山西太谷中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 含答案

/2025-2026学年度第二学期高二期中考试数学试题本试卷满分：150考试时间；120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机变量，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】应用二项分布的概率求法求概率.【详解】由题设．故选：A2.已知，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.1或3【正确答案】C【分析】根据排列组合公式列方程求参数.【详解】由题意知，且，解得．故选：C3.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.2 B.4 C.8 D.16【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性计算得解.【详解】依题意，由正态分布的对称性得．故选：C4.如图，一套俄罗斯套娃由8个大小各不相同套娃组成，将这8个套娃放置在一个上下两层的展示架上，上层放置3个，下层放置5个，且要求每层的套娃左边都比右边的大，则不同的放置方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【正确答案】A【分析】根据题意，只需从8个套娃中任选3枚放在上层，或者任选5枚放在下层都可以达到要求，故得方法数.【详解】依题意，只需从8枚套娃中任选3枚放上层，有种，因为每层套娃左边都比右边的大，则上下排法均只有1种，所以不同的摆放方法有种.故选：A.5.有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（）A.40 B.48 C.52 D.60【正确答案】B【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案.【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择；然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎，这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择.根据乘法原理，总共有种选法.故选：B.6.的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）A.2520 B.1440 C. D.【正确答案】B【分析】由题意，赋值法求出a的值，再由二项式通项公式求解即可.【详解】由题意，x+ax3x−2故原式，因为，的通项Tr+1所以的展开式中的常数项，所以的展开式中的常数项，故该展开式中常数项为.7.某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设为决出冠军时比赛的场数，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据已知说明的含义，然后根据独立事件乘法公式求解即可得出答案.【详解】由已知可得，表示“前3局甲一胜两负，第四局甲负”或“前3局甲两胜一负，第四局甲胜”前3局甲一胜两负，第四局甲负的概率；前3局甲两胜一负，第四局甲胜的概率.所以，.故选：A.8.某疾病在人群中的患病率为，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为，阴性人群被检测为阳性的概率为，则一个人检测结果为阳性的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由全概率公式即可求解.【详解】用事件表示一个人患此种疾病，用事件表示检测结果为阳性，则，，所以．故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.若，则下列说法正确的是（）A.的展开式中奇数项的二项式系数之和为B.C.D.除以10的余数为9【正确答案】BC【分析】由二项展开式二项式系数之和的性质判断A；利用赋值法判断B；利用展开式通项公式判断C；利用构造二项式的展开式来解决整除和余数问题判断D.【详解】的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误；令，可得，令，，则，故B正确；，故C正确；，故除以10的余数为1，故D错误.故选：BC.10.某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有，，，，，，共7个节目，则下列结论正确的是（）A.若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法B.若节目与节目不相邻，则共有3000种不同的安排方法C.若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2420种不同的安排方法D.若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有720种不同的安排方法【正确答案】AD【分析】利用捆绑法，插空法等求得每个选项的排列数可判断其正确性.【详解】若节目与节目相邻，共有种不同的安排方法，故正确；若节目与节目不相邻，共有种不同的安排方法，故B错误；因为节目在节目之前表演与节目在节目之前表演的情况是一样的，所以共有种不同的安排方法，故C错误；添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况，共有种不同的安排方法，故D正确.故选：AD.11.甲、乙两个盒子中各装有1个单色球和5个，现从甲、乙两个盒子中各取1个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作，记甲盒子中单色球的个数为，恰有1个单色球的概率为，则（）A. B.是等比数列C. D.的数学期望为1【正确答案】ABD【分析】设重复进行次这样的操作，甲盒中恰有2个单色球的概率为，则甲盒中恰有0个单色球的概率为，对于A根据题意有计算即可判断，对于B，化简得，即即可判断，对于C由得，即可判断，对于D计算即可判断.【详解】设重复进行次这样的操作，甲盒中恰有2个单色球的概率为，则甲盒中恰有0个单色球的概率为．由题意知，故A正确．，，则．因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确．由，，故C错误．因为①，②．由①-②得．又因为，所以，所以，所以，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如果随机变量，且，则_______.【正确答案】【分析】根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于和的方程组，求解即可.【详解】因为，，所以，所以①，又，所以②，①代入②，得，解得.故答案为.13.某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为______人.（参考数据：，结果保留整数）【正确答案】【分析】根据正态分布的对称性，结合概率公式，可得答案.