内蒙古呼和浩特市2026届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古呼和浩特市2026届高三上学期期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，或，所以，又因为，所以.故选：D.2.若复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意有：，，所以，故选：A.3.向量，，，若，则k的值是（）A.4 B.－4 C.6 D.－6【答案】D【解析】向量，，则因为，所以，故选：D.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】即为，故的解集为，而为的真子集，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A.5.抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，则（）A. B.28 C.4 D.16【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为，所以椭圆的，且焦点在轴上，则.故选：B.6.正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前10个正方形的面积和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出示意图如图所示：第一个正方形是，记为，由平面几何知识可得第二个正方形的边长为，所以正方形的面积为，记为，依次类推可得第三个正方形的面积为，记为，可得第个正方形的面积为，所以正方形的面积可依次排成一个以为首项，为公比的等比数列，所以前10个正方形的面积和为.故选：C.7.为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（）A.向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）B.向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）C.向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D.向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）【答案】A【解析】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为，再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为.故选：A.8.已知首项为3的数列的前n项和为，若，则（）A.3 B. C. D.－2【答案】B【解析】因为，则，所以，则，即，因为，所以，，，，所以数列是以为周期的数列，故.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆，直线，则（）A.圆C的圆心坐标为B.直线l的方向向量和共线C.当直线l与圆C相切时，或D.当时，l与圆C的相交弦长度为2【答案】BCD【解析】对于A，圆的圆心坐标为，A错误；对于B，直线的方向向量为和共线，B正确；对于C，圆的圆心坐标为，半径，当直线l与圆C相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得或，C正确；对于D，当时，，即，计算圆心到直线的距离为，说明直线l过圆心，此时直线与圆C的相交弦长度为2，D正确；故选：BCD.10.下列说法正确的有（）A.样本数据1，1，2，3，5，8的分位数为2B.设样本数据、、…、的平均数为，则函数取到最小值时C.在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越大D.在一组样本数据，，…，（，、不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为1【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以样本数据的分位数为2，故A正确；对于B，由，函数开口向上，对称轴为，则函数取到最小值时，故B正确；对于C，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故C错误；对于D，由题意，在散点图中，所有样本点都在直线上，说明这组数据的样本完全正相关，其相关系数是1，故D正确.故选：ABD.11.已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（）A.此正四面体的表面积为B.此正四面体外接球的表面积为C.此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值D.从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为【答案】BC【解析】A：因为正四面体每个面都是边长为2的正三角形，所以此正四面体的表面积为，因此本选项说法不正确；B：把该正面体放在正方体中，如下图所示：设该正方体的棱长为，则有，所以该正方体的对角线长为，所以该正方体外接球的半径为，所以该正四面体外接球的半径为，所以该正四面体外接球的表面积为，因此本选项说法正确；C：设此正四面体内任意一点为，它到该正四面体四个面的距离分别为，设点到平面的距离为，显然为一常数，因为该正四面体每个面都是边长为2的正三角形，设每个面的面积为，所以有，即为定值，所以本选项说法正确；D：设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，因为平面，所以平面，而平面，所以，同理可证，，除了这三对互相垂直，其他的棱之间成的角为，所以从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为，所以本选项说法不正确.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则______．【答案】【解析】由题意可得，，则，则，则，得或，因为，所以，则.故答案为：.13.设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则______．【答案】【解析】由题意可知：随机变量的所有可能值的概率和为1，即，则，则，∴，故答案为：.14.已知，，点P在函数的图象上，则面积的最大值为______．【答案】2026【解析】由题意，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，则；当时，，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，此时，则.由于，所以面积的最大值为2026.故答案为：2026.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某班组织竞赛活动，规定比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答．假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题目且另外2道题不能完成．（1）求甲正确完成其中2道题的概率；（2）设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望．解：（1）令事件为甲正确完成其中2道题，所以；（2）由已知有：的可能取值为，所以，所以的分布列为：所以.16.已知奇函数和偶函数满足．（1）求证：；（2）求的最小值．（1）证明：在中，用代替，可得，又是奇函数，是偶函数，则，，所以，又，两式相减得，两式相加得，所以，，，当且仅当，即时，取等号；所以，所以成立.（2）解：由（1），，则，令，则，由（1）知，则对，有，所以即在上单调递增，又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为.17.记的内角的对边分别为,．（1）求A；（2）若，在AB边上存在一点D，使得，连接CD，若的面积为，的平分线交CD于点E，求的值．解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∵，即，∴，在中，即，∴，∴，∴，∴.18.在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此．（1）将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标；（2）已知曲线，绕原点逆时针旋转得到曲线．（ⅰ）求曲线的方程；（ⅱ）P为曲线上一点，P不在x轴上，过P作交曲线于B，D两点，求证：BD与曲线在P点处的切线垂直．（1）解：由题意可得，，则；（2）（ⅰ）解：设曲线上任意一点为，且，将其绕原点逆时针旋转得到点，则，得，则，即，故曲线的方程为；（ⅱ）证明：设，且，，由题意可知，过点的切线斜率存在，故设切线方程为，联立，得，则，即，则，当直线的斜率存在时，设直线，，联立，得，则，则，，因为，所以，则，即，即，因为直线不过点，所以，则，得，则，此时BD与曲线在P点处的切线垂直；当直线的斜率不存在时，设直线，其中或，，联立，得，则，则，不符合题意.综上，BD与曲线在P点处的切线垂直．19.如图，在三棱锥中，已知，，且，．（1）若，，求证：；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值；（3）若，求二面角余弦值的最小值．（1）证明：因为，，，所以，，，所以，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：由（1）可知，，，，以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，设平面的一个法向量为：，，则，令，则，，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为：，所以，由于二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.（3）解：在所在平面内，由且，满足椭圆定义