上海市闵行第三中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题 含答案

/2025学年第二学期期中考试试卷高二年级数学学科一、填空题（本大题共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，合计54分）1.函数的导函数________.【正确答案】0 【详解】函数的导函数.2.椭圆的长轴长为________．【正确答案】【分析】根据椭圆的标准方程和长轴定义求解即可.【详解】由椭圆方程可得，所以长轴长，故3.函数在区间上的平均变化率是_________．【正确答案】【分析】根据平均变化率的定义：求区间上的平均变化率即可.【详解】解：函数的平均变化率为．故．4.双曲线的渐近线的方程为________.【正确答案】【详解】因为双曲线的焦点位于轴，且，，所以，，所以其渐近线方程为.5.平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________.【正确答案】【详解】根据椭圆的定义可知，到两定点距离之和为常数，且常数大于两定点间距离的点的轨迹是椭圆，因为，，所以焦距，解得，因为PA+PB=10>6，故P所以，解得，因此，解得，动点的轨迹方程是.6.函数的驻点为________.【正确答案】1【详解】函数的定义域为，y'=e令，则.当，；当，.所以函数的驻点是.7.若点为抛物线：上的一点，则点到抛物线的准线的距离为________.【正确答案】【详解】由点在抛物线C:y=k抛物线的准线方程为，所以点到抛物线的准线的距离d=1−(−148.已知圆的方程为，直线的方程为.若直线与圆相交所得弦长，则________.【正确答案】或【详解】由，得，所以圆的圆心为，半径为.若直线与圆相交所得弦长，则圆心到直线的距离为r2−AB22=所以3k−1k2+1=1，化简得9.函数在处取得极小值，则的值为________.【正确答案】2【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义求出的值并验证得解.【详解】函数的定义域为R，求导得，依题意，，解得或，当时，是常数函数，不存在极值；当时，，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，因此是函数的极小值点，所以.10.已知曲线的方程为，函数的图像与曲线重合，则________.【正确答案】【详解】因为函数的图象与曲线重合，曲线的方程为y24−x化简可得y2=4x求导可得f'因为，所以limh→0当时，f'1即limh→011.已知曲线的方程为，经过且倾斜角为的直线与曲线恰有2个公共点，则倾斜角的取值范围是________.【正确答案】【分析】画出直线与曲线的图象，结合图象进行解答.【详解】曲线的方程为x2−当时，，图象为双曲线的上半支，渐近线为，当时，，图象为圆的下半支，直线经过且倾斜角为，设直线的斜率为，，则直线的方程为，所以直线与曲线的图象为当直线与x2+y2可得2kk2当直线与平行时，，因此直线与曲线要恰有两个公共点，的取值范围为，即tanθ∈−12.如果将方程对应的图像绕原点逆时针旋转角后，所得到的图像为函数图像，则称方程具有性质.下列方程中，具有性质的序号为________.①；②；③，；④，.【正确答案】①④【分析】根据题意，结合变换公式，代入计算，可判定①②；结合圆的性质和函数的定义，可判定③；结合函数的性质，结合图象，可判定④.【详解】由绕原点逆时针旋转的坐标变换为x=x对于①，将变换公式代入方程，可得(x'整理得，即，此时为反比例函数，所以①满足的性质；对于②，将变换公式代入方程，可得(x'整理得，令，可得，解得或，不满足函数的定义，所以②不满足的性质；对于③，由方程，可得，其中，整理得，其中，这表示以为圆心，半径为的圆的上半部分，旋转后，会出现一个对应两个，不满足函数的定义，所以③不满足的性质；对于④，由方程x3−3y此时函数是上的奇函数，且为单调递增函数，如图所示，旋转后，会出现一个对应一个，满足函数的定义，所以④满足的性质；二、选择题（本大题共4题，13、14题每题4分，15、16题每题5分，满分18分）13.抛物线方程为，则此抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】抛物线方程为的焦点坐标为.14.圆：与圆：的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【正确答案】D【详解】圆C1:x−22圆C2:x−32而|C所以圆与圆内切.15.定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】若在上恒成立，则函数在上严格单调增，反之，函数在上严格单调增，则有，如函数在上严格单调增，而且，所以“在上恒成立”是“在上严格单调增”的充分不必要条件.16.平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，作出所有垂直于轴并能够与相交的直线，记相交所得到的线段为.现将这些线段在竖直方向上下平移得到新的线段，并使的中点均在轴上，这种变换叫做平移对称法.