辽宁辽阳市第一高级中学2025-2026学年高二下学期期中检测数学试题 含答案

/2025-2026学年度下学期高二期中检测试题数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）1.设，命题甲：成等比数列，命题乙：，甲是乙的则（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】利用等比数列的性质结合充分必要条件求解即可.【详解】若实数成等比数列，则，即，所以命题甲可以推出命题乙，即甲是乙的充分条件；当时，，但不成等比数列，所以命题乙不可以推出命题甲，即甲不是乙的必要条件；故甲是乙的充分不必要条件，故选：B.2.数列0，，，，…的一个通项公式为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】分析数列前4项的特征，确定并判断即得.【详解】依题意，，…，由此得，A是；而选项B中，选项C中，选项D中，BCD不是.故选：A3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在上是增函数B.是函数的极小值点C.D.【正确答案】D【分析】由图得出函数的单调性判断ABD，根据判断C.【详解】当时，，则函数在上是减函数，故A错误；函数在上单调递增，在上单调递减，则是函数的极大值点，故B错误；由图可知，，故C错误；函数在上单调递增，则，故D正确；故选：D4.设等比数列的前项和为，，，则（）A.1 B. C. D.【正确答案】D【分析】设等比数列的公比为，根据所给条件求出、，即可得解.【详解】设等比数列的公比为，，，，解得，，解得，所以.故选：D．5.如图1甲是第七届国际数学家大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中已知：，为直角顶点，设这些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为，则（）A.2 B.3 C. D.【正确答案】A【分析】由题可得，利用裂项相消可求出.【详解】由题意，…以此类推可得，所以.故选：A.6.给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（）A. B.点在直线上C. D.点在直线上【正确答案】B【分析】求出、，依题意可得，即可判断A，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可判断C，再计算，即可判断B、D.【详解】因为，则，，依题意可得，则，故A错误；，故C错误；又，所以点在直线上，故B正确，D错误；故选：B7.已知函数，对于任意且，都有，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】由题意推出，令，可得在上单调递增，即得在上恒成立，分离参数，在上恒成立，从而构造函数，求出其最小值，即可求得答案.【详解】由题意知对于任意且，都有，不妨设，即得，即，令，则在上单调递增，即在上恒成立，且不恒等于0，故在上恒成立，令，则，令，则，令，则，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，即实数a的取值范围是，故选：B8.已知函数，若对时恒成立，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】分析可知，可得出，求出实数的值，再利用导数法进行验证，即可得出实数的值.【详解】，，因为，所以，，，又因为函数为可导函数，所以，为函数的极值点，，可得，此时，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，当时，，满足题意.综上所述，.故选：C.关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立，解题的关键在于分析出，转化为函数的极值点为进行求解，但同时要注意进行检验.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合要求，部分选对得部分分，错选不得分）9.已知等差数列的前项和，且，，则下列选项不正确的是（）A.数列为递减数列 B.C.的最大值为 D.【正确答案】BD【分析】AB选项，由等差数列的性质得到，从而确定；C选项，，，故C正确；D选项，根据等差数列求和公式和性质得到.【详解】AB选项，由等差数列性质得到，又，所以，设公差为，则，数列为递减数列，A正确，B错误；C选项，因为，，则的最大值为，C正确.D选项，因为，故，D错误.故选：BD10.已知是数列的前n项和，．下列结论正确的是（）A.若是等差数列，则B.若是等比数列，则C.若是等差数列，则公差D.若是等比数列，则公比是2或－2【正确答案】AB【分析】根据等差数列与等比数列的定义、性质、求和公式计算即可.【详解】若是等差数列，设其公差为，则成等差数列，公差为，由，即A正确；当时显然符合题意，但C错误；若是等比数列，设其公比为，则成等比数列，公比为，由，即B正确，当时，也符合题意，故D错误.故选：AB11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题(如7被3除余1，1被2除余1).现有这样一个整除问题：将1到500这500个正整数中能被4除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，余下的数按从小到大的顺序排成一列构成数列，记数列的前n项和为An，数列的前项和为Bm，则下列说法正确的有（）A.(n≤25，n∈N*) B.(n≤25，n∈N*)C.