大二线性代数复习资料1

09级《线性代数》(A)阶段练习题(一)答案

一、填空题

1234

1.行列式:341

=160.

3412

4123

解:

2.排列q/44%的逆序数等于3,排列%qq%%的逆序数等于7.

解：排列排列。5〃4。3生。1的逆序数之和等于10.因此排列q/。3aM的逆序数

等于3,那么排列出。招3/4的逆序数等于7.

3.四阶行列式。中第三列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式依次为5,3,-7,4,那

么。二一15.

132、(\13)358、

4.矩阵4=411,B=212,那么A+28=835

1343)

[349125,

5.A为7阶方阵，且满足Ar二-A,那么同=0.

解：H=|A[T—A|=(—I)[A|二-|A|N\A\=0.

，2-甲匕-V

6.<3~2)

J一2)

22-110、\27

解:事实上=刍，故

(3-2八3-2J1°1J、3-2J<3

7.设〃阶方阵A的行列式|川=2,那么[A]AA'=£.

解：事实上|AT|AA*=LA4*=A」/r)=M=E.

-100]00

8.设矩阵4=1-10,那么(A+2E)-110

I<0-i

00100、00100、

解：(4+2E,E)=110010010-110,因此

1100b2010-1

"100、

(A+2E)T=-110

,0-1L

B、%

9.设分块矩阵。=，其中A,C可逆，那么£>"=•

CC-1

1。I。

44](21、‘1310、

10.设8=,c=,且朋C=E,那么4一=•

、32,「3-3一4,/

二、选择题

即《2%2。“2c1Vl2。|3

a

1.如果。=2\。22。23=MHO,D[=2%2a322。33，那么。=(0.

2%

%。32〃332a勿22

(A)2M;(B)-2M;(C)8M;(D)-SM.

为a\2%4%2%-3-%3

Cia

2.如果。=2l22。23=1,D.=4〃,[2出]一3a%,那么。=(B)

a

y\。32。334a3i2a3[-3。32。33

(A)8;(8)—12;)24;(0—24.

3.以下行列式中(3)的值必为零.

0624〃即00

00

〃21。21心”

(C)o3=;(0D=■*

.*・4■**

■■■■

...00…a

%。〃2。〃2nn

3x+k)'~z=0

4.如果线性方程组，4y+z=0有非零解，那么攵=(C).

kx-5y-z=0

(A)l;(8)0;(0—3;(02.

1111

2345

5.。二是一个范德蒙行列式，。的第四行元素的代数余子式之和

491625

82764125

All+A42+A13+Ag=(O.

(A)12;(8)—12;(C)0;(Q)5!.

1111

皿2345

解：A#+A42+A-+Ag=,=0.

“4243444925

1111

6.A,3均为〃阶矩阵，K(A+B)2=A2-^2AB+B-,那么必有(。).

(A)B=E;(B)A=E;(C)A=B;(D)AB=BA.

7.A是〃阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，那么[A]=(A).

(A)图\；©团;(D)|A|.

8.A,8均为〃阶方阵，且A8=O,那么必有(8).

(A)A=O或8=0;(盼|A|=0或网=0;(C)|A+B|=0;(D)A+B=O.

9.A,B均为〃阶可逆矩阵，以下诸式(或是正确的.

(C)(AB)"二A“8";(O)(A+8)"=A"+8”.

10.A、B、C、E均为同阶矩阵，E为单位矩阵，假设ABC=E,那么以下诸式中(8)

是正确的.

(A)ACB=E;(B)BCA=E;(C)CBA=E;(D)BAC=E.

三、计算题

1.计算行列式

xaa…a

axa•­•a

D=aax…a.

aaClX

解：

2.计算行列式

a

b+a]a2%…n

b+a26…4

D=4a2b+4…atl

•••

•••

•••

4a2a3.…b+an

解:

3.计算行列式

I110

101

D=

101

0111

解:

000-1

00-10

=(«-1)=（-ir'（/2-i）（-i）2=（-i）2（H-i）.

000

11

4.计算行列式

123n-\n

1-1000

02-200

D=

000…2—〃0

000rt-\1-72

解:

5.当力取何值时,齐次线性方程组

有非零解?

解：方程组的系数行列式

当2=-1或4=4时，D=0,方程组有非零解.

6.设A为三阶矩阵，父为A的伴随阵.|川=：,求|（3A）i-2A

24」

解：|（3A尸-2AA-}-2A，=-X=(--)3|A|2=--.

-143333327

1二(二)3#|=1.L=3

或|(3A)T_2A*卜

3271Al27

1n

7.三阶矩阵A的逆矩阵AT12i，试求（A*）T.

J1V

1

解:E=A-A=5A'A=/f(=A),故(AT=1A=心A=2A求A.

7同T।

/

100--1--

22

010-11020

01

001--0/

22><4°

,223、12、

8.解矩阵方程AX=8+X，其中4=231B=-31

44；<1-1>

解：AX=3+Xn(A-E)X=BnX=(A-E)-B(*),以下求(A-E尸

将(A-E尸代入(*)式可得

’13

3

X=(A-E)-lB=——-3

11

T

9.A=PQ,其中尸=2,。=(2,-1,2),求人1°.

1

解：4°=(PQ)(P0)(PQ)...(PQ)=P(QP)(QP)…(。夕)。

(2-12、

=29P0=292(2-12)=294-24.

"Q-12)

10.〃阶方阵A满足42-34-2七=0，试证A可逆，并求A-.

A-3F

解：由川一34-2£=0nA(A-3E)=2E=>A(一=)二£.由定理2.2的推论

2

知A可逆，且A-Z上攻.

2

四、证明题

1.A,8是两个〃阶方阵，且=A+证明：AB=BA.

证明=A+B=>(A-E)B=A=(A-E)B-E=A-E=

(A-E)B-(A-E)=E=>(A—E)(B—E)=E(*).由(*)式知A—E与E互为逆矩阵,

故A-E与B-石可交换.即

有：(A—E)(B-E)=(B—E)(A—E)=AB-A-B+E=BA-B-A+E=>AB=BA.

2.假设〃阶方阵A可逆，那么］也可逆，并求(与尸和4.

证明：A可逆必非奇,|4卜0.且*=3A*,AA-'=A(3A*)=(占A)A*=E