河南濮阳市2026年高三下学期第二次模拟考试数学试题 含答案

/数学试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.3.已知，则的值是（）A. B. C. D.4.的最大值是（）A.9 B.3 C.18 D.65.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B，C满足：，，则的值是（）A. B. C. D.6.圆上的点到直线距离的最大值是（）A.7 B.5 C.3 D.27.如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（）A. B.C. D.的最小值是8.已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（）①；②；③函数有最小值；④函数有最大值．A.4 B.3 C.2 D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的是（）A.平面B.正方体外接球体积为C.存在一点，使得直线CE与平面所成的角为D.到平面的距离为10.在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（）A.只有一个小组受到奖励的概率等于B.技术难题被攻克的概率为C.只有甲、丙小组受到奖励的概率为D.甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为11.已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（）A.数列为等比数列 B.，使得C.数列的通项公式 D.，都有第II卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________．13.已知双曲线的离心率为的一条渐近线与圆交于两点，则__________．14.已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前90项和．注意：这里表示角度，16.2026年我国科技前沿的标志性事件可以概括为四大主线，第一类就是人工智能与算力，第二类是航天与通信，第三类是能源与材料，第四类是生命科学与前沿突破．其中第一类人工智能与算力包含四个事件：AI超级计算平台规模化落地，多智能系统成为标配，特定领域语言模型爆发，脑机接口商业化元年；第二类航天与通信包含三个事件：低轨卫星互联网组网成型，6G试验网与标准突破，商业空间站与深空探测；第三类能源与材料包含三个事件：可控核聚变“亿度”持续运行，钠离子电池量产应用，高端材料国产替代领跑；第四类生命科学与前沿突破包含两个事件：碱基编辑疗法临床验证，量子计算实用化进展．（1）从前三类主线的10个事件中随机选取一个事件，求该事件属于第一类主线的概率；（2）从前三类主线的10个事件中不可放回的方式随机选取三个事件，随机变量表示所选事件属于第二类或第三类的数量，求随机变量的分布列和期望；（3）从前三大主线的10个事件中按可放回的方式随机选取三个事件，随机变量表示事件属于第二类或第三类的数量，比较与的大小关系．17.如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是正方形，底面ABCD，是线段PC的中点，在线段PB上，．（1）求证：平面BDE；（2）求证：平面DEF（3）在线段PB之间（不含端点），EG与PA所成的角为，求平面DEF与平面DEG夹角的余弦值．18.已知函数（1）令，讨论函数的单调性；（2）若函数有极大值点，求证．19.已知椭圆的离心率为，且经过点，定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去．（1）求的方程；（2）若为的左顶点，经过3次操作后停止，求的值；（3）若是在第一象限与不重合的一点，求的面积．

数学试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由可得，所以集合，故.2.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以的虚部是.3.已知，则的值是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：应用同角三角函数关系求出，再应用两角差余弦公式计算求解.解答过程：已知，则，则4.的最大值是（）A.9 B.3 C.18 D.6答案：B解析：思路：根据二次函数的性质计算即可.解答过程：令，则，解得，所以函数的定义域为.因为在处取得最大值，最大值为3，所以的最大值为3.5.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B，C满足：，，则的值是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，，所以异号，又因为，所以为钝角，由，因为为钝角，所以.6.圆上的点到直线距离的最大值是（）A.7 B.5 C.3 D.2答案：A解析：解答过程：圆的圆心，半径，直线可化为，令，得，故直线过定点，由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：，故圆上的点到直线距离最大值为.7.如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（）A. B.C. D.的最小值是答案：B解析：思路：根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可.解答过程：对于A，，所以A正确；对于B，由A选项知，所以.在中，利用余弦定理得，B错误；对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得，因为，由A知，所以，所以，即，C正确；对于D，由C可知，结合题意可知，所以当且仅当，即时，等号成立，此时取最小值为，D正确.8.已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（）①；②；③函数有最小值；④函数有最大值．A.4 B.3 C.2 D.1答案：C解析：思路：运用赋值法判断①②，通过特殊函数判断③④即可.解答过程：①：在中，令，得，因为对任意恒成立，所以，所以由，因此本序号结论正确；②：在中，令，得，因此本序号结论正确；令，满足条件（1）对任意恒成立，且；，，满足（2），都有，但是函数没有最大值也没有最小值，故③④序号结论都不正确，所以表述中正确的个数为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的是（）A.平面B.正方体外接球体积为C.存在一点，使得直线CE与平面所成的角为D.到平面的距离为答案：ABC解析：思路：由线面平行的判定可判断A，由正方体外接球的直径为对角线可判断B，由线面角定义可判断C，由等体积法判断D.解答过程：对于A：由于在正方体中，则四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，A正确；对于B：正方体外接球的直径为对角线，即，所以，B正确；因为平面，则为直线CE与平面所成的角，则，若，则，所以，又，，所以存在一点，使得直线CE与平面所成的角为，C正确；由A知平面，为上的动点，所以到平面的距离等于到平面的距离，设到平面的距离，，，由等体积可得：，即，所以，所以到平面的距离为，D错误.10.