天体运动的各种物理模型

天体运动的各种物理模型（08年、5月）

一、追赶相逢类型

1-1、科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔时间t与地球相

遇一次，地球绕太阳公转半径是R,周期是T,设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距

离。

解：设小行星绕太阳周期为T,T>T,地球和小行星每隔时间i相遇一次，那么有

设小行星绕太阳轨道半径为R,万有引力提供向心力有

同理对于地球绕太阳运动也有

D'37/2f

由上面两式有—=—R!=（——严R

R-T2t-T

所以当地球和小行星最近时d=R-R=（」—）"3R—R

t-T

1-2、火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为同一平面内同方向的匀速圆

周运动，火星的轨道半径限=1.5x10”〃？，地球的轨道半径

，施=1.0x10"^,从如下图的火星与地球相距最近的时刻开始计时，估算

火星再次与地球相距最近需多少地球年？（保存两位有效数字）

解：设行星质量m,太阳质量为M,行星与太阳的距离为r,根据万有引力

定律，

行星受太阳的万有引力/=6粤（2分）

r~

行星绕太阳做近似匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有尸=〃心=利。2「（2分）

2TT.八、....._ttiM47r4乃3..

co=——（1分）以上式子联“G——=m——r故T?=----r[1分）

T/T2GM

地球的周期7］也=1年，（1分）（2分）

r［（I."］，，'1年=1.8年（1分）

V1.0x10"

设经时间t两星又一次距离最近，根据O=d（2分）

那么两星转过的角度之差。电-6火?=2乃：2分）

丁地T火

1.8x1

=年=2.3年（2分,答“2.2年"同样给分）

1匚一以一7；也一E

二、宇宙飞船类型〔神舟五号类型〕

2-1、随着我国“神舟五号〃宇宙飞船的发射和回收成功。标志着我国的

航天技术已到达世界先进水平。如下图，质量为m的飞船绕地球在圆轨道

【上运行时，半径为由，要进入半径为n的更高的圆轨道H,必须先加速

注入一个椭圆轨道III,然后再进入圆轨道II。飞船在圆轨道II上运动速度

大小为在A点通过发动机向后以速度大小为u（对地）喷出一定质量

，体，使飞船速度增加到“进入椭圆轨道III。（最为：m、门、n、u、v'

u）求：

⑴飞船在轨道I上的速度和加速度大小。

⑵发动机喷出气体的质量△m。

解：（1）在轨道I上，有6隼=〃?牛（2分）解得：v尸怦（1分）

同理在轨道II上P（1分）由此得:（1分）

「Mm

在轨道I上向心加速度为ab那么有G——=〃叼（2分）

不

2

同理在轨道II上向心加速度a=L,那么有Mmv

G-=m一（2分）

r2G

由此得《=3/（1分）

不

⑵设喷出气体的质量为△/〃,由动量守恒得

〃叫=（m-\inu（3分）得:Am=（2分）

2-2、2003年10月15日9时整，我国“神舟〃五号载人飞船发射成功，飞船绕地球14圈后，于10月

16口6时23分平安返回。假设把“神舟,五号载人飞船的绕地运行看作是在同一轨道上的匀速圆周运

动，地球半径为R,地球外表重力加速度为g。

设“神舟"五号载人飞船绕地球运行的周期为T、地球外表的重力加速度为g、地球半径为R,用T、g、

R能求出哪些与“神舟”五号载人£船有关的物理量？分别写出计算这些物理量的表达式（不必代入数

据计算

八Mm.2JU,

G=——=—）

解：对飞船，万有引力作为圆周运动的向心力厂T②（2分）

Mm

G—尸=mg—

在地球外表改③（2分）

可得“神舟”五号轨道半径:%（或轨道周长/=扬声丁"④

f=-

此外还可求得“神舟〃五号载人飞船的运行频率,7⑤

二生

“神舟”五号载人飞船的运行角速度7⑥

v=3pk

“神舟”五号载人飞船的运行线速度VT⑦

“神舟”五号载人飞船的运行向心加速度（加速度、轨道处重力加速度）〃二所唇⑧

“神舟”五号载人飞船的离地面高度”=-R

⑨

2-3、2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射。标志着我国的航天事业开展到了很高

的水平。飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道。地

球半径为R,地面处的重力加速度为g.求：

（1）飞船在上述圆轨道上运行的速度叫

（2）飞船在上述圆轨道上运行的周期T.

