江西南昌市南昌中学三经路校区2025-2026学年高二下学期期中考试数学（含答案）

/2025～2026学年度第二学期南昌中学三经路校区期中考试高二数学一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.在数列中，，则的值为（）A.2+ln99 B.2+ln100 C.2+ln101 D.【正确答案】B【详解】由可得，则.2.已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（）A.20 B.40 C.60 D.80【正确答案】B【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案.【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列，所有偶数项之和为，所有奇数项之和为，则，所以20，则．3.已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（

）A.6或7 B.7 C.8 D.7或8【正确答案】D【详解】已知等差数列，，，由等差数列前项和公式可得，，解得，，，是开口向上的二次函数，对称轴为，由于是正整数，离对称轴最近的整数为7和8，当取最小值时，7或8．4.已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义，分析求解，即可得答案.【详解】是等比数列，，对任意的正整数都成立，，，是等比数列，是单调递增数列，，∴“对任意的正整数都有”是“是单调递增数列”的充分必要条件.5.函数在区间上的平均变化率为（）A. B. C. D.【正确答案】A【详解】由题意可知.6.设是可导函数，且，则（）A.2 B. C.6 D.【正确答案】B【详解】由导数的定义，，已知，故.7.已知函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】C【详解】，∴，∴，∴．8.已知过原点的直线与函数的图象相切，则的斜率为（）A.7 B.8 C.9 D.10【正确答案】C【详解】由题意设直线为，由，得，设切点的横坐标为，则，消去得，整理得，所以，解得，所以的斜率为.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（）A. B.数列是递增数列C.数列是等比数列 D.【正确答案】BC【详解】对于A，，A错误；对于CD，，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确；，即，D错误；对于B，，，数列是递增数列，B正确.10.下列求函数的导数正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】BC【详解】对于A，，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D错误.11.已知函数，则（）A.B.曲线在点处的切线方程为C.恰有2个极值点D.的图象与轴恰有2个交点【正确答案】AB【详解】对于A，求导可得，令可得，所以，即A正确；对于B，由A可得，则，所以切线方程为，即，可得B正确；对于C，易知函数的定义域为，又，令，可得，所以当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数仅在处取得极小值，即仅有1个极值点，可知C错误；对于D，由C中分析可知，即对于任意,恒成立，因此D错误.三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列的前项和为，且，则__________．【正确答案】6【分析】利用等差数列的片段和仍然成等差数列求解.【详解】因为成等差数列，设其公差为，所以，所以，所以，所以．13.已知数列的前项和为，且，，则_______________.【正确答案】【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式.【详解】由题意知，由，可得，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.当且时，，又不满足该式，所以.14.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为___________．【正确答案】【详解】，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即：，得，设，当时，函数单调递增，所以，所以有，因此实数的取值范围为.四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）已知，求.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）降次作差求解数列的的通项公式即可；（2）根据（1）中的结果先确定数列，再运用裂项相消法求和.【小问1详解】当时，当时，，且，两式作差得，所以显然符合上式，∴【小问2详解】根据（1）中的结果得，，，则.16.已知函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程；（2）讨论的单调性．【正确答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）分，和三种情况讨论导数的正负即可求解.【小问1详解】，则．因为，所以，得．又，所以的方程为，即．【小问2详解】．当时，，则在上单调递增．当时，令，得或，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减．当时，令，得或，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减．17.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数在上的值域；（3）设，证明：．【正确答案】（1）极小值为，无极大值（2）（3）证明见解析【分析】（1）对求导，根据极值的定义即可求出答案；（2）根据函数的单调性，即可求出值域；（3）可化为，令，通过求导证明即可证明不等式.【小问1详解】已知函数的定义域为，则，因，故，令得，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减，因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值．【小问2详解】由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增，因此最小值为，计算区间端点值，，因为，所以，故在上的最大值为，因此在上的值域为．【小问3详解】因为，由，得，即，令，则，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立，所以．18.已知数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．（3）若对任意，不等式恒成立，且，为常数．已知，求的最小值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据与的关系易得，需要检验首项是否符合；（2）利用错位相减法求和即得；（3）将代入并化简不等式，利用求解即可．【小问1详解】当时，，当时，，显然也满足，所以；【小问2详解】由（1）知，①，②，①②得，，故．【小问3详解】把代入，所以等价于，即，对任意恒成立，所以，设，显然递减，当时，取最大值，所以，的最小值．19.已知函数在处取得极值.（1）求函数的解析式.（2）求曲线在处的切线方程.（3）若时，函数有三个零点，求的取值范围.【正确答案】（1）；（2）.（3）【分析】（1）对函数求导并根据极值点处的导函数为0联立方程组可解得，可求出解析式；（2）利用导数的几何意义直接求解即可；（3）求出函数在区间上的单调性，结合图象以及零点个数即可求出的取值范围.【小问1详解】