福建宁德第一中学2025-2026学年高三下学期考前模拟考数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，，，则（）A. B. C. D.3.在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（）A. B. C. D.4.已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.圆与的公共弦长为（）A. B. C. D.6.为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.47.已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（）A.0 B. C.3 D.48.已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.C.取得最小值时，D.将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称10.已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（）．A. B. C. D.11.我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为.和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（）A.B.C.，其中D.函数的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________．13.某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种.14.已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，，．（1）求证：为等腰三角形；（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值．条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3．16.在长方体中，，，为棱上一动点.（1）当平面时，求线段的长度；（2）在（1）的条件下，求底面正方形的内切圆上点到平面距离的最大值.17.已知函数．（1）已知曲线在处的切线方程为，求和的值；（2）求证：不是函数的极值点；（3）设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18.已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，求证：；（3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.19.某答题闯关游戏，开始时，先给每位参加者赋分3分，并规定：每答一题，答对加1分，否则减1分；当积分为6分时，闯关成功并结束游戏；当积分为0分时，闯关失败，也结束游戏.甲同学参加该游戏，假如他答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记游戏结束时甲的答题数为.（1）证明：为奇数；（2）当为奇数时，记甲答完第题时积分为4分、2分的概率分别为，，证明：；（3）求的分布列.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由解得，又，所以，因为，所以.2.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由函数的单调性可知：，即,又,故.3.在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：法一：根据复数与复平面内向量的关系，结合三角函数关系计算即可得；法二：借助复数的三角形式及其乘法的几何意义计算即可得.解答过程：法一：复数对应的向量为，则，向量与轴正半轴夹角为，设该向量绕原点沿顺时针方向旋转后所得向量坐标为，则，，即所得向量坐标为，故旋转后的向量对应的复数为；法二：复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转后的向量对应的复数为：.4.已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.解答过程：由，，若，由面面平行的性质知：，所以“”是“”的充分条件；由，，若，则或与相交，所以“”是“”的不必要条件．则“”是“”的充分不必要条件.5.圆与的公共弦长为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：两圆作差即可求得公共弦的直线，点到直线的距离和勾股定理即可求解.解答过程：已知圆，圆，两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：，而圆心到直线的距离为，圆的半径为，所以，所以.故选：D6.为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4答案：B解析：思路：先求出每个取值所对应的概率，再求方差.解答过程：由题可设，则，，所以，解得.所以.7.已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（）A.0 B. C.3 D.4答案：C解析：思路：由奇函数定义可得，由对称性性质可得，再证明函数为周期为的周期函数，结合周期性性质和奇函数性质求结论.解答过程：因为是定义在上的奇函数，所以，因为的图象关于对称，，令可得，，所以，故函数的一个周期为4，所以．8.已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，利用坐标运算求得正三棱锥底面边长和高，从而可得外接球半径，又过点作球的截面，当时，截面面积的最小，可得解.解答过程：如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线，如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则所以，由于，所以，则，所以，因为，则解得，设，则，则，得，所以，过点作球的截面，当时，截面面积的最小，，所以截面圆半径为，则面积为.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.C.取得最小值时，D.将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称答案：AC解析：思路：由最小正周期公式及图象可判断A；代入点，计算出的值，可判断B；利用三角函数求出取得最小值时的，可判断C；根据平移法则，得到平移后的函数，再根据三角函数的奇偶性的判定可判断D.解答过程：由图象得：，解得，故A正确；由，，得，又由图象知，将点代入中得：

，即

，解得

，又因为

，所以

，故选项B错误；因为函数

，令，即

，解得

，故选项C正确；将图象向左平移

个单位，得

，，图象不关于原点对称，故选项D错误.故选：AC10.已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（）．A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：由等比数列的性质结合已知条件计算，即可判断各个选项.解答过程：由已知，，C正确；则，B正确；又，则，A正确；则，D错误.11.我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为.和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（）A.B.C.，其中D.函数的最小值为答案：ABC解析：思路：对于A：构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于B：对，，取对数整理即可；对于C：设，整理得，结合选项A分析判断；对于D：结合不等式分析可知，当且仅当时，等号成立，结合的零点分析判断.解答过程：对于选项A：构建，则为的零点，因为，若，则，可知在内单调递减，且，所以在内无零点；若，则，可知在内单调递增，且，所以在内存在唯一零点；综上所述：，故A正确；对于选项B：因为，，即，两边取对数可得：，故B正确；对于选项C：设，则，整理得，即，可得，所以，即，故C正确；对于选项D：构建，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，可得，当且仅当时，等号成立，则，当且仅当，即时，等号成立，因为在内单调递减，可知在内单调递减，且，可知在内存在唯一零点，即，所以的最小值为，不为，故D错误；故选：ABC.方法提示：方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________．答案：解析：解答过程：根据投影向量的定义：向量在方向上的投影向量为

