甘肃庆阳市华池县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 含答案

/甘肃庆阳市华池县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知复数满足，则（）A．1 B． C． D．2．已知复数是虚数单位，则（

）A． B． C． D．3．已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．的值是（

）A． B． C． D．5．已知，是单位向量，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．已知在中，，且，则的形状为()．A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等腰直角三角形7．在中，，，，若，则等于（

）A．7 B．8 C．12 D．138．在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（

）A．的虚部为 B．为纯虚数 C．的实部为1 D．是实数10．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（

）

A．B．C．D．若，则11．下列各式中，值为的是（

）A． B． C． D．三、填空题12．化简__________．13．若复数为虚数单位，，则______14．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则的周长为______.四、解答题15．已知向量，求：(1)若﹐求；(2)若，求的值．16．已知分别为的三个内角的对边，且，，．(1)求及的面积；(2)若为边上一点，且，求的正弦值．17．已知，，且，．(1)求的值；(2)求的值．18．如图，在平面四边形ABCD中，，，，．(1)求线段BC的长度；(2)求线段AC的长度；(3)求的值．19．已知，且，当时，定义平面坐标系为“仿射”坐标系，在“仿射”坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：，分别为轴，轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么，(1)在“仿射”坐标系中，下列结论是否仍然成立：①设，则；②设，，若，则；(2)设，，证明：的充要条件是；(3)设，，若与的夹角为，求的值.《甘肃庆阳市华池县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题》答案题号12345678910答案DDCDCACBBCDBCD题号11答案ABD1．D【分析】根据条件，利用复数的运算法则得，再利用复数的模长的计算公式，即可求解.【详解】由，得到，所以，则，故选：D.2．D【分析】利用复数的四则运算法则及共轭复数的概念计算即可.【详解】由复数的四则运算可得：，则有.故选：D.3．C【分析】直接根据投影向量公式求解.【详解】由题意得，在方向上的投影向量.故选：C4．D【分析】利用降幂公式求解【详解】.故选：D.5．C【分析】由数量积性质，直接将向量的模转化为向量的数量积进行运算，解出夹角余弦值，进而根据范围求角．【详解】由，得，即，设单位向量与的夹角为θ，则有，解得，又，所以．故选：C.6．A【详解】∵，∴∴90°<∠BAC<180°，故是钝角三角形．A点睛:这个题目考查了向量数量积的运算，两个向量数量积小于0，则夹角不一定是钝角，还有可能是平角，反之，当两个向量的夹角是钝角时，则向量数量积一定是小于0的．对于锐角时，向量数量积一定大于0，向量数量积大于0，不一定是锐角，也可能是．7．C【分析】建立平面直角坐标系，通过数量积的坐标运算即可求解.【详解】如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.过作，且，连接，延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，.又，为边的中点.根据条件得，，，，，，.故选：C.

8．B【分析】由余弦定理结合条件，得，再由余弦定理结合基本不等式求得的最小值，进而得到的最大值，再求的面积的最大值即可.【详解】在中，又∵，∴故，∵,∴,所以，当且仅当时取等号，所以的面积的最大值为．故选：B.9．BCD【分析】利用复数除法求出，再逐项判断即得.【详解】依题意，，对于AC，的实部是1，虚部是，A错误，C正确；对于B，是纯虚数，B正确；对于D，是实数，D正确．故选：BCD10．BCD【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算结合给定图形计算判断ABC；利用数量积的定义及运算律计算判断D作答.【详解】在中，为的中点，为的中点，，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，由，有，C正确；对于D，依题意，，于是，D正确.故选：BCD11．ABD【分析】根据诱导公式可判断A；由二倍角的正弦公式可计算B；由二倍角的余弦公式可判断C；由诱导公式可计算D.【详解】对于A：，所以A正确对于B：，所以B正确对于C：，所以C不正确对于D：，所以D正确，故选：ABD.12．【分析】利用平面向量的减法运算求解.【详解】解：，故13．【分析】根据复数的运算法则，求得，得到复数对应点，设，由，得到，结合圆的性质，即可求解.【详解】由复数，所以复数对应复平面内的点，设，则复数对应复平面内的点，由，可得，在复平面内，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，如图所示，所以．故．

14．9【分析】由题知，进而结合题意得，，再根据余弦定理解方程即可得答案.【详解】解因为，所以，又因为，所以，又为锐角，所以，由余弦定理得，解得或，因为当时，，此时一定不是钝角，故舍去.所以，所以的周长为.故915．(1)1(2)【分析】（1）利用求出，再利用向量相等的坐标表示即可求出结果；（2）先求出，再利用向量平行的坐标表示即可求出结果.【详解】（1）因为，所以，，所以，又因为，所以，解得，所以.（2）因为，所以，又，所以，即，所以.16．(1)，(2)【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的二次方程，可解出的值，进而可求得的面积；（2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值.【详解】（1）由余弦定理得，整理得，即，因为，解得，所以.（2）由正弦定理得：，所以，在三角形中，因为，则，所以.17．(1)(2)【分析】（1）根据的范围及可求的值；（2）先求，结合和角公式，求出，根据的范围可得角的大小.【详解】（1）因为，所以，因为，所以.（2）因为，，所以，因为，所以，且；.因为，所以.18．(1)(2)(3)【分析】（1）利用三角形的面积公式即可求解；（2）利用（1）的结论及余弦定理即可求解；（3）利用（1）(2)的结论及正弦定理即可求解；【详解】（1）因为，，，所以，解得，所以线段BC的长度为.（2）由（1）知，，在中，由余弦定理可得，解得，所以线段AC的长度为.（3）由（1）（2）知,在中，由正弦定理可得，即，得，又因为，所以在中，由正弦定理可得，即得，故的值为.19．(1)①不成立，②成立；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）根据新定义，应用向量数量积的运算律求得判断①，由向量共线的基本定理有且，即可判断②；（2）应用