云南昆明理工大学附属高级中学2025-2026学年下学期期中检测高一年级数学试题 含答案

/昆明理工大学附属高级中学2025-2026学年下学期期中检测高一年级数学试题卷（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡的相应位置上，在试题卷､草稿纸上作答无效.2考试结束后，请将答题卡交回，试卷学生自己保管好.第I卷（选择题，共58分）一､单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项，请将该选项对应的字母填涂在答题卡上.不选､多选､错选均不得分.）1.已知集合，则集合（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】由，则.2.设向量,则是“”的（）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等；求出的充要条件，判断前者成立是否能推出后者成立，反之判断后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论．【详解】的充要条件为，即或，“”是“或”成立的充分不必要条件，

“”是“”的充分不必要条件，

故选A．判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先对各个条件进行化简，再利用充要条件的定义加以判断．3.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以，故选：D4.已知向量在向量上的投影向量为，且，则（）A.-18 B.-12 C.6 D.12【正确答案】A【分析】结合向量投影可得；【详解】因为向量在向量上的投影向量为，且，所以，且，所以.5.在正四棱台中，，则该棱台的体积为（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】上底边长，下底边长，侧棱，由正四棱台性质可得：如图，，所以，再由勾股定理可得棱台的高：，代入体积公式计算：V=6.设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）A. B.C.或 D.【正确答案】C【分析】根据偶函数可将不等式转化为，再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围.【详解】由于是偶函数，根据偶函数的定义，.因此，不等式可以转化为.函数在上单调递增，在上单调递减，所以，解得或.故选：C.7.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，现有周长为5+的△ABC满足sinC：sinA：sinB＝2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A. B. C. D.3【正确答案】A【分析】由正弦定理得出边长之比，求得三角形的三边长，然后由海伦公式计算面积．【详解】解：周长为5+的△ABC满足sinC：sinA：sinB＝2：3：，利用正弦定理整理得：c：a：b＝2：3：，令，所以c＝2k，a＝3k，b＝，利用a+b+c＝2k+3k+k＝5+，解得k＝1，故c＝2，b＝3，b＝．故．故选：A．8.设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（）A. B.0 C.1 D.2【正确答案】C【分析】根据函数奇偶性可求得函数的周期为4，再根据所给解析式求出一个周期内的函数值之和，可求出结果.【详解】为偶函数，所以，令，可得，也即，因此函数的对称轴为，且；又因为为奇函数，因此，所以所以，也即，；可得，可知函数的周期为4，又因为当时，（且），所以，可得；又易知，由可得，可得;所以；因此则.二､多选题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.每小题有多个正确选项，请将正确选项对应的字母填涂在答题卡上.其中选全6分，部分选对得部分分，错选0分.）9.若复数，则下列选项正确的有（）A. B.的共轭复数为C.为实数 D.在复平面内对应的点位于第二象限【正确答案】AC【详解】因为，所以，故A正确；复数的共轭复数为，故B错误；为实数，故C正确；在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误.10.如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（）A.与平行B.C.直线、、中，任意两条都是异面直线D.过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为【正确答案】BCD【分析】由题意还原正方形，根据几何性质以及异面的概念，结合共面判定与菱形性质，可得答案.【详解】由题意还图可得对于A，由，则，故A错误；对于B，由，则，故B正确；对于C，由，，则两两异面，故C正确；对于D，取的中点为，连接，如下图：由分别为的中点，则，所以四边形为菱形，即共面，故菱形为所求截面，易知，，则面积为，故D正确.故选：BCD.11.在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.面积的最大值为D.若，角的平分线交于点，则【正确答案】BCD【详解】对于A，因为，所以，所以，又，即，则，又，所以，解得，又，故，故A错误；对于B，因为，外接圆的半径为2，所以，故B正确；对于C，因为，即，又，所以，得，当且仅当时，取等号，所以，即面积的最大值为，故C正确；对于D，由，结合，解得，由，即，解得，故D正确.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.且的图象恒过定点_________．【正确答案】【分析】根据指数函数图象特征列式求解即可.【详解】令，得，则，即且的图象恒过定点.故答案为.13.已知满足，则________．【正确答案】【分析】应用两角差余弦公式及同角三角函数关系得出，再应用二倍角余弦公式及弦化切计算求解.【详解】因为，所以，则，则.故答案为.14.如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________【正确答案】【分析】设半圆的圆心为，分析可知，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量模长的坐标公式可求得的取值范围.【详解】设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则、、，设点，其中，则，，所以，因为，所以，则，故，即的取值范围是.四､解答题（本题共5个小题，其中15题13分，16､17题15分，18､19题17分，共77分）15.如图，在菱形中，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量的线性运算可求的表示形式，从而可求的值；（2）根据数量积的运算律可求的值．【小问1详解】，因不共线，故，故.【小问2详解】,故.16.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）设的内角的对边分别为，为锐角，且，，，求的面积．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦二倍角公式辅助角公式先化简，然后利用正弦型函数单调性求解即可；（2）利用正弦定理，两角和的正弦公式以及三角形面积公式求解即可.【小问1详解】由，令，解得，即的单调递增区间为．【小问2详解】由（1）可得，则，因为，所以，则，解得，由正弦定理，可得，因为，所以，所以．17.已知的内角的对边为，且.（1）求角；（2）若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长.【正确答案】（1）（2）；【小问1详解】由正弦定理得：，，，又，.【小问2详解】由（1）知：，，解得：；为的中线，，，，即中线的长为；为内角的平分线，，，，.18.如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．（1）求证：四点共面；（2）求证：平面；（3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值．【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【分析】（1）连接，即可证明，，从而得证；（2）连接、分别交、于点、，连接，即可证明，从而得到，即可得证；（3）根据面面平行的性质得到，即可得到，从而得解.【小问1详解】连接，因为点分别为棱的中点，所以，又在正方体中且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以四点共面；【小问2详解】连接、分别交、于点、，连接，在正方体中，且，所以，则，同理可得，所以，所以，又平面，平面，所以平面；【小问3详解】因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，所以，因为，所以.19.如图.，由平面内两条相交成角的数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.（1）若向量的“完美坐标”为，求；（2）已知分别为向量的的“完美坐标”，证明：；（3）若向量的“完美坐标”分别为，设函数，求的值域.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）.【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可；（2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证；（