2026届重庆市高三数学高考冲刺模拟试卷（含答案详解与评分标准）

2026届重庆市高三数学高考冲刺模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校：________________班级：________________姓名：________________考号：________________考试时间：120分钟满分：150分题量：22题适用：高三高考冲刺检测注意事项：1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写清楚。2．本卷用于高考冲刺阶段综合检测，试题覆盖函数与导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等核心内容。3．选择题每小题只有一个正确选项；填空题只写最终结果；解答题须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。4．全卷共150分，考试时间120分钟。请合理分配时间，保持书写规范。一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A．B．C．D．2．设复数，其中为虚数单位，则A．B．C．D．3．等差数列满足，，则其前8项和A．84B．88C．96D．1004．函数在处取得极大值，则实数的值为A．1B．C．0D．−15．已知向量，，且若，则A．1B．C．2D．36．椭圆的两焦点之间的距离为A．2B．4C．D．67．二项式展开式中的常数项为A．160B．−80C．80D．−1608．抛物线的准线方程是A．B．C．D．9．从数字1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率为A．B．C．D．10．若，且，则A．B．1C．D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．函数的最小正周期为________。12．数列满足，，则________。13．不等式的整数解个数为________。14．直线与圆相交于两点，则弦长________。15．设随机变量，且若标准正态分布满足，则________。16．设，则曲线在处的切线方程为________。三、解答题：本题共6小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（17分）已知函数（1）将化为的形式；（2）求的单调递增区间；（3）求在区间上的最大值及取得最大值时的值。作答区：18．（17分）已知等差数列满足，前6项和（1）求数列的通项公式；（2）设，求作答区：19．（17分）四棱锥的底面为矩形，，，底面，且（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求三棱锥的体积。作答区：20．（17分）某校在高考冲刺阶段进行两次数学模拟检测。随机抽取100名学生，统计“后测成绩－前测成绩”的差值，得到如下分组表。差值区间/分[-20,-10)[-10,0)[0,10)[10,20)[20,30]人数818362810（1）估计该校学生后测成绩比前测成绩至少提高10分的概率；（2）用各组区间中点估计这100名学生成绩差值的平均数；（3）在提高至少20分的10名学生中，有男生6人、女生4人。现从这10人中随机选2人分享备考经验，求恰有1名男生、1名女生的概率。作答区：21．（17分）已知椭圆经过点，且离心率（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于两点，设弦的中点为，求的轨迹方程；（3）当时，求弦长作答区：22．（17分）已知函数（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，证明：对任意，都有；（3）设若有两个不同零点，求的取值范围。作答区：