解：（1）设地球质量为M,飞船质量为明圆轨道的半径为〃

由万有引力定律和牛顿第二定律G"=m—（3分）

rr

在地面附近有G牛二mg（3分）由条件/•=R+〃

（2分）

R2

求出U二J史」（2分）

\R+h

2-4、国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船于2003年10月15日在中国酒泉卫星发射中心发射

升空.飞船由长征-2/运载火箭先送入近地点为月、

〃的椭圆轨道，在/，点实施变轨后，再进入预定圆轨

图.飞船在预定圆轨道上飞行〃圈所用时间为h近

地面高度为R地球外表重力加速度为W地球半径

（1）飞船在近地点力的加速度仍为多大？

（2）远地点8距地面的高度82为多少？

解答：（1）设地球质量为M飞船的质量为勿，在力

地球引力为

Mm

G-------7

（R+U2分

g=G~^

地球外表的重力加速度R2分

FGMgR?

由牛顿第二定律得m（R+，）（R+九）4分

T=-

（2）飞船在预定圆轨道飞行的周期〃2分

三、同步卫星

3-1、射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为k的圆形近地轨道上，在卫星经过A

点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近

地点为A,远地点为Bo在卫星沿椭圆轨道（远地点B在“.一V同步轨道同步轨道

上），如图14所示。两次点火过程都使卫星沿切向方向加速，并且点

火时间很短。同步卫星的运动周期为T,地球的半径为R,厂一\地球外表重

力加速度为g,求：B{--一'四--）

（1）卫星在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大弋/小；

（2）卫星同步轨道距地面的高度。

解：（1）设地球质量为M,卫星质量为m,万有引力常量、'为G、卫星在

近地圆轨道运动接近A点时的加速度为明,根据牛顿第二定律GMm=〃4分

（R+4）2

物体在地球外表上受到的万有引力等于重力6竿=mg4分

D-

解得。=-------W分

（我+%）2，

Mm412

（2）设同步轨道距地面高度儿，根据牛顿第二定律有Gm—；厂(/?+4)6分

(R+%)2T

分

由上式解得：h2=—R2

3-2、右图为某报纸的一篇科技我道，你能发现其中的科学性问题吗？请通过必要的计算加以说明。下

面的数据在你需要时可选用。

引力常量G=6.7Xl（F”N-ni2/kg2；地球外表重力加速度『lOrn/s?；地球半径〃=6.4X10%；地球

自转周期7=8.6X10&地球公转周期X=3.2X10%。（，=10：70〜80的立方根约取4.2）

解：本报道中，地球同步卫星高度735公里的数据出错，以下的计算可以说明。

在地球同步轨道上，卫星受地球的万有引力提供卫星绕地球运转所需的向心力。设卫星的质量为处

在地球外表上，质量为血的物体，受地球的万有引力等于物体的重力，有：G警

R2

得GM=R2g由⑴（2）式可得R=3

代入数据得A=3.6xl（）7m=3.6xl04km（能说明差2个数量级即可）

四、科技前沿信息型

4-K1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国MaxPlank学会的一个研究组宣布了他们的

研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”，"黑洞”是某些天体的最后演变结果。

（1）根据长期观测发现，距离某“黑洞"6.（）X10%的另一个星体（设其质量为皿）以2X10%/s的速

度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量叫。（结果要求两位有效数字）

（2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为□二、也乜，其中引力常量

G=6.67X10-"N-m2•kg-2,M为天体质量,R为天体半径，且逃逸的速度大于真空中光速的天体叫“黑

洞〃。请估算（1）中“黑洞〃的可能最大半径。（结果只要求一位有效数字）

「22

解：（1）甘=团二（3分）A/«,=—=3.6xlO35^（4分）

r~~rG

2Gmi>C（3分）・•・/?<兰北・・・凡”=也等=5、108根（4分）

(2)V~R~

4-2、设想宇航员完成/对火星外表的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道

舱，如下图。为了平安，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的《二不、、速度。返

回舱返回过程中需克服火星的引力做功卬=〃取/?（1-日），返回舱与

人的总质

r

量为m,火星外表的重力加速度为g,火星的半径为R,轨道舱到火星中心的

距离为r,不计火星外表大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，那么该宇航

员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？

Mm'、、.J

解：返回舱与人在火星外表附近有：G-^=mg（2分）-"

