（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第15讲 单调性问题（原卷版）

第②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【解题方法总结】1、求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数的定义域；（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减．题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例题1-1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（

）A．B．C．D．【变式1-1】已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（

）A．B．C．D．【变式1-2】已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．题型二：求单调区间【例题2-1】函数的单调递增区间为（

）A．B．C．D．【变式-1】函数（）A．严格增函数B．在上是严格增函数，在上是严格减函数C．严格减函数D．在上是严格减函数，在上是严格增函数【变式2-2】函数的单调递增区间（

）A．B．C．D．题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围【例题3-1】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A．B．C．D．m>1【变式3-1】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式3-2】三次函数在上是减函数，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式3-3】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式3-4】已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A．B．C．D．题型四：不含参数单调性讨论【例题4-1】已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论在上的单调性．【变式4-1】已知函数，.(1)若，求a的取值范围；(2)求函数在上的单调性；题型五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数【例题5-1】已知函数．讨论的单调性；【变式5-1】已知函数.讨论函数的单调性；情形二：函数为准一次函数【例题5-2】已知函数.讨论的单调性；【变式5-2】已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，讨论函数的单调性；情形三：函数为二次函数型方向1、可因式分解【例题5-3】已知函数.讨论函数的单调性；【变式5-3】已知函数，.讨论的单调区间；方向2、不可因式分解型【例题5-4】已知函数．讨论函数的单调性；【变式5-4】已知函数.讨论函数的单调性；第15讲单调性问题1函数的单调递增区间为（

）A．B．C．D．2．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A．B．C．D．3．函数的单调递增区间是A．B．，C．D．4．已知是偶函数，在(－∞，0)上满足恒成立，则下列不等式成立的是（

）A．B．C．D．5．已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（

）A．B．C．D．6．（多选）已知函数，则（

）A．在单调递增