四川德阳市2026届高三年级适应性练习数学试题 含答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页/试卷第=page11页，共=sectionpages33页四川德阳市2026届高三年级适应性练习数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【难度】0.85【知识点】交集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式【详解】由，故.可得.2．在复平面内，复数，则z的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正确答案】B【难度】0.85【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限【详解】化简复数，分子分母同乘，.由，代入得.的共轭复数，对应复平面内的点坐标为，该点位于第二象限.3．中，，则（

）A．6 B． C． D．3【正确答案】A【难度】0.65【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积【分析】根据数量积的定义结合余弦定理可求的值.【详解】设所对的边分别为，由余弦定理：则.故选：A4．已知等差数列的前n项和为，若，则（

）A．36 B．32 C．24 D．18【正确答案】C【难度】0.85【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和【详解】等差数列中，由得，所以.5．德阳市教育行政部门近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往阿坝、若尔盖、越西三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的方法数为（

）A．24 B．36 C．72 D．81【正确答案】B【难度】0.75【知识点】分组分配问题【分析】先选1个区安排2人，剩下2个区各安排1人，据此可得答案.【详解】由题可得某个区需安排2人，剩下2个区各安排1人.先选1个区安排2人，情况数为：，剩下2个区各安排1人，有2种方法，则共有种方法.6．已知函数的零点分别为，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【难度】0.68【知识点】利用导数研究函数的零点、比较零点的大小关系【分析】先通过导数判断函数单调性，再代入特殊点（如）判断函数值符号，结合单调性确定零点所在区间，最后比较区间得出大小关系即可.【详解】已知的零点为，则，因为对于任意实数，都有，所以，所以函数在定义域上是单调递增的，则，又因为单调递增，且，所以其零点必定在的左侧，即.已知的零点为，因为函数的定义域为，且，因为，所以，则，所以函数在定义域上是单调递增的，则，又因为单调递增，且，所以其零点必定在的左侧，又因为定义域要求，所以.已知的零点为，则，因为对于任意实数，都有，所以，即，所以函数在定义域上是单调递增的，则，因为单调递增且，所以是函数的唯一零点，故.由以上知，，，故.7．如图，函数的图象与直线相交，A、B、C是相邻的三个交点，且，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【正确答案】C【难度】0.62【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式【分析】根据题意得到，再由，求解.【详解】由题意知：，则，，，则，，所以，解得，故选：C8．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于A、B，若的内切圆面积之比为1:4，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【正确答案】D【难度】0.4【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】分析可知，结合双曲线的定义可得，不妨令，，结合斜率公式可得，即可得离心率.【详解】设的内切圆圆心分别为，半径分别为因为的内切圆面积之比为1:4，则，圆与边分别切于点，则，，，因为，则，即，且，可得，，则，不妨令，同理可得，且，因为，均为的角平分线，可知点三点共线，则，即，解得，所以双曲线的离心率为.二、多选题9．下列说法中正确的是（

）A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6B．对随机事件A、B，若，则C．已知一组不全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据的平均数还是D．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则【正确答案】AD【难度】0.78【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、根据样本中心点求参数【详解】选项A：数据，极差为，中位数为极差与中位数之积为，故A正确.选项B：抛掷一枚硬币，事件正面向上，事件反面向上，则，，显然不相等，故B错误.选项C：原数据平均数，即，加入数后新平均数，仅时平均数不变，题干未限定，故C错误.选项D：回归直线过样本中心点，代入，得，解得，故D正确.10．在棱长为1的正方体中，．则下面结论中正确的是（

）A．存在，使得平面平面B．是平面的充要条件C．分别是在平面，平面上的投影图形的面积，对任意，都有D．任意，的面积不等于【正确答案】ABD【难度】0.38【知识点】三角形面积公式及其应用、线面垂直证明线线垂直、空间位置关系的向量证明、共面直线夹角的向量求法【分析】利用空间向量分别求出两平面的法向量后验证可得A；利用空间向量验证线面垂直可得B；结合投影坐标和三角形的面积公式可验证C；由空间向量求出和的夹角为，再利用三角形面积公式可得.【详解】如下图所示，建立空间直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，为正方体中一点，连接，点分别为在平面中的投影，连接，点分别为在平面中的投影，连接，因为正方体棱长为，，所以，，，，，，，，，选项A：存在，使得平面平面，设平面的法向量为，平面的法向量为，因为，，，，所以，即，令，解得，即，，即，令，解得，即，若平面平面，则，即，解得；选项B：是平面的充要条件，当时，，，即，所以平面，若平面，则，即，解得；选项C：的三个端点在平面上的投影坐标分别为，，，则，的三个端点在平面上的投影坐标分别为，，，则，令，即，解得，此时；选项D：设和的夹角为，，，，，，令，即，化简可得，判别式为，所以方程无实数解，即对任意，.11．已知函数是的导数，下列结论正确的是（