参考答案与解析一、选择题答案与关键理由题号12345678910答案BCDACBDACD1．由得；由得，即，故交集为选B。2．，故选C。3．设公差为，由得，所以选D。4．在处取得极值需，故；此时，确为极大值。选A。5．，故，又，得选C。6．椭圆中，，，所以选B。7．通项为令得，常数项为选D。8．即，故准线为选A。9．3个数和为偶数，需取2个奇数和1个偶数。共有种，总数种，概率选C。10．因，所以由得，，故选D。选择题评分标准：每小题3分，只选出唯一正确选项且答案位置清楚得3分；多选、错选或未选均不得分。第1题主要考查集合运算与对数不等式，解题时应先求定义域，再进行区间交集判断。第2题评分要点：能正确进行复数除法并化为标准形式即可判定模长。若计算中忽视分母实数化，容易把分子模与分母模直接相除而造成误判。第3题评分要点：应由首项和第5项先求公差，再代入前n项和公式。若只求到公差但没有完成求和，不应得到完整分值。第4题评分要点：要同时体现导数为零和二阶导数为负这两个判断。只由驻点条件得到参数但未说明极大值性质，可视为思路正确但结论依据不完整。第5题评分要点：本题核心是把两个向量和差的垂直条件转化为两个向量模长相等。参数附加条件保证答案唯一，应在最后取正值。第6题评分要点：先确认椭圆长轴在x轴方向，再用焦距关系计算。若把焦距误写为半焦距，则会得到干扰选项。第7题评分要点：必须写出含有指数的通项并令指数为零。符号由负数幂决定，常数项为负是本题常见易错点。第8题评分要点：把抛物线方程与标准形式对应，判断开口方向和参数位置。准线的符号由开口方向决定。第9题评分要点：从奇偶性入手分类计数，既要计算有利情况，也要计算总情况。直接枚举也可得分，但不得漏数或重复。第10题评分要点：利用给定区间排除另一个角值，保证三角函数值唯一。若未考虑区间限制，会得到两个可能值而无法选出唯一答案。二、填空题答案与解析11．答案：解析：函数的角速度为2，最小正周期12．答案：31。解析：递推得，，，13．答案：5。解析：由得，整数解为0，1，2，3，4，共5个。14．答案：8。解析：圆心到直线距离，弦长15．答案：2。解析：由，得，故16．答案：解析：，，，切线为，即填空题评分标准：每小题3分，只看最终结果是否准确。结果中含有必要的单位、区间或方程形式时，应写完整；结果等价但未化为最简形式，可依据阅卷要求酌情给分。第11题应写出最小正周期，不写“最小”但结果正确不影响得分；第12题考查递推计算，若把递推式误看成等比数列，结果将偏差明显。第13题的整数解个数必须在严格不等式区间内统计，端点不能计入；第14题要先算圆心到直线的距离，再用半径、半弦长关系求弦长。第15题使用标准化时要注意标准差为正数，结论只能取正值；第16题要求写出切线方程，若只写斜率或切点坐标，不能视为完整答案。三、解答题答案详解与评分标准17．答案详解：（1）由，，得（2）令，得，，所以单调递增区间为（3）当时，正弦函数在该区间可取到1，取到时，即最大值为过程说明：本题属于三角函数图象与性质的综合题。第一步应把所有含有平方和乘积的三角式统一转化为二倍角形式，这样才能把问题化为一个标准正弦函数的相位问题。若保留原式直接讨论单调性，计算会显著复杂。在求单调区间时，要先写出标准正弦函数的递增相位区间，再把相位整体代入不等式。注意不等式两端同时减去相位常数后再除以2，区间端点必须同步变化。在闭区间上求最大值时，应先判断相位区间是否覆盖正弦函数取得最大值的位置。若相位区间包含对应点，就直接给出最大值和自变量；若不包含，才需要比较端点值。书写评分要点：第（1）问公式变形应完整；第（2）问区间中的整数参数不能漏写；第（3）问既要写最大值，也要写取得最大值的自变量。常见失分：把递增区间写成开区间、把相位平移方向写反、或只写最大值而不写取值点。阅卷时应关注结论是否与题设区间一致。评分标准：第（1）问正确使用二倍角公式并化为目标形式给6分；第（2）问写出正弦函数增区间并解出范围给6分；第（3）问确定相位范围、最大值及取值点给5分。评分细则：本题共17分。