​,则由题意可得：，因为，所以.13.某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种.答案：10解析：思路：先计算甲负责第一关时的情况，再减去乙、丙在同一关卡的情况即可.解答过程：已知甲负责第一关，从剩余4人中选2人去第四关，共种选法，剩下2人全排列去第二、三关，共种排法，总方案数为6×2=12，不符合条件（乙丙同关卡）的情况：因为第二、三关都只有1个位置，乙丙只能同时在第四关，此时剩下2人全排列去第二、三关，共种，因此符合条件的方案数为12−2=10.14.已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为__________.答案：解析：思路：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为，延长交双曲线于点，即可得到，设，即可表示出，，再由及余弦定理得到，从而表示出，结合椭圆的离心率求出的范围.解答过程：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为，延长交双曲线于点，因为，由对称性得.设，则，由双曲线的定义得，，由，知，化简得，所以，则椭圆的离心率为，又椭圆的离心率的取值范围为，所以，又，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，，．（1）求证：为等腰三角形；（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值．条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）设，根据余弦定理及已知可得，所以，可得结果；（2）若选择条件①，可得，可得，与已知矛盾；若选择条件②，根据平方关系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果.（1）在中，，，设，根据余弦定理，得，整理得，因为，解得（负值已舍去），所以，所以为等腰三角形.（2）若选择条件①：若，由（1）可知，及，所以，所以不存在.若选择条件②：在中,由,由（1），所以，解得（负值已舍去），即.若选择条件③：在中，由边上的高为3，得，由，解得.16.在长方体中，，，为棱上一动点.（1）当平面时，求线段的长度；（2）在（1）的条件下，求底面正方形的内切圆上点到平面距离的最大值.答案：（1）1（2）解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可求线段长；（2）设内切圆上的点坐标为：P1+cosθ,1+sinθ（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则，设，则，.设平面的法向量为，则：n令，解得，故.因为平面，所以.即，解得.所以线段的长度为1.（2）由（1）知，，，平面的法向量，底面正方形的内切圆圆心为，半径.设内切圆上的点坐标为：P1+cosθ,1+则A1所以A1点到平面距离d=A1P⋅设，，则f(=35=35sinφ当sinφ+θ=−1时，所以点到平面距离的最大值为dmax=317.已知函数．（1）已知曲线在处的切线方程为，求和的值；（2）求证：不是函数的极值点；（3）设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．答案：（1），（2）证明见详解（3）存在，解析：思路：（1）根据导数即可求解；（2）根据、两种情况分析即可证明；（3）根据、、三种情况分析的导数，并据此求出最值，并根据题干求出对应a的值，判断是否符合情况即可．（1），由题意，解得，，解得．（2），且，①当时，，令，求导得，时，，单调递减；时，，单调递增；故在处取得最小值，即恒成立，因此不是极值点；②当时，，不可能是极值点；综上，不是函数的极值点．（3），，求导，①，此时恒成立，在上单调递减，最小值在处，即，令，得，与矛盾，舍去；②，即，此时在上为负，单调递减；在上为正，单调递增，最小值在处，即，令，得，满足，成立；③，即此时在上恒成立，单调递减，最小值在处，即，令，得，与矛盾，舍去；综上，存在，使得在上的最小值为2．18.已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，求证：；（3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.答案：（1）（2）证明见解析（3）是，定值为解析：思路：(1)利用双曲线的渐近线方程可设出双曲线的方程，再将点的坐标代入即可求解；(2)要证，只需证即可；(3)构造直角三角形，利用锐角三角函数即可求出定值.（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线方程为，又双曲线过点，则，所以双曲线的方程为，即.（2）由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为，联立，消去得，设，由题意得，所以，且，所以，所以，即得证