【详解】由身高近似服从正态分布，则，所以，可得全校高三学生中“高个子”的学生人数约为（人）.故答案为.14.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______．【正确答案】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，故，故，故，若，则，则为：，故有2种，若，则，则为：，，故有10种，当，则，则为：，，故有16种，当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，当，则，同理有2种，共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为.故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数．（1）可以排出多少个不同的三位数？（2）各位数字互不相同的三位数有多少个？（3）恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？【正确答案】（1）216（2）120（3）90【分析】（1）可先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解；（2）根据题意，先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解；（3）根据题意，可分为百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，且每种都有个，进而得到答案.【小问1详解】解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位，根据分步乘法计数原理知，可以排出（个）不同的三位数．【小问2详解】解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位，百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种，根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有（个）．【小问3详解】解：两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，且每种都有（个），故满足条件的三位数共有（个）．16.已知的二项展开式中，前三项的二项式系数和等于46.（1）求展开式中所有项的系数和；（2）求展开式中含的项.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用前三项的二项式系数和求出参数，再利用赋值法求出所有项的系数和即可.（2）利用二项式定理求出指定项的系数，再写出指定项即可.【小问1详解】因为前三项的二项式系数和等于46，所以，即，即，所以（舍）或.令，得，所以展开式中所有项的系数和为.【小问2详解】由（1）知二项式为，其二项展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中含的项为.17.在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球.（1）求前两次摸出的球均为黑球的概率；（2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望.【正确答案】（1）（2）分布列见解析，【分析】（1）求出每次为黑球的概率，在相乘即可；（2）写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问1详解】由题意，前两次摸出的球均为黑球的概率；【小问2详解】由题意，可取，则，，，，所以的分布列为.18.某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案．方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金．方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金．（1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求；（2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列；（3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算．【正确答案】（1）（2）答案见解析（3）游客选择网上购票更划算【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可；（2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列；（3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可.【小问1详解】，即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为，所以．【小问2详解】由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60，，，，，所以的分布列为：0102030405060【小问3详解】通过景点购票，由（2）得，的可能取值为0，10，20，30，40，，，，所以，故，所以游客选择网上购票更划算.19.学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和.某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为，乙每次答题答对的概率为，且每次答题相互独立.（1）若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率；（2）若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为，求的分布列和数学期望；（3）设，，为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？【正确答案】（1）（2）的分布列见解析，数学期望为（3）为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当时，应安排乙初赛，甲决赛；当时，应安排甲初赛，乙决赛.【分析】（1）结合对立事件的概率公式及独立重复试验的概率计算即可.（2）确定随机变量的可能取值，分类计算概率，列出分布列，计算数学期望即可.（3）分别求出“甲初赛，乙决赛”和“乙初赛，甲决赛”的概率，比较大小即可.【小问1详解】已知甲每次答题答对的概率为，则甲每次答题答错的概率为.因为甲答题3次是相互独立事件，所以甲3次都未答对的概率为.该班进入决赛的对立事件是甲3次都未答对，所以该班进入决赛的概率为.【小问2详解】已知乙同学参加初赛，若乙3次都未答对，则该班被淘汰，比赛成绩为0分；若乙至少答对一次，则进入决赛，决赛由另一名同学答题3次，每次都答对得3分，未答对得0分，乙初赛答对概率，甲决赛答对概率.的可能取值为0，3，6，9.①乙初赛全错或乙初赛至少答