化简过程6分，其中二倍角公式各2分、合并为标准正弦形式2分；单调区间6分，其中相位区间2分、解不等式3分、参数书写1分；最大值部分5分，其中相位范围2分、最大值1分、取值点2分。18．答案详解：设等差数列首项为，公差为由，，得两式联立，，故，所以（2）于是过程说明：等差数列题的关键是把已知项和前项和转化为首项、公差的方程组。由于题目给出了一个项值和一个和式，两个未知量恰好可以唯一确定。求和部分采用裂项法，原因是相邻两项的分母连续，分式可以拆成两个相邻倒数之差。裂项后中间项全部抵消，只保留首尾两项。若考生直接通分计算十个分式，也能得到结果，但过程冗长且容易出错；高考冲刺训练更强调发现结构、减少计算量。书写评分要点：方程组建立正确是得分基础；通项公式要写成关于n的表达式；裂项公式要写清楚，不能只给最终和。常见失分：把前6项和公式写成六项平均数、把公差符号写错、或裂项时把相邻分母顺序颠倒导致符号错误。评分标准：建立等差数列方程组给4分，求出给4分，写出通项给3分；将裂项给3分，正确求和给3分。评分细则：本题共17分。列方程组4分，求首项和公差4分，通项公式3分，裂项表达式3分，求和结果3分。过程正确但结果化简错误，可按前面有效步骤给分。19．答案详解：（1）因为底面，且平面，所以平面平面（2）建立空间直角坐标系：令，，，，则平面内有，，其法向量可取设直线与平面所成角为，则（3）三角形为矩形的一半，面积点到底面距离为，故过程说明：立体几何题先用垂直关系完成证明，再用坐标法处理线面角与体积。题设给出了底面矩形和侧棱垂直底面的条件，适合直接建立空间直角坐标系。第（1）问的证明逻辑是：一条直线垂直于一个平面，且这条直线在另一个平面内，则两个平面垂直。证明中应明确指出直线所在平面与被垂直平面。第（2）问中，直线与平面所成角的正弦值可由直线方向向量和平面法向量计算。方向向量与法向量的夹角是线面角的余角，因此使用点乘公式时得到的是线面角的正弦值。第（3）问求体积时，可以直接把三角形BCD作为底面，点P到底面的距离就是PA。由于BCD是矩形的一半，面积计算简洁。书写评分要点：证明题要有完整逻辑语句；坐标法要写出关键点坐标、方向向量和法向量；体积题要写明底面积与高。评分标准：第（1）问说明线面垂直推出面面垂直给5分；第（2）问建系或等价方法正确给3分，求出法向量给3分，应用线面角公式并化简给4分；第（3）问求底面积和高并算出体积给2分。评分细则：本题共17分。面面垂直证明5分；建立坐标系和写出坐标3分，法向量3分，线面角正弦值4分；体积计算2分。若不用坐标法，逻辑等价且结果正确同样给分。20．答案详解：（1）至少提高10分对应区间与，频数为，所以概率估计值为（2）各区间中点依次为，平均数估计为分。（3）从10人中任取2人共有种；恰有1名男生、1名女生共有种，所求概率为过程说明：本题以冲刺阶段两次模拟检测为背景，考查频率估计概率、分组数据估计平均数以及古典概型。表格中每个区间的含义应与题目中的成绩差值对应。第（1）问的“至少提高10分”包含10分及以上，所以应合并后两个区间。若把10分所在区间排除，会导致概率偏小。第（2）问要求使用组中值估计平均数，必须先列出各组中点，再用频数作为权重求加权平均。该方法是分组数据近似统计的常规处理。第（3）问中抽取2人的结果等可能，总数用组合数计算；有利事件要求男女各一人，因此男生选1人、女生选1人后相乘。书写评分要点：概率估计要写成频率形式；平均数估计要体现组中值与频数的乘积；古典概型要写出总事件数和有利事件数。评分标准：第（1）问识别目标区间给2分，概率计算给3分；第（2）问写出组中值给3分，加权平均计算正确给5分；第（3）问总数和有利数列式各2分，最终概率化简给2分。评分细则：本题共17分。概率估计5分，平均数估计8分，古典概型4分。平均数题中组中值、乘频数、除以总人数三个环节缺一不可。21．答案详解：（1）由离心率，得，又点在椭圆上，故，即，所以，椭圆方程为（2）将代入，得若交点横坐标为，则中点横坐标，纵坐标由消去，得，即，且实际轨迹满足（3）当时，直线为代入椭圆得，两根之差弦长过程说明：解析几何题的第一步是用离心率关系确定长半轴、短半轴的比例，再利用椭圆经过的点求出具体参数。