新疆乌鲁木齐地区2025-2026学年高三下学期第三次质量监测（问卷）数学试题 含答案

/数学第I卷（选择题共分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.3.在等差数列中，若，则（）A. B.0 C.1 D.34.若，则（）A. B. C. D.25.已知，则（）A.“”是“”的充分条件B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的必要条件6.已知，若在之间插入3个数，使这5个数构成等比数列，则（）A. B.1 C.或1 D.或27.已知向量，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.48.为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，其中在山的同一侧，在山的另一侧，为求出隧道的长度，测量出，则隧道的长度为（）A. B. C. D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量服从正态分布，则（）A.B.C.D.当时，10.已知抛物线的焦点为，准线为为坐标原点，过的直线交于两点，过点作的垂线，垂足为，则（）A.的最小值为3B.平分C.当时，与轴夹角为D.直线恒过定点11.已知某四棱锥底面为菱形，一条侧棱垂直于底面且八条棱的长度构成集合，则四棱锥的体积可能是（）A. B. C. D.第II卷（非选择题共92分）三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.为奇函数，若，则__________.13.直线经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到直线的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为__________.14.地面上有一个直径的圆，一个高的电线杆的底座在点处，电线杆的顶上挂了一盏路灯，一个身高1.8m的人从点绕着圆走一圈，则人影扫过的面积为__________.四､解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的最大值为3.（1）求常数的值；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间.16.甲，乙，丙三人同时对飞机进行射击，三人击中飞机的概率都是，已知在被一人击中的条件下，飞机被击落的概率为；在被两人击中的条件下，飞机被击落的概率为；若被三人都击中，飞机必被击落.（1）设三人中击中飞机的人数为，求的数学期望；（2）求飞机被击落的概率.17.如图，在菱形中，，点是的中点，将沿翻折至，使得.（1）证明；（2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值.18.已知双曲线，直线与有唯一的公共点，与的两条渐近线分别交于两点.（1）求和的关系；（2）证明点是的中点；（3）以线段为直径的圆与轴交于两点，与轴交于两点，当时，求双曲线的方程.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，函数有两个零点，求的取值范围；（3）若，证明对任意，函数有两个零点，且满足.

