湖北襄阳市谷城县第二中学2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题 含答案

/数学满分150分，考试用时120分钟．第I卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，则集合等于（）A. B. C. D.2.已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（）A. B. C. D.3.已知函数，则（）A. B.4 C. D.84.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第65百分位数为（）A.6 B.7 C.9 D.115.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等．定义数列：，．如果为数列的前n项和，那么的概率是（）A. B.C. D.6.函数，的大致图象是（）A. B.C. D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.已知是函数的零点，是函数gx=lnx+xA. B. C. D.二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（）A.的充要条件是B.的必要条件是C.不是的子集的必要条件是D.的充要条件是．10.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，则（）A. B.越小，越大C. D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，现有四个条件：①；②；③PO平分；④点P关于原点对称的点为Q，且，能使双曲线Ｃ的离心率为的条件组合可以是（）A.①② B.①③ C.②③ D.②④第II卷三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知是正整数，化简：__________．13.圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为________.14.若对任意的，且，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________四．解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，为等边三角形，，平面平面，为棱的中点，为棱上一点（不含端点），，．（1）若，证明：平面；（2）是否存在，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．16.已知和为双曲线上两点．（1）求的离心率；（2）若过的直线交于另一点，且的面积为12，求点的坐标．17.已知（1）讨论的单调性（2）对于恒成立；求的取值范围（3）设，为函数的两个零点；证明．18.为响应国家使用新能源的号召，促进“碳达峰碳中和”的目标实现，某汽车生产企业在积极上市四款新能源汽车后，对它们进行了市场调研.该企业研发部门从购买这四款车的车主中随机抽取了50人，让车主对所购汽车的性能进行评分，每款车的性能都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分及相应人数的统计结果如下表.性能评分汽车款式12345基础班基础版122310基础版244531豪华版豪华版113541豪华版200353（1）求所抽车主对这四款车性能评分的平均数和第90百分位数；（2）当评分不小于4时，认为该款车性能优秀，否则认为性能一般.根据上述样本数据，完成以下列联表，并依据的独立性检验，能否认为汽车的性能与款式有关？并解释所得结论的实际含义.汽车性能汽车款式合计基础班豪华版一般优秀合计（3）为提高这四款新车的性能，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，记X为其中基础版1车主的人数，求X的分布列及数学期望.附.0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.87919.设函数．（1）证明：；（2）设函数的导数为，，当时，函数存在一个极值点，求实数a的取值范围；（3）证明：当时，．

数学满分150分，考试用时120分钟．第I卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，则集合等于（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：解一元二次不等式求出集合A，再求并集可得答案.解答过程：因为集合，又，所以.故选：A.2.已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用复数的乘法化简复数，利用复数的概念可得结果.解答过程：因为，则的虚部是，故选：C.3.已知函数，则（）A. B.4 C. D.8答案：D解析：思路：将自变量的值代入函数解析式，求值即可得到答案.解答过程：，所以，故选：D.4.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第65百分位数为（）A.6 B.7 C.9 D.11答案：C解析：思路：由百分位数的定义，求出第65百分位数是这组数据从小到大排列的第几个数,即可得到答案.解答过程：已知一组数据：4，6，7，9，11，13，共6个数，则，所以这组数据的第65百分位数为从小到大排列的第四个数9.故选：C.5.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等．定义数列：，．如果为数列的前n项和，那么的概率是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：求出每次摸球摸到红球的概率为，根据已知可知.然后分析得出摸到红球的个数，即可根据二项分布的概率，求出答案.解答过程：由已知可知，每次摸球摸到红球的概率为，则次摸球中，取到白球的次数服从二项分布，即.由可知，前7次摸到5次白球，2次红球，即，.所以，的概率是.故选：B.6.函数，的大致图象是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：分析函数的奇偶性及函数在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.解答过程：函数的定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除BD选项，当时，，则，，可得，排除C选项.故选：A.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由三角形面积关系得出，再由勾股定理及椭圆定义求出，利用余弦定理及求解即可.解答过程：设，由可得，由于与等高，所以，又，，∴，又，∴，在中，，∵，在中，，化简可得，解得，故选：A．方法提示：关键点点睛：本题关键点之一根据三角形面积关系得出，其次需要根据建立关系.8.已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据零点的定义得到，，构造函数，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到，从而得到，继而求出.解答过程：是函数，，，是函数的零点，∴gx2∴lnx2+x，设，则，，，，，在上是单调递增函数，由hlnx1=hx二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（）A.的充要条件是B.的必要条件是C.不是的子集的必要条件是D.的充要条件是．