江苏无锡市堰桥高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学（含答案）

/无锡市堰桥高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知，则复数z是（）A. B. C. D.【正确答案】A【详解】已知，则，．2.下列说法正确的是（）A.棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体B.圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的C.用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台D.棱台的所有侧棱所在直线交于同一点【正确答案】D【详解】棱柱可能有多组平面平行，如正方体有三组平面平行，并非“有且仅有两个平面平行”，故A错误；圆柱由矩形绕其一边旋转得到，任意四边形旋转不一定得到圆柱，故B错误；只有当截面与圆锥底面平行时，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台，否则不是，故C错误；棱台是由棱锥截得的，其侧棱延长线交于同一点，故D正确．3.水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（）A.直角三角形 B.等边三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形【正确答案】B【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形.【详解】由图形知，在原中，，因为，则，因为，则，所以，即原是一个等边三角形；故选：B4.已知中，，，，则（）A. B. C.或 D.或【正确答案】A【分析】利用正弦定理与大边对大角、小边对小角即可求解.【详解】根据正弦定理，得，故，因为，所以或，又因为，所以，故.故选：A.5.在中，三条边分别为，若，则三角形的形状A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.不能确定【正确答案】A【分析】根据余弦定理可求得，可知为锐角；根据三角形大边对大角的特点可知为三角形最大的内角，从而得到三角形为锐角三角形.【详解】由余弦定理可得：且又，则均为锐角，即为锐角三角形本题正确选项：本题考查解三角形中三角形形状的判断，关键是能够利用余弦定理首先确定最大角所处的范围，涉及到三角形大边对大角的性质的应用.6.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由已知可得，结合已知计算可求得，进而可求夹角．【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，又因为，所以．所以与的夹角为．故选：A．7.已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标计算将目标式化简，求出取值范围即可.【详解】如图，作，以为原点，建立平面直角坐标系，易知，，，设，且，故，，故，而，.故选：C8.在中，已知，则的长为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合同角三角函数关系式，求得，再根据余弦定理求得的长.【详解】因为，所以由正弦定理，得，所以.因为，所以.所以，即.又，所以，整理得，，即因为，所以，所以.所以，所以.由余弦定理，得，解得.因为，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面向量，，则下列正确的是（）A.B.与同向的单位向量为C.当时，则向量在向量上的投影向量为D.若向量与向量夹角为钝角，则的取值范围是【正确答案】BC【分析】利用坐标计算模判断A；利用单位向量的意义求解判断B；求出射影向量判断C；举例说明判断D.【详解】对于A，|a对于B，与同向的单位向量e→=对于C，当时，b→=(−2,2因此向量在向量上的投影向量为a→·b对于D，当时，b→=(−2,−4)=−2a→，向量与10.设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（）A. B.C.若，则 D.若，则的最大值为【正确答案】ABD【分析】利用共轭复数及复数模的意义求解判断A；利用复数乘法及模的意义求解判断B；利用向量共线的坐标表示判断C；确定点的轨迹并求出最大值判断D.【详解】对于A，z1=3对于B，z1·z而|z1|=对于C，OZ1→=(3对于D，由，即|z2得点的轨迹是以点(−3,−1)为圆心，为半径的圆，表示点与点的距离，该距离最大值为(−3−0)2+11.如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面B.存在点P，使得直线与共面C.的最小值为D.若M为线段上的动点，且平面．则的最小值为【正确答案】ACD【分析】利用正方体性质可知，再由线面平行定理可证明A正确，利用反证法假设存在点P，使得直线与共面，可得出结论与平面平面矛盾，因此B错误；以为旋转轴，将旋转到与平面共面，易知，再由余弦定理计算可得C正确，根据面面平行判定定理可证得平面平面，再由其性质可得平面，设，利用三角形相似以及二次函数性质可判断D正确.【详解】对于A，如下图所示：由正方体性质可知，又平面，平面，所以平面，即A正确；对于B，假设存在点P，使得直线与共面，显然三点共面，若直线与共面，则可知点在平面内，又P为线段上的动点，即在平面内，因此可知点在平面与平面的交线上，显然这与平面平面矛盾，因此B错误；对于C，以为旋转轴，将旋转到与平面共面，如下图所示：易知，若要使取得最小值，只需连接交于点，因此为，且，在中，，所以，即，所以的最小值为，可得C正确；对于D，过点作交于点，过点作交于点，连接，如下图所示：因为，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面；设，则，显然，所以，所以当时，即时，取最小值，最小值为，所以D正确.故选：ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为_____．【正确答案】（1，5）【分析】设出点D，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，求出点的坐标．【详解】设D（x，y）则在平行四边形ABCD中∵又∵∴解得故（1，5）本题考查向量的坐标的求法；相等向量的坐标相同．13.如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A、B两个基站的距离为__________.【正确答案】【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理列式求解.【详解】在中，∠ACD=105°,∠ADC=30°由正弦定理得AC=CDsin30°sin则BC=CDcos45°=20所以A、B两个基站的距离为.14.已知平面向量满足，且不等式对任意实数都成立，则的值为________.【正确答案】2【分析】对不等式两边同时平方后得到一个恒成立的不等式，通过构造二次函数，根据二次函数的恒成立问题列方程组求解即可.【详解】对不等式两边同时平方得，将代入后整理得.令，则对任意实数都成立，所以的图象开口向上，且，即，即，解得，即.故2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.若复数，为虚数单位．（1）当复数为纯虚数时，求实数的值；（2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据复数为纯虚数，利用复数的概念，列出方程组，求得的值；（2）当时，得到，根据题意，得到是方程的一个根，结合方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解.【小问1详解】解：由复数，因为复数为纯虚数，则满足，解得.【小问2详解】解：当时，可得，由复数是方程的一个根，则是方程的一个根，解方程的两个根为和，则，即，解得.16.已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量（1）若求A；（2）若求的面积.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可.（2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可.【小问1详解】因为所以①.又由正弦定理，即，代入①式，可得，整理得，又，所以，解得.【小问2详解】因为，所以，即，又，所以.因为，由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.故.17.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．（1）求证：BC∥AD；（2）求证：CE∥平面PAB．【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明．【小问1详解】在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD．【小问2详解】取PA的中点F，连接EF，BF，∵E是PD的中点，∴EF∥AD，，又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF，∴四边形BCEF是平行四边形，∴EC∥FB，∵EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB，∴EC∥平面PAB．18.如图，在中，已知，，，边上的两条中线相交于点P.（1）求中线的长；（2）若的平分线为，求的长；（3）求的余弦值.【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解.（2）利用三角形面积公式列式求解.（3）利用向量夹角公式求解.【小问1详解】在中，，由为的中点，得，.【小问2详解】由的平分线为，得，由，得，所以.【小问3详解】由是的中点，得，，所以的余弦值为.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，即三角形中的费马点是唯一的，且当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：（1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；（2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点.（i）若，求；（ii）若，，，求的最小值.【正确答案】（1）（2）（i）；（ii）【分析】（1）由正三角形的性质知其费马点为其中心，再利用正三角形性质求解；（2）（i）设，，，，，，利用三角形的面积得出，再由数量积的