只有方程确定后，后续直线与椭圆的运算才有依据。第（2）问采用设而不求的方法。把过定点的直线代入椭圆，得到关于横坐标的一元二次方程，再用根与系数关系写出弦中点坐标。这样可以避免直接求交点坐标。消去斜率参数时，要同时注意轨迹范围。由于中点来自真实弦，横坐标不能取端点情形，范围条件是解析几何答案完整性的重要部分。第（3）问在给定斜率后，弦长可以用横坐标差乘以直线方向的比例因子求得。该方法比先求两点坐标再套距离公式更简洁。书写评分要点：椭圆方程要写成标准形式；中点轨迹必须包含方程和范围；弦长计算应说明根差与斜率因子的计算依据。评分标准：第（1）问利用离心率关系给3分，代点求参数给4分，写出方程给2分；第（2）问代入并用根与系数关系求中点坐标给4分，消参得轨迹并注明范围给2分；第（3）问列出二次方程、求根差和弦长各1分。评分细则：本题共17分。求椭圆方程9分，中点轨迹6分，特定斜率弦长2分。轨迹题若只写方程不写范围，扣相应完整性分。22．答案详解：（1）对，条件等价于设，由可知，且当时因此要对一切恒成立，必须且只需（2）令，则，再令，则，（）。故，从而，证得（3）若，函数不能在内形成两个不同零点；若，在上递增，在上递减，最大值为又，，故有两个不同零点的充要条件是最大值大于0，即，得到过程说明：导数题强调参数、恒成立与零点个数的综合处理。第（1）问把恒成立问题转化为参数不超过某个函数的下界，是处理此类问题的常见方法。第（2）问通过构造辅助函数，把指数不等式转化为单调性证明。连续构造两个函数，可以逐层降低证明难度，使结论从导数非负推出函数非负。第（3）问先讨论参数符号，再确定函数的单调区间和最大值。只有当函数在定义域内先增后减且最大值大于零时，才会与x轴有两个不同交点。书写评分要点：第（1）问要说明必要性和充分性；第（2）问要写出辅助函数、导数和单调性；第（3）问要写出极值存在条件、端点趋势和两零点条件。常见失分：忽视定义域、只给出参数范围而不证明、或把最大值大于等于零误写成大于零。两个不同零点要求最大值严格大于零。评分标准：第（1）问转化为参数不等式给4分，确定下确界为1并给出范围给3分；第（2）问构造辅助函数给3分，完成单调性证明给4分；第（3）问讨论的正负、求极大值、建立两零点条件并得出范围各1.5分，结论完整给1分。评分细则：本题共17分。恒成立参数范围7分，指数不等式证明7分，零点个数参数范围3分。若第（3）问没有讨论参数非正情形，结论虽对但论证不完整。评分标准细化说明一、总体评分原则：本卷按150分制计分，选择题与填空题以结果为主，解答题以过程与结论并重。阅卷时应坚持“步骤清楚、逻辑成立、计算准确、结论完整”的原则。对解答题而言，只写最终结果而没有推导过程，一般不能获得该题全部分值；过程正确但出现非关键性算术错误的，应根据有效步骤给出相应分数。二、客观题评分细则：选择题每小题3分，考生必须在四个选项中选出唯一正确答案。若答案选项正确，即使草稿过程没有呈现，也按满分计；若出现多选、改写不清、选项与文字答案矛盾等情况，不得分。填空题每小题3分，结果等价即可给分；但对于方程、区间、概率和统计量等结果，必须满足题目所问的对象，不能只写中间量。三、解答题书写规范：每道解答题均要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。涉及函数单调性、极值、轨迹范围、概率模型、空间角计算等内容时，应说明使用的定理或计算依据。若解题路径与参考答案不同，只要推理正确、条件使用充分、结果一致，应按同等标准赋分。若出现跳步过大导致关键依据缺失，应在相应环节扣分。四、第17题评分细化：本题主要考查三角恒等变换与正弦型函数性质。第一问中，考生应把乘积项和平方差项都转化为二倍角形式；只写出部分公式，不能说明整体化简完成。第二问应先给出正弦函数递增的相位区间，再解出自变量区间；若只写一个具体区间而漏掉整数参数，不能得到该问满分。第三问要求在指定闭区间内讨论，不能直接照搬全体实数范围内的最大值结论。五、第18题评分细化：本题主要考查等差数列基本量和裂项求和。