）A．的图象是轴对称图形 B．的极大值点和极小值点个数相同C． D．方程有根【正确答案】ACD【难度】0.42【知识点】判断或证明函数的对称性、导数的运算法则、求已知函数的极值【分析】对于A，计算可得即可判断；对于B，由A可得，即关于对称，且，则有奇数个根，据此可推断极大值点和极小值点个数不同；对于C，求导计算即可；对于D，由题可得结合零点存在定理即可判断．【详解】对于A，，的图象关于对称，故A正确；，，即，关于对称，且，则有奇数个根，的极大值点和极小值点个数不同，故B错误；对于C，令，其中，则，将代入，得，故C正确；，令，时，，时，，时，有解，即方程有根，故D正确．三、填空题12．的展开式中的系数等于___________．【正确答案】45【难度】0.65【知识点】求指定项的系数【分析】利用二项式定理确定展开式的通项，从而可得展开式中的系数.【详解】因为展开式的通项为，令，得，所以展开式中的系数为．故．13．过点的直线交抛物线于P，Q两点，直线过点P且与C相切，则直线与直线斜率之积为__________．【正确答案】【难度】0.65【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数【详解】由题可知，过点的直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.设，由，得，所以.由，得.所以直线的斜率为；又直线的斜率为，所以直线与直线斜率之积为.14．在平面直角坐标内（为坐标原点），已知，将B绕O沿逆时针方向旋转到点，设，则的值为__________．【正确答案】/【难度】0.65【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式【详解】由可得，则点都在以为原点，为半径的圆上.设，则，.由题意可知.所以.四、解答题15．针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图．(1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联；性别是否喜欢人工智能应用合计是否男生女生合计(2)已知该校男生女生人数之比为4:5，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取1名学生，已知该生喜欢人工智能应用，求该生为女生的概率．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中．【正确答案】(1)填表见解析；能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联(2)【难度】0.65【知识点】完善列联表、独立性检验解决实际问题、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率【分析】（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，利用公式求，与临界值对比后下结论；（2）根据全概率公式求抽取的学生喜欢人工智能应用的概率，再根据贝叶斯公式求该生为女生的概率.【详解】（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成列联表如下：性别是否喜欢人工智能应用合计是否男生7525100女生5545100合计13070200零假设为：该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用没有关联．，∴依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联．（2）设事件A为“抽取的学生喜欢人工智能应用”，事件B为“抽取的学生为女生”，则为“抽取的学生为男生”，将样本的频率视为概率，则，，由全概率公式得，再根据贝叶斯公式得.所以已知该生喜欢人工智能应用，则该生为女生的概率为.16．已知数列中，．(1)求；(2)设，证明：数列是等比数列；(3)记，求数列的前n项和．【正确答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)【难度】0.59【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和【分析】（1）由递推公式可得答案；（2）证明为常数即可完成证明；（3）由（2）分析可得，，然后由裂项求和法可得答案.【详解】（1）数列中，，则，；（2）由，则，则，从而是以为首项，公比为2的等比数列；（3）由（2），则，从而.17．如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高分别为AB，CD的中点，与交于点E，与交于点F．(1)证明：平面ABCD；(2)求二面角的平面角的正弦值．(3)求多面体ABCDEF外接球的面积．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【难度】0.4【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面平行、求二面角【分析】（1）利用平行四边形证明E为线段的中点，再利用中位线得出，即可由线面平行的判定定理得证；（2）作出二面角的平面角，利用余弦定理求解，再根据同角三角函数基本关系即可求解；（3）根据球的截面性质，判断球心位置，利用方程求出球半径即可得解.【详解】（1）连接，，如图，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以四边形是矩形，所以，，又，分别为AB，CD的中点，所以，，所以，，所以四边形是平行四边形，又对角线，所以点E为线段的中点，同理，点F为线段的中点，所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.（2）连接，交EF于点N，连接，由题意知，故，所以,同理可得，,所以即为二面角的平面角.又在中，，所以，同理可得，在中，由余弦定理可得，所以.（3）取中点，连接，则由题意知平面，由外接球的性质可知，球心在或的延长线上，连接，若在线段上，，，故，不合题意；故在线段的延长线上，设，则,因为，，即，解得，所以，故外接球的面积.18．已知函数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若恒成立，求a的取值范围；(3)证明：．【正确答案】(1)(2)(3)证明见解析【难度】0.26【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、求等比数列前n项和【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，再利用直线的点斜式方程可求得切线方程；（2）根据，可知存在，使得，即，从而可得极小值为，求出，从而可得a的取值范围；（3）由（2）可知，当时，恒成立，即，令可得，，，，两边求和可证.【详解】（1）当时，，，则，故切线的方程为，即；（2）由于，当时，定义域为，由于趋于时，趋于，而趋于，所以不能恒成立，因此，此时定义域为，又，根据函数和的图象性质，可知存在，使得，即，且当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以为函数的极小值点，极小值为设，则恒成立，则在上单调递减，且，所以，又因为，则，即a的取值范围为；（3）由（2）可知，当时，恒成立，即，也就是，所以，，，，累加求和得，即.19．已知椭圆的离心率为，左顶点为A，下顶点为B，的面积为1（O为坐标原点）．(1)求椭圆的方程；(2)点P为椭圆上任意一点，以P为圆心PO为半径的圆与以椭圆焦点F为圆心半径为的圆的公共弦为MN，是否存在r，使得的面积为定值（与点P无关）？若存在，求出r及的面积；否则说明理由．(3)事实上（2）的结论对任意椭圆都成立，写出该结论（不需要证明）．【正确答案】(1)(2)存在，，的面积为.(3)结论见详解.【难度】0.15【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率