（1）知，所以，且,可得直线方程为，即，联立方程组，整理得，即，解得，，所以，，因为，可得，即，解得．（ⅱ）设，由三角形内角平分线的性质，可得，即，即，化简得，所以点的轨迹是一个圆，其圆心为，满足的方程，当面积最大时，高为半径，又由，故面积的最大值为．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）求导，研究导函数的正负，从而得到原函数的单调性，得到最大值.（2）（ⅰ）求导，利用导函数研究原函数单调性，根据零点存在定理，判断零点个数；（