设轨道舱的质量为值，速度大小为v,那么：G也上二犯）匕（2分）

r~r

解得宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时，具有的动能为近12分）

因为返回舱返回过程克服引力做功W=mgR（\--）

r

R

所以返回舱返回时至少需要能量£=&+W="遇A（1——）（4分）

4-3,2004年，我国现代版的“嫦娥奔月”正式开演，力争2006年12月正式发射。媒体曾报道从

卫星图片和美、苏（原苏联）两国勘测结果证明，在月球的永暗面存在着大量常年以固态形式蕴藏的水

冰。

但根据天文观测，月球半径为庐1738km,月球外表的重力加速度约为地球外表的重力加速度的1/6,

月球外表在阳光照射下的温度可达127℃,此时水蒸气分子的平均速度到达的=2000m/s。试分析月球外

表没有水的原因。（取地球外表的重力加速度交9.8m/s2）（要求至少两种方法）

解法1：假定月球外表有水，那么这些水在127℃时到达的平均速度%=2000m/s必须小于月球外表的第

一宇宙速度，否那么这些水将不会降落I可月球外表，导致月球外表无水。取质量为/〃的某水分子，因为

GMm/Ft-mv'\/R,mg沪GMm/R,gu=R6,所以代入数据解得ri=1700m/s,v\＜v（）t即这些水分子会象卫星

一样绕月球转动而不落到月球外表，使月球外表无水。

解法2：设%二2000m/s为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半径用，如果用＞凡那么月

球外表无水。取质量为m的某水分子，因为GMm/R，=mv：/R；、mgR；,gj尸g/6,所以Rx=v^!gJJ=2.449

X10m,RAR,即以2000m/s的速度运行的水分子不在月球外表，也即月球外表无水。

解法3：假定月球外表有水，那么这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球外表所受

到的向心力,即应满足：加g月＞优加/*，当片版二20（）0m/s时，g月〉请/功2.30m/s2,而现在月球外表的

重力加速度仅为g/6=L63m/s2,所以水分子在月球外表所受的重力缺乏以提供2000m/s所对应的向心力，

也即月球外表无水。

解法4：假定有水，那么这些水所受到的月球的引力必须足以泥供水蒸气分子在月球外表所受到的向心

力，即应满足：mg月＞GMm/代，,即应有g月QJ而实际上：g后於2.84X106m7s2,母=4X10'm2/s2,所以

月〃即以2000m/s的速度运行的水分子不能存在于月球外表，也即月球外表无水。

4-4、物体沿质量为M、半径为R星球的外表做匀速圆周运动所需的速度小叫做该星球第一宇宙速度；

只要物体在该星球外表具有足够大的速度s,就可以脱离该星球的万有引力而飞离星球（即到到达距星

球无穷远处），这个速度叫做该星球第二宇宙速度。理论上可以证明彩=血匕。一旦该星球第二宇宙速

度的大小超过了光速03.0X1。、，那么该星球上的任何物体（包括光子）都无法摆脱该星球的引力，

「是它就将与外界断绝了一切物质和信息的交流。从宇宙的其他局部看来，它就像是消失了一样，这就

是所谓的“黑洞”。

试分析一颗质量为护2.0X10"g的恒星，当它的半径坍塌为多大时就会成为一个“黑洞”？（计算时

取引力常量信6.7XlO-'N-mVkg2,答案保存一位有效数字.）

解：———=m—又知v2=42Vl令v2=C

R~R

向、…一天组P2GM2x6.7x10-"x2.OxlO31_

由以上二式得H=——=------------------------------=3x10in4m

C2（3.0xlO8）2

4-5,在美英联军发动的对伊拉克的战争中，美国使用了先进的侦察卫星.据报道，美国有多颗最先

达的KH—1、KH-2”锁眼〃系列照相侦察卫星可以通过西亚地区上空，“锁眼”系列照相侦察卫星绕地

球沿椭圆轨道运动，近地点为265km（指卫星与地面的最近距离），远地点为650kml指卫星与地面的

最远距离），质量为13.6X10^〜18.2X10'kg。这些照相侦察卫星上装有先进的CCD数字照相机，能够

分辨出地面上0.1m大小的目标，并自动地将照片传给地面接收站及指挥中心。

由开普勒定律知道：如果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径与椭圆轨道的半长轴相等，那么卫星