列方程组时，前6项和必须包含首项和公差两类信息；若把前6项和误写成第6项，应在建模环节扣分。裂项求和中，应体现相邻项抵消的结构，若只写最终结果但没有裂项依据，得分应低于完整过程。对通项公式，必须写成关于正整数n的表达式，不能只列出前几项。六、第19题评分细化：本题主要考查线面垂直、面面垂直、线面角和几何体体积。证明面面垂直时，要说明垂直于底面的直线属于所证平面。用坐标法求线面角时，应写出点坐标、方向向量和法向量；如果法向量方向相反，不影响结果。体积计算中，底面积和高必须对应同一个底面，若底面选择改变，高也要随之改变。七、第20题评分细化：本题主要考查统计表的读取和概率模型建立。第一问的关键是正确理解“至少提高10分”的含义，包含10分这一边界。第二问使用组中值估计平均数时，需先把每组区间转化为中点，再用中点乘以频数后除以总人数。第三问属于不放回抽样的古典概型，若用排列数或组合数，只要总数与有利数保持同一计数方式，结果正确即可给分。八、第21题评分细化：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆位置关系、弦中点轨迹和弦长计算。第一问必须根据离心率和点在椭圆上两个条件同时求参。第二问中，根与系数关系是核心方法，应写明交点横坐标满足的二次方程；轨迹方程只写代数式而不说明取值范围，答案不够完整。第三问中，弦长可通过根差与斜率因子计算，也可直接求点坐标后用距离公式计算。九、第22题评分细化：本题主要考查导数、恒成立、不等式证明和零点个数。第一问把参数移到一侧后，应讨论对应函数在正半轴上的下界，不能只代入端点得到结论。第二问证明指数不等式时，构造辅助函数并证明单调性是关键；若只使用展开式而没有说明余项非负，应视为证明不充分。第三问求两个零点条件时，必须说明函数在定义域两端的趋势和极大值大于零，等于零只能得到一个切点。十、过程分与结论分的处理：解答题中，若考生在前一小问得到的中间结论错误，但后一小问按照错误结论进行合理推导，原则上可给后续方法分，但最终结果分不能给。若前一小问错误导致后一小问条件严重改变，应根据实际有效推理酌情处理。对证明题，结论正确但证明缺少关键逻辑时，应保留必要扣分。十一、书写与表达要求：数学符号应与文字说明配合使用，不能仅堆砌计算式。对区间、参数范围、概率和统计平均数等结果，应写清对象和含义。涉及“存在”“任意”“至少”“不同零点”等关键词时，应在解答中准确体现。因书写不清导致结果无法辨认的，不应按正确答案处理。十二、阅卷复核提示：复核时重点检查题号与答案是否对应、分值是否按题型累计、解答题是否存在漏评步骤。对同一题的多种正确解法，应按知识点等价原则给分；对计算型题目，应区分方法错误、算术错误和化简错误。全卷评分结束后，选择题30分、填空题18分、解答题102分合计为150分。分题型复核要点选择题复核要点：本题型重在快速判断与基础运算。复核时应检查每道题是否只有一个选项符合条件，选项之间是否互斥，答案表是否与题干解析一致。涉及区间、奇偶、符号和参数限制的题目，要特别检查边界条件。第1题与第10题均依赖条件范围；第5题依赖参数为正；第7题依赖负号次数，这些位置都是阅卷复核的重点。填空题复核要点：本题型结果形式多样，既有数值，也有方程和计数。复核时应确认答案是否与设问对象一致，例如周期不能写成角速度，整数解个数不能写成解集，切线方程不能只写斜率。概率统计中的标准差必须为正，几何中的弦长必须为非负数。若考生写出等价形式，应从数学意义判断，不应因表达顺序不同而扣分。三角函数题复核要点：检查三角恒等变换是否完整，尤其是乘积化二倍角、平方差化余弦二倍角两个环节。单调区间的端点应与相位不等式对应，整数参数应覆盖所有区间。闭区间最大值的判断应以相位范围为依据，不能把全体实数上的图象性质直接套用到有限区间。若最大值和取值点只有一个写对，应按分项给分。数列题复核要点：检查首项、公差、项号和前n项和之间的关系是否匹配。等差数列的通项和前项和公式要与题设中的下标一致。裂项求和题要看清分母是否为连续两项的乘积，拆分后相邻项抵消是否正确。