在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（）A.只有一个小组受到奖励的概率等于B.技术难题被攻克的概率为C.只有甲、丙小组受到奖励的概率为D.甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为答案：BD解析：思路：运用独立事件概率的乘法公式，结合对立事件的概率公式逐一判断即可.解答过程：A：设甲、乙、丙三个小组各自攻克该技术难题为事件，所以，只有一个小组受到奖励的概率等于，所以本选项说法不正确；B：技术难题被攻克的概率为，所以本选项说法正确；C：只有甲、丙小组受到奖励的概率为，所以本选项说法不正确；D：甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为，所以本选项说法正确.11.已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（）A.数列为等比数列 B.，使得C.数列的通项公式 D.，都有答案：AC解析：思路：由题意可得，计算可判断A；由题意得，求解判断B；若时，可得，求解计算可判断CD.解答过程：因为定义在上的函数满足：，且，所以，所以，又，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A正确；所以，所以，若，得，解得，又，不存在的值，所以不存在，使得，故B错误；当时，由，得，令，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以是函数的第一个极小值点.若时，则，则，所以，，所以，即递推得，求导得，令，可得，解得，即，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以的第个极小值点为，所以，即，故C正确；所以第个极小值为当时，极小值，故D错误.方法提示：第II卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________．答案：解析：思路：利用赋值法，令，和，即可求解.解答过程：由题意得：令，得，令，得，令，得，所以，所以.13.已知双曲线的离心率为的一条渐近线与圆交于两点，则__________．答案：解析：解答过程：由双曲线的离心率，得，即.由，代入得，化简得，即.双曲线的渐近线方程为，整理为和.圆心为，半径，分别计算圆心到两条渐近线的距离：①到的距离.②到的距离，直线和圆无交点.因此只能取渐近线，由弦长公式得，所以.14.已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________．答案：3解析：思路：先根据条件利用余弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在上单调，可得，检验可得它的最大值．解答过程：函数，为的零点，为图象的对称轴，，且，相减可得，即，，即为奇数．在单调，，，故奇数的最大值为．当时，，，．此时在上不单调，不满足题意．当时，，，，此时在上不单调，不满足题意．当时，，，，此时在上单调递减，满足题意；故的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前90项和．注意：这里表示角度，答案：（1）（2）45解析：思路：（1）根据求出数列的通项公式即可.（2）先列出数列的前90项和，然后利用三角函数的二倍角公式进行化简，进而求出结果.（1）当时，，当时，，当时满足，故.（2）设数列的前90项和为，又，则因为，所以，所以.16.2026年我国科技前沿的标志性事件可以概括为四大主线，第一类就是人工智能与算力，第二类是航天与通信，第三类是能源与材料，第四类是生命科学与前沿突破．其中第一类人工智能与算力包含四个事件：AI超级计算平台规模化落地，多智能系统成为标配，特定领域语言模型爆发，脑机接口商业化元年；第二类航天与通信包含三个事件：低轨卫星互联网组网成型，6G试验网与标准突破，商业空间站与深空探测；第三类能源与材料包含三个事件：可控核聚变“亿度”持续运行，钠离子电池量产应用，高端材料国产替代领跑；第四类生命科学与前沿突破包含两个事件：碱基编辑疗法临床验证，量子计算实用化进展．（1）从前三类主线的10个事件中随机选取一个事件，求该事件属于第一类主线的概率；（2）从前三类主线的10个事件中不可放回的方式随机选取三个事件，随机变量表示所选事件属于第二类或第三类的数量，求随机变量的分布列和期望；（3）从前三大主线的10个事件中按可放回的方式随机选取三个事件，随机变量表示事件属于第二类或第三类的数量，比较与的大小关系．答案：（1）（2）（3）0123解析：思路：（1）根据古典概型知识求解即可.（2）先确定的可能取值，然后求出对应的概率，进而得到分布列和期望.（3）先确定，进而得出结果.（1）10个事件中包含第一类人工智能与算力的有4个事件，所以从10个事件中随机抽取一个事件，该事件属于第一类主线的概率为.（2）10个事件中包含6个第二类或第三类的事件，所有可能的取值为：0，1，2，3．.所以的分布列为：0123．（3）理由如下：从10个事件中按可放回抽样的方式随机选3个事件，随机变量，所以．17.如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是正方形，底面ABCD，是线段PC的中点，在线段PB上，．（1）求证：平面BDE；（2）求证：平面DEF（3）在线段PB之间（不含端点），EG与PA所成的角为，求平面DEF与平面DEG夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面垂直的性质和判定定理进行证明即可；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.（1）连接AC，交BD于，连接OE，因为E，O为中点，所以EO是的中位线，所以，又因为平面平面BDE，所以平面BDE．（2），又是PC的中点，所以，因为底面ABCD，所以，而平面平面PDC，所以底面平面PDC，所以又平面平面PBC，故平面PBC，平面PBC，所以，又因为平面平面DEF，故平面DEF．（3）设，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设．，，，，因为与所成的角为，则即，化简得，又因为，解得又因为，故，设平面DEG的一个法向量为，则，令，则所以．由（2）可知：平面DEF，故是平面DEF的一个法向量，设平面DEF与平面DEG夹角为，则有．故平面DEF与平面DEG夹角的余弦值为．18.已知函数（1）令，讨论函数的单调性；（2）若函数有极大值点，求证．答案：（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增（2）证明见解析解析：思路：（1）根据导数的性质，结合分类讨论思想进行求解即可；（2）根据函数极大值的定义、函数零点存在原理，结合导数的性质、构造新函数法进行运算证明即可.（1）的定义域为，当时，恒成立，在区间上单调递增；当时，令，得，当时，；当时，，因此，在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上所述，当时，在区间上单调递增；当时