答案：AB解析：思路：对于A，利用推导即可；对于B，根据包含关系的意义可分析得解；对于CD，举例子排除即可.解答过程：对于A，因为等价于，又，所以等价于，故的充要条件是，故A正确；对于B，因为，所以集合中的元素都是集合中的元素，故，所以，故B正确；对于C，令，显然不是的子集，此时，故C错误；对于D，令，显然，但，所以的充要条件不是，故D错误；10.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，则（）A. B.越小，越大C. D.答案：ABC解析：思路：由正态分布的对称性即可判断.解答过程：由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知：，，，越小，说明数据越集中，故越大，故选：ABC11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，现有四个条件：①；②；③PO平分；④点P关于原点对称的点为Q，且，能使双曲线Ｃ的离心率为的条件组合可以是（）A.①② B.①③ C.②③ D.②④答案：AD解析：思路：对各个选项进行分析，利用双曲线的定义找到a,c的等量关系，从而确定离心率.解答过程：③PO平分且PO为中线，可得，点P在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：，，可得，，所以，即离心率为，成立；若选②④：，点P关于原点对称的点为Q，且，可得四边形为矩形，即，可得，，所以，即离心率为，成立；故选：AD第II卷三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知是正整数，化简：__________．答案：解析：思路：利用二项式定理，化简展开式.解答过程.故13.圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为________.答案：解析：思路：先设圆心为，由题中条件，求出圆的方程，根据点与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果.解答过程：设圆心为，由得，所以，则半径，故圆的方程为，又在圆内，所以，解得.故答案为.14.若对任意的，且，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________答案：解析：思路：不等式转化为，通过变形可得对任意的，且有，这样问题转化为已知函数在区间上的单调性求参数范围，求导即可得到结果.解答过程：由题意得，，.∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，整理得，令，则在为减函数，，由得，解得，∴的单调递减区间为，∴，∴，即实数的取值范围是.故答案为.四．解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，为等边三角形，，平面平面，为棱的中点，为棱上一点（不含端点），，．（1）若，证明：平面；（2）是否存在，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．答案：（1）证明见详解（2）存在，解析：思路：（1）首先利用三角形相似得到，再结合已知条件可得，即可得到，即可得证；（2）假设存在点，使，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的夹角的余弦值，即可求出的值.（1）在菱形中，，，为棱的中点，，又，，，，，，平面，平面，平面；（2）取的中点，连接，，，为等边三角形，，平面平面，平面平面，平面，平面，在菱形中，，是等边三角形，，以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，为棱的中点，，，，，设，则，，，设平面的法向量为，，令，则，，，设平面的法向量为，，令，则，，，设平面与平面的夹角为，则，，两边平方得，即，解得，存在，使得平面与平面的夹角的余弦值为，此时.16.已知和为双曲线上两点．（1）求的离心率；（2）若过的直线交于另一点，且的面积为12，求点的坐标．答案：（1）（2）或或或解析：思路：（1）将两点坐标代入椭圆方程，解方程组求出，即得离心率；（2）由（1）写出椭圆方程，求出的长和直线方程，设点，根据面积和题设条件列出方程组，分情况求解方程组即可得到点坐标.（1）由题意可得，，解得，故，则的离心率为；（2）由（1）可得双曲线方程为：，如图，依题意，,直线的方程为，即，设点，则点到直线的距离为：，于是，的面积为，即①，又在双曲线上，故得，②，由①知，当时，将代入②整理得，，解得或，此时点坐标为或；当时，将代入②整理得，，解得或，此时点坐标为或.经验证，以上四点均符合题意，故点的坐标为或或或.17.已知（1）讨论的单调性（2）对于恒成立；求的取值范围（3）设，为函数的两个零点；证明．答案：（1）当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.（2）；（3）证明见解析.解析：思路：（1）求，讨论和这两种情况，解出的解为的单调递增区间，解出的解为的单调递减区间；（2）由（1）可知：当时，利用的单调性及特殊值可得不成立；当时，由的单调区间得到的最大值为，只需即可，解出这个不等式就是的取值范围；（3）由（1）及零点存在性定理由存在两零点可得，且，故可转化为证明，构造，利用导数法证明，由此证明.（1）定义域，；当时，的解为，则在上为单调递增函数；，的解为，的解为，则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.综上可知，当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.（2）由（1）可知：当时，在上为单调递增函数，，不满足，故不成立；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.则当时，取最大值为，令，解得，故对于恒成立的的取值范围为.（3）由（1）知，要使函数存在两个零点，则，且其最大值必须大于0，的最大值为，令，解得，则存在两零点，可得，设，为函数的两个零点，则，，解得①，②，①减去②得到，解得，要证明，只需证明，设，，则在上是单调递增函数，故，设，，，，，，，，，.18.为响应国家使用新能源的号召，促进“碳达峰碳中和”的目标实现，某汽车生产企业在积极上市四款新能源汽车后，对它们进行了市场调研.该企业研发部门从购买这四款车的车主中随机抽取了50人，让车主对所购汽车的性能进行评分，每款车的性能都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分及相应人数的统计结果如下表.性能评分汽车款式12345基础班基础版122310基础版244531豪华版豪华版113541豪华版200353（1）求所抽车主对这四款车性能评分的平均数和第90百分位数；（2）当评分不小于4时，认为该款车性能优秀，否则认为性能一般.根据上述样本数据，完成以下列联表，并依据的独立性检验，能否认为汽车的性能与款式有关？并解释所得结论的实际含义.汽车性能汽车款式合计基础班豪华版一般优秀合计（3）为提高这四款新车的性能，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，记X为其中基础版1车主的人数，求X的分布列及数学期望.附.0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.879答案：（1）平均数为3，第90百分位数为4.5；（2）答案见解析（3）分布列见解析，1解析：思路：（1）根据百分位数定义求解即可；（2）根据联表计算对应数据判断可得汽车的性能与款式的相关性；（3）根据超几何分布计算概率和分布列及期望得解.（1