小学数学第十章　§10.3　频率与概率

§10.3频率与概率学习目标1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系，结合具体实例，会用频率估计概率.2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率.一、频率的稳定性问题1利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示：序号n=20n=100n=500频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506你能计算出事件A的概率吗？频率与概率有什么关系？知识梳理1.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).

2.频率是概率的试验值，概率是频率的稳定值.3.概率是一个的数，与每次试验的次数.

例1(1)在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为85%”，这是指()A.明天该地区有85%的地区降水，其他地区不降水B.明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水C.气象台的专家中有85%的人认为明天会降水，另外15%的专家认为明天不降水D.明天该地区降水的可能性为85%(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如表：抽取台数501002003005001000优等品数4092192285478954①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？反思感悟(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.跟踪训练1某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率m(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？二、游戏公平性的判断例2下面有两个游戏规则，袋子中分别装有红球和白球，从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的.游戏1游戏22个红球和2个白球3个红球和1个白球取1个球，再取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的两个球不同色→乙胜跟踪训练2已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135，256，345等).现要从甲、乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少个“三位递增数”？并一一列举出来；(2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？并说明理由.三、用随机模拟估计概率问题2用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以替代试验呢？问题3随机模拟的步骤是怎样的？知识梳理1.利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形.2.利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型.3.利用随机模拟的方法估算概率的步骤：一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随着模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率.例3要产生1~25之间的随机整数，你有哪些方法？跟踪训练3袋子中有四个小球，分别写有“春”“夏”“秋”“冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止，用随机模拟的方法估计取到第二次就停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4分别表示取出写有“春”“夏”“秋”“冬”四个字的小球，以每两个随机数为一组，代表两次取球的结果，经随机模拟产生了20组随机数：1324123243142432312123133221244213322134据此估计，取到第二次就停止的概率为()A.15 B.C.13 D.1.知识清单：(1)概率与频率的关系.(2)用频率估计概率.(3)用随机模拟估计概率.2.常见误区：频率与概率的关系易混淆.1.“某彩票的中奖概率为11000”意味着(A.买1000张彩票就一定能中奖B.买1000张彩票中一次奖C.买1000张彩票一次奖也不中D.购买彩票中奖的可能性是12.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了480次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为()A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.483.某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2500套座椅中大约有套次品.

4.盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”“宁”“联”“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球，将三次抽取后“联”“盟”两个字都被抽取到记为事件A.用随机模拟的方法估计事件A发生的概率，利用电脑软件随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“安”“宁”“联”“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，102，021，112，003，113，221，232，由此可以估计，事件A发生的概率为.

答案精析问题1(1)试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.知识梳理1.稳定稳定性3.确定无关例1(1)D(2)解①抽到优等品的频率分别为0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954.②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.跟踪训练1解(1)表中依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.例2解在游戏1中，取出的两球同色的概率为24×13+24×13=13，取出的两球不同色的概率为24×23+24×2游戏2中，取出的两球同色的概率为34×23=取出的两球不同色的概率为34×13+14×33=12，所以甲获胜的概率为跟踪训练2解(1)由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”共有20个，分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.(2)不公平.由(1)知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有的基本事件有124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456，共13个.由古典概型的概率计算公式，得P(A)=1320又A与B对立，所以P(B)=1-P(A)=1-1320=7所以P(A)>P(B).故选取规则对甲、乙两名同学不公平.问题2我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.问题3(1)建立概率模型；(2)进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；(3)统计试验结果.例3解方法一采用抽签法时必须保证任何一个数被选到的概率是等可能的.可以把25个外观、质地等无差别的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个不透明的袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1~25之间的随机整数.方法二可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：(