甘肃渭源县第四高级中学2025-2026学年第二学期期中试卷高一数学（含答案）

/甘肃省渭源县第四高级中学2025-2026学年第二学期期中试题高一数学考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．一、单选题（本部分共8个小题，每题5分共40分）1.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】因为，所以，所以，所以的虚部为.2.在中，，是上一点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】因为，所以.设，，则.代入，得.又，所以，解得.因此.3.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】借助完全平方公式及二倍角公式可得，结合原式计算即可得解.【详解】由，故，故，故，即.4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（）A.1 B.2 C.3 D.【正确答案】C【分析】已知两边及其中一边所对的角，适合使用余弦定理，把已知的，，代入余弦定理，得到关于的一元二次方程，再结合边长必须为正数确定结果.【详解】在中，由余弦定理得，将已知条件代入，得，即，化简得，整理得，因式分解得，所以或，因为三角形边长为正数，所以.故选项C正确.5.已知，则的值是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角差余弦公式计算求解.【详解】已知，则，则6.在中，，那么此三角形（）A.解的个数不确定 B.无解C.有一解 D.有两解【正确答案】B【分析】借助正弦定理计算即可判断.【详解】由正弦定理可得，即，由，显然无解，故此三角形无解.7.已知向量与的夹角为，，，则的值为（）A. B. C. D.6【正确答案】A【详解】由，则.8.枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，米，，则该塔的高度（）A.米 B.米 C.米 D.米【正确答案】B【分析】设，根据在A处、B处的仰角求出，然后在中利用余弦定理求解.【详解】由题意，设，在中，，，在中，，，在中，，即，则，（米）.二、多选题（本部分共3个小题，每题6分共18分）9.已知向量，，，则下列说法正确的有（）A. B.若，则C.若，则 D.在上的投影向量坐标为【正确答案】BCD【详解】解：选项，由向量的模长公式，所以错误；选项，由，可得，因为，则由向量共线的坐标公式，可得，所以，因此正确；选项，由，，当时，由向量垂直的坐标公式，可得，所以，因此正确；选项，由投影向量坐标公式可得在上的投影向量为，又，，代入得投影向量，所以正确.10.中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（）A.C=B.若，则C.若，则周长为16D.若，则面积的最大值为【正确答案】ABD【分析】利用数量积的坐标表示及和角的正弦求解判断A；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断BCD.【详解】选项A:或,若若与矛盾，故，A正确.选项B:由A知，，若,由余弦定理得：故B正确.选项C:,由余弦定理得：的周长为，故C错误.选项D:,由余弦定理得：,即,,当且仅当时成立,故D正确.11.已知复数，是关于的方程的两根，则（）A. B.C. D.【正确答案】ABC【分析】在复数域解一元二次方程可得，，再利用复数的乘法运算、共轭复数定义、模长公式一一判定选项即可.【详解】根据题意知，所以，不妨令，，则，，，而，故A、B、C正确，D错误.故选：ABC三、填空题（本部分共3个小题，每题5分共15分）12.若向量满足，且与的夹角为，则___________．【正确答案】【分析】利用数量积公式计算即可得.【详解】.13.已知复数的模等于2，则实数的值为______.【正确答案】【详解】复数的模等于2，故，故，解得.14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________.【正确答案】##0.75【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答.【详解】在中，由射影定理及得：，由正弦定理边化角为：，于是得，由得，，即角是钝角，，，当且仅当，即时取“=”，所以tanA的最大值为.故四、解答题（本部分共5个小题，共77分）15.已知在中，为中点，.（1）若，求；（2）若线段上一动点满足，试确定点的位置.【正确答案】（1）（2）点为线段的中点【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值；（2）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论.【小问1详解】因为，所以，可得，因为，，，由平面向量数量积的定义可得，所以，.【小问2详解】因为点在线段上的一点，设，其中，则，所以，，又因为，且、不共线，所以，解得，此时点为线段的中点.16.如图，在平行四边形中，，且．（1）证明：三点共线；（2）连接并延长，交于点．若，证明：函数（且）恒过定点．【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，结合与有公共点证明即可.（2）根据指数型函数的性质求出恒过点，由（1）知，，根据三角形相似得到，进而得到，结合求出的值，代入点验证即可.【小问1详解】平行四边形中，，.因为，所以.，又与有公共点，所以三点共线.【小问2详解】令，则，所以，故函数（且）恒过定点.因为，所以，则.平行四边形中，，，则，所以，即，则，即，所以，又向量与方向相反，所以.又，则，此时点为.故函数（且）恒过定点.17.已知函数.（1）求的单调减区间及对称轴；（2）当时，求函数的值域.【正确答案】（1）单调减区间为；对称轴为（2）【分析】（1）根据三角恒等变换得，再根据正弦函数，结合整体代换求解即可；（2）由题意知，进而结合正弦函数的性质得.【小问1详解】解：，因为正弦函数的减区间为，令，则，解得.所以的单调减区间为对称轴：正弦函数的对称轴为，令，解得所以的对称轴为.【小问2详解】解：令，因为，所以，所以，，即所以因此，即的值域为.18.记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，为的平分线，.（1）若，，（i）求角的大小：（ii）求的面积：（2）当时，求的最小值.【正确答案】（1）（i）（ii）（2）【分析】（1）（i)可利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式化简，进而求出角；(ii)先利用余弦定理求出b，再结合三角形面积公式计算面积;（2）可利用角平分线性质和余弦定理建立、的关系式，再结合基本不等式，即可求出的最小值.【小问1详解】（i）已知，由正弦定理得整理得即左边，因此因为，，所以，又，故(ii)设，在中，已知，，，由余弦定理得代入得，整理得，解得​（负根舍去）

【小问2详解】设，是角平分线，​，代入面积公式：

，代入，得

由余弦定理，​，且，代入化简得整理得​

令，，得由基本不等式，​，且，代入得

当且仅当​​时等号成立，故的最小值为.19.在中，角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，且的外接圆半径为1，求的面积；（3）若为边上一点，且，求的最大值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和正弦公式、同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可；（2）根据正弦定理