初中数学60个几何模型专题复习：模型39双切线

模型39双切线

模型展现

基础模型

A

A

图示

已知点P为0O外一点.PA.PBBOO的切线.切点分别为A.B

结论△OAP^AOBP.ZAOB+ZAPB=180°,OP平分/AOB,PO平分/APB,OP垂直平分AB

结论分析

结论证明:〈PAPB是。0的切线切点分别为A.B./.OA=OB.ZOAP=ZOBP=90°,AZAOB+ZAPB=180°.^Rt

△OAP和RSOBP中，｛重;黑，

—UD

.'.RIAOAP^RtAOBP(HL),

:.PA=PB,NAOP=NBOP./APO=ZBPO.

.,.OP平分NAOB.PO平分NAPB.

••,OA=OB.PA=PB,・•.点OT在AB的垂直平分线上.

AOP垂直平分AB.

怎么用

1.找模型

过圆外一点引圆的两条切线，简称''双切线”

2.用模型

通过连接圆心和切点，连接圆心和圆外一点，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决相关问题

思考延伸

到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，有兴趣的同学可以试着去证明！

模型典例

例如图，已知点P是。o外一点,按照以下步骤作图：①连接0P；②分别以点0和点P为圆心，大于我P

的长为半径作弧，两弧相交于点M,N：③作直线MN,交0P于点C;④以点C为圆心.CO的长为半径作圆.交于

A,B两点:⑤作直线PA,PB.若00的半径为5,且NAPB=6（）0^!kABP的面积为

思路点拨

根据尺规作图步骤可判断PA,PB为00的双切线，再连半径，已知半径长，结合垂径定理和双切线结论进

行线段长及面积的计算求解.

针对训练

1.模型构造如图，四边形ABCD为正方形，且边长为4,点E是BC边二一点，以AB为直径的半圆切DE于点

F,则BE的长为（）

第1题图

A.2B.C.bD.

2.如图，四边形ABCD为。O的内接四边形，过点A,B的切线PM,PN交于圆外一点P,若/C=135）NM

AD=60。,则NP的度数为一.

第2题图

3.模型叠加如图在△ABC中,AB=BC,0O过4ABC的A.B两点在BC上取点E,DE切。O于点D（A,D,C三

点共线）,BE切。0于点B.连接BD,使得黑=需若tanA=涧cosZABO的值为一.

AB

第3题图

4.如图①.在R（AABC中,/C=90°,ZA=30°,BC=12,00与边AB.BC分别相切于点E.F.

⑴若OO的半径为3.求扇形EOF的面积：

⑵当。O与RtAABC三边都相切时，求的半径；

⑶如图②，若。O的半径373,00与AC交于G,H两点求GH的长.

图①图②

第4题图

模型39

模型典例

例竽【解析】如解图.连接OA,OB记AB交OP于点D,根据尺规作图步骤可知，AP,BP为。O的切线A

4

B为切点,，ZOAP=ZOBP=90°,AP=BP,VZAPB=60°,:.Z.AOB=360c-90°-90°-60°=120°,AABP为等

边三角形，;OD±AB,.\AD=BD,Z.AOD=^AOB=60\0A=5,[4。=。力•sin60°==竽,二

例题解图

针对训练

I.C【解析】如解图，连接OF（连接后双切线模型就比较明显了），•・•四边形ABCD为正方形..•,OAJ_AD,OB

1BCAAD.BC均为半圆的切线（由特殊度形的角度为90。直接得到切线）「..半圆切DE于点F..,.OF_LDE,，DA=DF,

EF=BE（可以直接用结论哦!），设BE=xWCE=4-x,DE=4+x,在咫△DCE.'OO的直径为13.

图①图②

第5题解图

双切线中，由勾股定理得CE2+CD2=DE2,BP(4-%)2+42=(4+XT解得x=l,・・・BE的长为1.

第1题解图

2.30°【解析】丁乂加为切线,.,•PAuPIV./PAB-PBA,：四边形ABCD为。O的内接四边形2c=135。,

，/8人口=180°-135。=45。,又丁ZMAD=600,二ZPAB=LPBA=180°-45°-60°=75。".LP=180°-2x750=3

0°.

3.24/25【解析】如解图，连接DO,连接OE交BD于点G,丁BE和DE是。0的切线工./OBE=NODE=90。,D

E=BE,又,:OE=OE,.\RtADOE^RtABOE（HL）,.*.ZDOE=ZBOE,8PLBOELA=三（BOD,：.LA

=/.BOE,vtanA=•••tan乙BOE=三，在RtAOBE中，设BE=3x,OB=4x,则OE=5x,BG=^x,：,BD=2BG=—x,v

4455

黑=案,.•"B=BC=萼=禁%，过点O作OM1AB于点M,则MB==登％（垂径定理）,，在RtAOBM中,c

obDUlitZ5N,5

/、D,、MB24

osZABO=—=—

OB25

第3题解图

4.解:(1)如解图①，连接OE.OF.

,/。0与边AB,BC分别相切于点E.F,

ZBFO=ZBEO=90°,

又•；NC=90°,NA=30°,

.•.ZB=600,.\ZEOF=1200,

_120rtX32r

S—3TT;

境水EOF360

第4题解图①

⑵如解图②，设00的半径为R,在RtAABC中,•・•NC=90°,NA=300,BC=12,・・・AB=24,AC=12痘、

...R=12112V3-24=6旧-6直角三角形内切圆半径公式，见P119模型41模型拓展)，即。O的半径是I6

第4题解图②

(3)如解图③，连接OB,OH,过点O作OM_LAC于点M,则GM=MH=：GH,

■:NC=90\OFJ_BC,OM_LAC,

・••四边形CMOF为矩形、

•・•ZABC