对于、、直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据平移对称法的定义，分析图形中两条曲线和在区间上的距离变化规律.【详解】原图形由两条曲线围成，下边界曲线，上边界曲线，定义域为.设垂直于轴的直线为x=t0≤t≤1，该直线与图形相交所得的线段等于上边界函数值减去下边界函数值：Lt由此可知，线段长度Lt是关于的一次函数，L0这说明原图形在竖直方向上的宽度随的增大而线性增加.根据定义，变换后的线段是由平移得到的，因此其长度保持不变，仍为Lt=2t由于的中点在轴上，这意味着变换后的图形关于轴对称，设变换后的图形上边界为，下边界为y=−hx，线段的长度为hx根据长度关系可得2hx=L同理，下边界为y=−三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.已知函数的解析式为.（1）求函数的严格单调区间；（2）求函数在闭区间上的最大值与最小值.【正确答案】（1）严格递增区间为，严格递减区间为；（2）最大值与最小值分别为.【分析】（1）求出函数的导数，再解不等式、即可.（2）由（1）的结论，利用单调性求出最值.【小问1详解】函数的定义域为R，求导得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的严格递增区间为，严格递减区间为.【小问2详解】当时，由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以函数在闭区间上的最大值与最小值分别为.18.已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，与双曲线在第一象限交于点，且线段的长度为2.斜率为的直线过点且与双曲线交于、两点.（1）求双曲线的方程；（2）若、两点均在双曲线的左支上，求斜率的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）分析可知Mc,2，代入双曲线方程运算求解即可得（2）由题意可知直线：，与双曲线方程联立，利用判别式结合韦达定理运算求解.【小问1详解】设，则，由题意可知：Mc将Mc,2代入双曲线可得，即，可得，且，可得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】由题意可知直线：，设，，联立方程y=kx+1x2则Δ=4k2所以斜率的取值范围为.19.已知太阳系中水星绕太阳旋转的轨道是一个椭圆，现将水星与太阳视作质点（忽略大小），如图所示建立平面直角坐标系，太阳在椭圆轨道的焦点处.资料显示，水星在点处离太阳最近，距离为46百万公里，在点处离太阳最远，距离为70百万公里.为水星某一时刻运行在轨道上的位置，将水星从远日点绕逆时针旋转到得到的角记为.（1）根据题干中的数据，计算水星绕太阳旋转轨道的离心率；（2）当时，求水星到太阳的距离.（单位：百万公里，精确到整数）.【正确答案】（1）；（2）约为68百万公里.【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的长半轴长及半焦距即可.（2）利用椭圆的定义及余弦定理，结合（1）中信息计算得解.【小问1详解】令水星绕太阳旋转的椭圆轨道长半轴长为，半焦距为，依题意，，解得，所以水星绕太阳旋转轨道的离心率.【小问2详解】令水星绕太阳旋转的椭圆轨道的另一个焦点为，在中，，令，则，由余弦定理得，即，整理得，由（1）得，所以水星到太阳的距离约为68百万公里.20.将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记作.斜率为且不经过点的直线与抛物线相交于、两点，设、的斜率分别为、（1）求抛物线的方程；（2）判断是否为定值.如果是，求出的值.如果不是，请说明理由；（3）若直线在轴上的截距，求面积的最大值.【正确答案】（1）；（2）是，定值为0；（3）.【分析】（1）设出抛物线方程，利用待定系数法求解.（2）由抛物线方程设出点坐标，利用斜率坐标公式列式求解.（3）用含的式子表示弦长及点到直线的距离，进而表示面积，利用导数求出最大值.【小问1详解】依题意，设抛物线的方程为，由抛物线过点，得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由（1）设点，由直线斜率为，得，整理得，因此，所以是定值，该定值为0.【小问3详解】依题意，直线的方程为，即，由消去得，，，，，点到直线的距离，则的面积，令，则，令，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，所以面积的最大值为.21.已知函数，为坐标平面上不在图象上的一点.若过点至少可以作1条函数的切线，则称点具有性质，所作切线为的线.（1）若，判断点是否具有性质，并说明理由；（2）若，点具有性质，且的线不超过1条，求实数的取值；（3）若，对于所有满足的，证明：若点具有性质，则.【正确答案】（1）否，理由见解析.（2）.（3）证明见解析.【分析】（1）利用导数与切线的关系求出切线的方程，判断切线的条数即可求解；（2）利用导数与切线的关系求出切线的方程，列出关于的方程，求