沿圆轨道的周期就与其沿椭圆轨道运动的周期相等。请你由上述数据估算这些“锁眼〃系列照相侦察卫

星绕地球运动的周期和卫星在远地点处的运动速率。地球的半径庐6400km,10m/s2o（保存两位

有效数字）

解：设远地点距地面打，近地点距地面九，根据题意可知，卫星绕地球做匀速圆周运动的半径

r=（//l+/?2+2/？）=6857.5km①（6分）

2

设卫星绕地球运动的周期为7；根据万有引力定律和牛顿第二定律，有

6粤="〃乜？②方分）又啰二生③（2分）

r2T

物体在地球外表的重力等于万有引力，那么G答二mg④（2分）

由②③④式可得7=2="『（2分）代入数据可得T=5.6X103S（2分）

RU

远在点到地面h”设卫星在远在点的速率为r那么GMm

（7?+%/R+%

④、⑤联立得?=/?」一?―代入数据得v=7.6km/s

NR+/?）

4-6>一个功加广〃出网站报道，最近南亚某国发射了一颗人造环月卫星，卫星的质量为1000kg,环

绕月球冏期为eomin.张明同学刈•该新闻的真实性感到疑心.他认为该国的航天技术不可能近期发射出环

月卫星；该网站公布的数据似乎也有问题.他准备对该数据进行验证.但他记不清万有引力恒量的数值，

巨手边又没有资料可查找，只记得月球半径约为地球半径的1/4,地球半径约为6.4Xio、，月球外表的

重力加速度约为地球外表重力加速度的1/6,地球外表重力加速度取10m/s2.

假定将环月卫星的运动视为匀速圆周运动，请根据上述数据判断该报道的真伪，并写出推导判断的过程

（V6»2.5,^«3）

解：设卫星绕月球外表运行周期为Z,卫星绕地球外表运行周期为T2,月球和地球外表重力加速度分别

为g.和g2,月球和地球半径分别为r.和r2

〃8]=〃?（2乃/（）/①〃巩2=切（27/4）'r2②

①/②得gJg2=（岂口）2（45）③

由②得0=2乃伤=4.8x103⑸代入③得Z=6000$>360（）5

可见不可能发射周期小于6000s的环月卫星。

4-7、目前人们广泛采用GPS全球定位系统导航，这个系统空间星座局部共需要24颗卫星绕地球运

转，工作卫星分布在6个圆形轨道面内，每时每刻任何一个地区的地平线上空至少保持4颗卫星传递信

息。其对时钟要求精度很高，科学家们采用了原子钟作为计时参照（如：艳原子钟定义的1秒是的一133

原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770个周期所持续的时间，其计时十分精

确，10万年内误差不大于1秒），这样导航定位误差可控制在1〜2米之内，甚是高明！这种卫星绕地球

运行的周期T为12小时，地球半径用R表示，地球外表的重力加速度用g表示，电磁波传播速度用C

表示。

（1）这种卫星与地球同步卫星相比拟，其轨道高度是高还是低？

（2）这种卫星将电磁信号传于其某时刻地面上的正对点时，所用时间t=?（说明：卫星、地面上该点、

地心三点共线，结果用题中所给字母表示）

解：1）这种卫星比地球同步卫星的轨道高度低。4分

2

442

（2）万有引力提供向心力G—Mm/所以r="IGMT:4分

47r

GMm

又因为地面附近mg=2分卫星距地面高度片=厂一代④2分

R2

所以时间厂幺=工(

一/?)⑤4分

CC

4-8、2004年1月4日美国“勇气”号火星车在火星外表成功登陆，登陆时间选择在6万年来火星距地

球最近的一次，火星与地球之画的距离仅有5580万千米，火星车在登陆前绕火星做圆周运动，距火星

外表高度为H,火星半径为R,绕行N圈的时间为t。求：

(1)假设地球、火星绕太阳公转为匀速圆周运动，其周期分别为T地、T火，试比拟它的大小；

(2)求火星的平均密度(用R、II、N、t、万有引力常星C表示)；

(3)火星车登陆后不断地向地球发送所拍摄的照片，地球上接收到的第一张照片大约是火星车多少秒

前拍摄的。

G——=w(—)•尸

解：1)设环绕天体质量为m,中心天体质量为M。即T4分

rGM工&

尹=彳父一改2分故T火,T曲2分

(2)设火星车质鼠为m设火星质审为M

cMm/加、2/m

G----------r=切•(---)•[H+R)