数列共有476项 D.B200=21255【正确答案】ABD【分析】由能被4除余1且被5除余1的数即为能被4和5的最小公倍数除余1的数，可判断AB选项，注意到与的项数之和为500，B200等于数列的前211项和减A11，然后可解.【详解】由题知，数列是以1为首项，20为公差的等差数列，故(n≤25，n∈N*)，(n≤25，n∈N*)，AB正确；已知数列共有25项，所以数列共有475项，故C不正确；数列的前211项和为，在将1到211的所有整数中，能被20除余1的数共11个，其余的数有200个.所以，，故D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（主观题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设为数列的前项和，若，则____【正确答案】【分析】当时，由，解得，当时，，两式相减可得，即，可得数列是等比数列再求通项公式.【详解】当时，，即，当时，，两式相减可得，即，即，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.故本题考查数列的前项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.13.由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，….则数对排在第___________位.【正确答案】305【分析】首先观察得到和为的分解共有个，再求数对所在位置即可.【详解】观察规律发现：；，；，，；，，，；得到和为的分解共有个.则数对和为，因此前面共有个，又因为在和为中为第5个，所以数对排在第305位.故30514.已知时，不等式恒成立，则的最大值是__________.【正确答案】【分析】转化不等式，通过构造函数，结合导数研究所构造函数的单调性，由此列不等式来求得的取值范围，进而求得的最大值.【详解】由题意，可得恒成立，令，，当时，单调递增，所以，，当时，单调递增，当时，单调递减，又，要使不等式恒成立，必有，即.故利用导数研究不等式恒成立问题，关键点在于“划归与转化”，将恒成立的不等式转化后，利用构造函数法，结合导数研究函数的单调性、范围等来对问题进行求解.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【正确答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【分析】（1）（2）根据基本初等函数的导数即可求解，（3）（4）（6）根据基本初等函数的导数和导数的四则运算即可求解，（5）根据复合求导法则即可求解.【小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】【小问4详解】【小问5详解】令，令，则【小问6详解】16.已知数列的前项和为，满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和为.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据，知为公比为的等比数列，再由条件求出，求得的通项公式；（2）由，，求得，再分别用等比数列求和公式和等差数列求和公式求出【小问1详解】因为，所以，所以.由可知数列是公比为2的等比数列，所以.所以数列的通项公式为【小问2详解】17.求下列数列的和：（1）；（2）．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用分类讨论思想结合等差数列公式法和错位相减法求和；（2）先得到通项公式，再进行分组求和，以及利用等比数列求和公式求和即可.【小问1详解】当时，，当时，记①①：②①－②：，化简得：，综上所述：【小问2详解】该数列为，其前项和为，因为，，，，，……所以该数列的一个通项公式为，．18.已知是递增的等差数列，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）记中满足的项的个数为，求数列的前项和.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意得，公差，进而转化为与的关系求，最后求得，通项公式；（2）根据题意解不等式得，进而根据等比数列求和公式求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为是递增的等差数列，所以，因为成等比数列，所以，又因为，所以，即整理得，解得或，由于，所以，所以，所以，所以的通项公式为【小问2详解】由得，解上述不等式得，因为，所以，所以满足不等式的的个数为：，所以因为，所以数列为等比数列，首项为，公比为.所以数列的前项和，所以数列的前项和为19.已知函数．（1）若曲线在处的切线斜率为，求a的值；（2）讨论函数在区间上的极值点个数；（3）设，证明：当时，对，恒成立．【正确答案】（1）（2）当或时，在上无极值点；当时，在上有一个极值点（3）证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在的导数值是过该点的切线的斜率，所以对函数求导可得切线斜率，进而得的值；（2）先求函数的导函数，再分三种情况分类讨论，分析导函数的正负情况，再结合导函数的零点求解，进而判断求出函数极值点的个数；（3）将转化成以为自变量的函数，分析这个二次函数对称轴的范围，进一步得出在上单调递增，问题可转化为证明，再次转化成，研究其最小值即可.【小问1详解】由已知可得，由题意得，解得.【小问2详解】，因为，所以，故，若，则恒成立，所以在上单调递增，无极值点；若，则恒成立，所以在上单调递减，无极值点