最终结果可以写成分数，也可以写成等值小数，但若小数不是精确值，应优先按分数答案评定。立体几何题复核要点：证明面面垂直时，要看考生是否明确给出线面垂直和直线属于平面的关系。坐标法求线面角时，点坐标、方向向量、法向量和点乘公式四个环节都要核对。若法向量取相反方向，绝对值会消除影响。体积计算中，三角形底面和高的对应关系必须正确，不能把矩形面积直接当作三角形面积。统计概率题复核要点：首先核对样本容量是否为100，再核对各组频数之和是否等于样本容量。估计概率时，要将题目所问的事件与表中区间准确对应。组中值估计平均数时，各中点和频数相乘后再求和，最后除以总人数。古典概型的计数方式可以用组合，也可以用排列，但分子分母必须采用同一种计数口径。解析几何题复核要点：椭圆方程求参时，要同时检查离心率关系和点在曲线上的条件。直线与椭圆联立得到二次方程后，中点坐标由根与系数关系得到，不能把交点坐标与中点坐标混淆。轨迹方程必须说明实际取值范围，因为不是所有代数方程上的点都能由原几何条件产生。弦长计算中，横坐标差与斜率因子必须同时考虑。导数题复核要点：恒成立问题要区分必要条件与充分条件，不能只凭特殊点判断参数范围。不等式证明应有完整的辅助函数、导数符号和单调性结论。零点个数问题要结合定义域两端的函数变化与极值大小判断。若题目要求两个不同零点，则最大值等于零只对应相切情形，不能计为两个交点。分步给分复核要点：解答题分值较高，应按小问和关键步骤分配。一个小问中若方法正确但最后化简错误，应保留前面的方法分；若关键公式选错，后续计算即使形式完整也不能获得对应关键分。若考生采用图象法、构造法、几何法等不同方法，只要能严密得到相同结论，应按同等标准评定。全卷合分复核要点：选择题10题共30分，填空题6题共18分，解答题6题共102分，合计150分。复核时应逐题检查分值是否漏加或重复计入，答案编号是否与题号一致，主观题得分是否超出该题满分。若出现涂改，应以清晰可辨的最终答案为准；若同一题有多个互相矛盾的结论，应按有效且明确的部分评定。答题规范复核要点：高三冲刺检测强调规范表达。函数题要写清定义域或取值范围，几何题要说明垂直、平行、角度和距离的关系，概率题要说明事件和样本空间，导数题要写明单调区间与极值条件。对只写计算式、不写结论的答案，应根据是否能明确读出结论来评定。结果表达复核要点：答案可以采用等价形式，但不得改变数学含义。区间端点开闭、参数范围的严格不等号、概率分数的化简、方程的标准形式、体积与长度的非负性都需要检查。若考生写出的表达与标准答案代数等价，应视为正确；若只在近似值上相同而没有说明精确关系，应依据题目要求决定给分。计算准确性复核要点：本卷多处涉及分式、根式、向量点乘、组合数和指数函数不等式。复核时应把关键计算单独核对，尤其是负号、平方、根号内数值和分母位置。若考生公式使用正确但在简单算术上出现差错，应区分该差错是否改变后续判断；若后续仅受数值影响，可保留方法分。逻辑完整性复核要点：证明或说明类小问不能只依赖直觉判断。面面垂直要有线面垂直作为前提，导数不等式要有单调性作为支撑，轨迹方程要有消参过程和范围说明。结论虽然与标准答案一致，但若关键推理断裂，应按缺失步骤扣分。条件使用复核要点：题干中的每一个限制条件都可能影响答案。集合题中的对数定义域、三角题中的角范围、向量题中的参数正值、椭圆题中的长短轴大小、导数题中的定义域均需在解题中被正确使用。若答案没有体现必要条件，应检查是否造成多解或错解。单位与对象复核要点：统计平均数的单位是分，概率不带单位，长度和体积分别对应不同几何量。若考生把弦长、半弦长、半焦距、焦距、底面积、体积等概念混淆，即使数值相近，也不能按完整答案处理。对题目要求“方程”的结果，应给出完整方程而非单个数值。不同解法复核要点：同一题可能存在代数法、几何法、函数法和枚举法等多种路径。复核时应看解法是否覆盖题设条件、推理是否闭合、结论是否唯一。以第21题为例，既可用根与系数关系求中点轨迹，也可先求交点再整理；只要过程正确且范围完整，均应认可。卷面呈现复核要点：高考冲刺训练不仅考查结果，也训练规范呈现。解答题应分小问书写，关键公