(H+R)，tIT4分

(H+R)3・4a2•州2

M=

2分

MM3M(H+-3

&二不G1

"43

32分

(3)宇宙间用电磁波传输信息:O3Xl(rni/s

t««s/v=(5580X107)/(3X108)=186s4分，是在186秒前拍摄的。

4-9、地球可近视为一个R=6400km的球体，在地面附近的重力加速度g=9.Bm/sz,试估算地球的平

均密度p。

在古时候，人们通常认为地球是扁平的。想象地球真的不是一个球体，而是一个厚度为？I的无限大

的盘子，如果想体验与真正地球外表一样的重力加速度，那么H的值是多大？

提示：①假定两种模型地球的密度一样大；

②如果是电荷均匀分布的无限大的这种圆盘(单位面积上的电荷量为J),圆盘外的电场强度为

E=2乃kjH(k为静电力恒量)；

③由电场和重力场类比，它们的对应物理量是：E-*g,G-*k,m-*q；0—。；

④G=6.67X10-"N-m2/kg2

33

解：1〕g=?GRpP=-^-=5.5X1O^/W

（2）g球=6^^=g球=2届夕"，H=|/?=4267^/z?

五、双星类型

5-1、现根据对•某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M,两者相距L,它们

正围绕两者连线的中点做圆周运动。万有引力常量为G。求：

(1)试计算该双星系统的运动周期T。

12)假设实验上观测到运动周期为「，且T'：T=l：®N>1),为了解释两者的不同，目前有

一种流行的理论认为，在宁宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质一一暗物质，作为一种简化的模型，

我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试

根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

解：(1)由万有引力提供向心力有：色等/①（4分）

=-

/-2T2

（4分）

(2)设暗物的密度为P,质量为m,那么〃2=2・

心、工*GM?GMm〃L4/

由力有引力提供向心力有：——+-----=M•—•—丁②(2分)

2

〃0不

M

由=—（2分）

M4-4/2?N

/3

又•—代入上式解得：0=3(N-1)M/2E312分）

6

5-2.如图为宇宙中有一个恒星系的示意图。/!为星系的一颗行星，它绕中央恒星。运行的轨近似为

圆。天文学家观测得到力行星运动的轨道半径为R。、周期为7°。

经长期观测发现，力行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些.，......•・、偏离，且周

•■(•

期性地每隔九时间发生一次最大的偏离。天文学家认为形成这种现象的原

,•

因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B(假设其运行彳；•.轨道与A在

同一水平面内，且与力的绕行方向相同)，它对力行星的万有\°：引力引起A

轨道的偏离。根据上述现象及假设，你能对未知行星6的运动,J,得到哪些定

量的预测？'.・•-J

解：A行星发生最大偏离时，4占行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧。设行星8的运行周期

为丁、半径为R,那么有女％一"?o=2〃，所以7=—也一由开普勒第三定律得，驾=雪,

"Tt.-T.T-T2

,2

所以R=0

六、与光学综合型

6-1、方案发射一颗距离地面高度为地球半径比的圆形轨道地球卫星，卫星轨道平面与赤道平加重合，地

球外表重力加速度为g.