数学分值：150分；考试）第I卷（选择题共分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据集合的运算求解即可.解答过程：，所以.2.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，故的共轭复数为3.在等差数列中，若，则（）A. B.0 C.1 D.3答案：B解析：解答过程：因为为等差数列，所以.4.若，则（）A. B. C. D.2答案：A解析：思路：根据二倍角的余弦公式以及即可求解.解答过程：由二倍角的余弦公式，得，由于，则，因此，，因此，故A正确.5.已知，则（）A.“”是“”的充分条件B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的必要条件答案：D解析：解答过程：对于A，若，满足，而，则“”不是“”的充分条件，故A错误；对于B，若，满足，而，则“”不是“”的必要条件，故B错误；对于C，由，当时，，则“”不是“”的充分条件，故C错误；对于D，由，则且，即，所以“”是“”的必要条件，故D正确.6.已知，若在之间插入3个数，使这5个数构成等比数列，则（）A. B.1 C.或1 D.或2答案：C解析：解答过程：已知，成等比数列，根据等比数列的性质，是等比中项，则，，，故C正确．7.已知向量，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：利用向量垂直等价于数量积为0，计算出的关系，用关于的代数式表达，使用均值不等式求出最小值.解答过程：，即,，当且仅当即时取等号.8.为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，其中在山的同一侧，在山的另一侧，为求出隧道的长度，测量出，则隧道的长度为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度.解答过程：设，，，，，.在中，，，.由正弦定理，即，所以.在中，因为，，所以.由正弦定理，所以，又因为，所以，所以，所以隧道的长度为.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量服从正态分布，则（）A.B.C.D.当时，答案：ACD解析：思路：根据正态分布的相关性质即可求解.解答过程：由题意得，随机变量服从正态分布，根据正态分布的性质，有，，正态分布曲线关于直线对称，对于A，根据期望的线性性质，有，故A正确；对于B，根据方差的性质，有，故B错误；对于C，因为正态分布曲线关于直线对称，所以有，，由于正态分布是连续分布，有，因此，故C正确；对于D，根据条件概率公式，有，因为必然满足，所以，则，由正态分布的对称性可知，同时，因此有，解得，故D正确.10.已知抛物线的焦点为，准线为为坐标原点，过的直线交于两点，过点作的垂线，垂足为，则（）A.的最小值为3B.平分C.当时，与轴夹角为D.直线恒过定点答案：ABD解析：解答过程：A：设过焦点的直线为，代入抛物线方程，得，设，，则，，由焦点弦长公式可得，当时，，故A正确；B：由抛物线定义，，故为等腰三角形，，又轴，故，因此，即平分，故B正确；C：由，得，代入抛物线方程得，直线的斜率，故直线与轴夹角为或，不是，故C错误；D：点，直线的方程为，代入原点验证可得左边，结合，代入可得右边，可验证当时，，即直线恒过原点，故D正确．11.已知某四棱锥底面为菱形，一条侧棱垂直于底面且八条棱的长度构成集合，则四棱锥的体积可能是（）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：根据四棱锥的几何性质，结合已知条件，分情况讨论得出四棱锥体积的所有可能值．解答过程：设四棱锥为，底面，已知底面为菱形，设底面棱长为，则，设，则，，当时，，若，则，此时，故，，，故可能为A；当时，，若，则，解得，则，，，故可能为C；当时，，若，则，解得，则，，，故可能为B；当时，，无论或2，均不在集合中，不满足题意．第II卷（非选择题共92分）三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.为奇函数，若，则__________.答案：1解析：解答过程：由为奇函数，且，则.13.直线经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到直线的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为__________.答案：解析：思路：设直线经过点，得到直线的，结合题意，利用点到直线的距离公式，列出方程，求得，进而求得椭圆的离心率.解答过程：设椭圆的方程为，可得椭圆的四个顶点坐标为，根据题意，直线必过椭圆长轴的一个顶点和短轴的一个顶点，不妨设直线经过点，此时直线的，因为椭圆中心到直线的距离为其长轴长的，可得，整理得，可得，即，所以椭圆的离心率为.14.地面上有一个直径的圆，一个高的电线杆的底座在点处，电线杆的顶上挂了一盏路灯，一个身高1.8m的人从点绕着圆走一圈，则人影扫过的面积为__________.答案：解析：解答过程：设电线杆为，路灯位于点，表示人的身高，设人影在地面的投影为，设，则，所以，整理得，解得，故，故在地面上的轨迹为圆，该圆过点，且与以为直径的圆的位似比为，故其半径为，故人影扫过的面积为.四､解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的最大值为3.（1）求常数的值；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间.答案：（1）1（2）解析：思路：（1）根据两角和差的正弦公式及辅助角公式对进行化简，结合正弦型函数的最值求解即可.（2）根据图形的平移变换得到的解析式，结合正弦型函数的单调性求解即可.（1）.又，所以的最大值为，所以，解得.（2）由（1）知，.函数的图象向右平移个单位长度得到.再向下平移1个单位长度得到函数的图象，所以.令，，则，，所以的单调递增区间为.16.甲，乙，丙三人同时对飞机进行射击，三人击中飞机的概率都是，已知在被一人击中的条件下，飞机被击落的概率为；在被两人击中的条件下，飞机被击落的概率为；若被三人都击中，飞机必被击落.（1）设三人中击中飞机的人数为，求的数学期望；（2）求飞机被击落的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题意可知，利用二项分布的概率计算可得分布列，进而计算可求得期望；（2）利用全概率公式计算可求得飞机被击落的概率.（1）由题意可知，三人中击中飞机的人数的取值为，，，，，所以随机变量的分布列为：0123所以；（2）记“飞机被击落”，“飞机被人击中”，由（1）知，，，，根据题意得，，，，所以.17.如图，在菱形中，，点是的中点，将沿翻折至，使得.（1）证明；（2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，证得平面，再以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证.（2）求出平面与平面的法向量，进而求出直线的方向向量，再求出平面的法向量，并利用线面角的向量法求解.（1）在菱形中，由，得是正三角形，由点是的中点，得，则，而平面，于是平面，平面，则平面平面，在平面内过点作，而平面平面，则平面，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，又，则，因此，，即有，所以.（2）由（1）得，设平面与平面的法向量，则，取，得，，取，得，令直线的方向向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成的角为，因此，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知双曲线，直线与有唯一的公共点，与的两条渐近线分别交于两点.（1）求和的关系；（2）证明点是的中点；（3）以线段为直径的圆与轴交于两点，与轴交于两点，当时，求双曲线的方程.答案：（1）（2）证明见解析（3）或.解析：思路：（1）联立直线、双曲线方程，由判别式等于0即可求解；（2）联立直线和渐近线方程，求得交点坐标，进而确定中点坐标，再结合（1）即可求证；（3）由（1）（2）确定圆的方程，通过弦长公式求得，再通过面积相等构造等式求解即可.（1）将代入双曲线，整理得：

，

因为直线与双曲线有唯一公共点，且（二次项系数不为0），故判别式，即

，

化简可得：

；（2）双曲线的渐近线为，由，可得，即，由可得，即，则中点坐标：

，，即而唯一公共点是（1）中二次方程的重根，得​，代入得​，即,故是的中点，得证；（3）为直径，故圆心为，，结合，化简可得，故圆的方程为，化简得：

令得，则，高为，故：

令得，则，高为，故：

，​​由，得，平方得，代入，令，整理得：

，解得或，故或，双曲线方程为：或.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，函数有两个零点，求的取值范围；（3）若，证明对任意，函数有两个零点，且满足.答案：（1）当时，函数的增区间为，无减区间；当时，函数的增区间为，减区间为.（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）求导后对分类讨论即可；（2）代入极大值点得到不等式，求出范围，再验证充分性即可；（3）求导