（1）求出卫星绕地心运动周期T

（2）设地球自转周期T。,该卫星绕地旋转方向与地球自转方向相同，那么在赤道上一点的人能连续看到

该卫星的时间是多少？

解：⑴

A2

（2）设人在比位置刚好看见卫星出现在人位置，最后

在B?位置看到卫星从A2位置消失，0A）=20Bi

有ZA!0Bl=ZA20B2=n/3

从R到Bz时间为t

那么有

6-2、天文学上，太阳的半径、体积、质量和密度都是常用的物理量，利用小孔成像原理和万有引

力定律，可以简捷地估算出太阳的密度。

在地面上某处，取一个长，=80cm的圆简，在其一端封上厚纸，中间扎直径为1mm的圆孔，另一端

封上一张画有同心圆的薄白纸，最小圆的半径为2.0mm,相邻同心圆的半径相差0.5mni,当作测量尺度,

再用目镜［放大镜）进行观察。把小孔正对着太阳，调整圆筒的方向，使在另一端的薄白纸上可以看到

•个圆形光斑，这就是太阳的实像，为了使观察效果明显，可在圆筒的观测端蒙I：遮光布，形成暗室。

假设测得光斑的半径为"=3.7mm,试根据以上数据估算太阳的密度（G=6.67x10”N,m21

一年约为7=3.2x10。）。

解：设太阳质量为M,半径为R,体积为V,平均密度为P,地球质量为m,口地距离为r,由万有

GM，n/2乃、2

---=—）"r

引力定律和牛顿运动定律可知厂T①（4分）

M=一4成3aP

3②（2分）

£=J_

由图中的几何关系可近似得到R为③（2分）

夕=3~（，）333

①W联立解得尸G与④（3分）代入数据得；?々L4X103版//⑤（］分）

6-3、某颗同步卫星正下方的地球外表上有一观察者，用天文望远镜观察到被太阳光照射的该同步

卫星。试问秋分这一天〔太阳光直射赤道)从R落时起经过多长时间,观察者恰好看不见该卫星。地球

半径为R,地球外表处重力加速度为g,地球自转周期为T。不考虑大气对光的折射

解：表示球的质量，m表示同步卫星的质量，r表示同表卫星距地心的距离。

“日止f日「M，n4/°IGMT2,八

对同步卫星：G——=in——/*r=^----—4分

产T2V442

A/1”7

对地外表上一物体：G—=mgGM=gR23分

R~

由图得：R=4cos93分

tT

又由图：一=—3分

92)

6-4.晴天晚匕人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内。一个可看成漫反射体的人

造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动。春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人

在日落后8小时时在西边的地平线附近恰能看到它,之后极快地变暗而看不到了。地球的半径

R地=6.4xl()6m,地面上的重力加速度为10m/s2,估

求精确到两位有效数字)

(1)卫星轨道离地面的高度。

(2)卫星的速度大小。

解：从北极沿地轴往下看的地球俯视图如下图，设卫星

点日落后8小时时能看到它反射的阳光。日落8小时Q

度设为。

Q

0=—x360°=120°

(1)24

—

h=f-R地]

cos—=6.4x1()6x(--------1)=6.4x106m

轨道高2cos60°

(2)因为卫星轨道半径r=r+h=2R地

根据万有引力定律，引力与距离的平方成反比

g=-g岫=2.5m/s2

卫星轨道处的重力加速度r4足

丫=必=V2.5x2x6.4xl06=5.7xIO3m/s(5.6xl()3m/s同样给分)

七、综合应用

7-1、一宇航员抵达一半径为R的星球外表后，为了测定该星球的质量M,做如下的实验，取一根细

线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为m的祛码，另一端连在一固定的测力计上，手握细线直管抡

动祛码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直管。祛码可继续在同一竖直平面内做完整

的圆周运动。

如图5所示，此时观察测力计得到当祛码运动到圆周的最低点和最高点

两位置时，测力计得到当跌码运动到圆周的最低点和最高点两L位置时，

测力计的读数差为AF。

引力常量为G,试根据题中所提供的条件和测景结果，求：

(1)该星球外表重力加速度；

(2)该星球的质量M。图5

.vr，V；

（+"?g=m-T、_mg=m—

解：（1）设最高点r（2分）最低点-〃（2分）

12c1

—/77V1+2mgr=—mv^2

机械能守恒22（3分）

，AF

g=----

AF=T

2-Ti=6mg（1分）6m（1分）

-Mm.AFM工

G-r-=，ng=----

⑵R-6〃z（3分）6mg

7-2、宇宙员在月球外表完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最

低点静止一质量为m的小球（可视为质点）如下图，当施加给小球一瞬间水

平冲量I时，刚好能使小球在竖直面内做完整圆周运动.圆弧轨道半径为八月

球的半径为R,万有引力常量为G.

假设在月球外表上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？轨道半径

为2R的环月卫星周期为多大？

解：设月球外表重力加速度为g,月球质展为扎

在圆孤最低点对小球有：I二勿的……①（2分）

•・.球刚好完成圆周运动，，小球在最高点有〃火二〃7匚.......②（2分）

r

从最低点至最上下点有：〃!g（2r）=.......③（2分）

I2

由①②®可得g=--（2分）

5mr

•・・在月球发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度

・••%"等=师=+砺（2分）

当环月卫星轨道半径为2R时，有空一二〃7（2马2・2R……④（2分）