湖北恩施州高中教学联盟2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高一年级期中考试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角的终边相同的最小正角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由题意，则与角的终边相同的最小正角是.2.已知，与的夹角为，则（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的夹角坐标公式求解即可.【详解】因为，,所以，，因为与的夹角为，所以.3.已知向量，，，若与平行，则（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【详解】因为，，则又因为与平行，所以，化简：，即，解得：.4.角终边过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据任意角正余弦函数值的定义求出正余弦值，代入计算即可.【详解】因为角终边过点，所以，.所以.故选：A.5.已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合区间内对称轴的个数，得出有关的不等式，进而求出的取值范围.【详解】解：由正弦函数的对称轴为，函数，令，解得对称轴方程为，则，化简得，因为为整数且，要在区间内有且仅有条对称轴，则整数的取值为，共个，因此必须满足，解得.6.已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的运算法则及定义，两边平方后化简即可得解,【详解】因为，所以，即，又因为向量均为单位向量，且向量夹角为，所以，即.7.已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求得角，然后利用三角形面积公式和正弦定理，将面积表示为的正弦型函数，根据三角函数的图象性质即可求解．【详解】由，和余弦定理，可得，，所以，又由正弦定理，可得，则，所以的面积，因为为锐角三角形，由解得，则，，故.8.已知点和是图象的两个相邻的对称中心，如图，过原点的直线与的图象在第一象限的一对相邻的交点分别为（其中在的左侧），过点分别作x轴的垂线，垂足分别为，若，且的面积是的面积的9倍，则（）A. B.C.点B的坐标 D.点A的坐标为【答案】D【解析】【分析】相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出；因为的面积是的面积的9倍，可得，，，代入到中求解即可.【详解】由题意得，所以，故B错误；则.因为的面积是的面积的9倍，所以，解得，所以，，，所以，即，化简得，令，则，所以，化简得，解得，又，所以，即，所以.故A错误；所以，所以.所以点的坐标为，故D正确；又，所以点的坐标为，故C错误.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.已知，，则的最小值为6B.已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是C.在中，若，则为钝角三角形D.已知，，则在上的投影向量的坐标为【答案】AD【解析】【分析】根据向量的数量积运算律即可判断A；根据向量夹角的求解即可判断BC；根据投影向量的计算即可判断D.【详解】A，因为，当，反向共线时等号成立，故A正确；B：，由与的夹角为锐角得，，所以，则.当与共线且同向时，，解得，所以的取值范围是，B不正确；C，由可知的外角为钝角，所以为锐角，故不能判断为钝角三角形，故C错误；D：在上的投影向量的坐标为：，故D正确.10.函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数在单调递减B.函数图象关于中心对称C.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D.若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB的正误，利用图像变换可判断C的正误，根据正弦函数的性质可判断D的正误.【详解】由图象可得，且，故即，而，故，因为，故，故，对于A，当，，而在上为减函数，故在为减函数，故A正确.对于B，，故为函数图象的对称轴，故B错误.对于C，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C正确.对于D，当时，，因为函数的值域为，故，故，故D正确.故选：ACD.11.如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（）A.当是线段的中点时，B.当时，C.当为定值时，点的轨迹是一条线段D.的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】对于A，当是线段的中点时，，所以，所以A正确.对于B，当时，取线段，线段的中点，分别记为，则平行于.延长与直线交于点，则，.所以，所以，所以点的轨迹为线段.当点与重合时，.当点与重合时，.所以.所以B不正确.对于C，当为定值2时，.令，可得三点共线.分别取线段的中点，记为，所以，即.连接交于点，则.所以点的轨迹是线段，所以C正确.对于D，由于平行四边形在的左上方，且三点共线，所以.所以，所以，即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______．【答案】【解析】【分析】利用平面向量共线定理建立等量关系，从而求出的值.【详解】由向量共线，根据平面向量共线定理可得，化简得：，所以，解得，因此.13.如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点到水面的距离为（在水面下，则为负数），则米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当点从水面上浮现时开始计算时间，则米)关于时间（秒）的函数解析式为________．【答案】【解析】【分析】先根据的最大值和最小值求出，再根据每分钟转4圈求出周期，从而可求得和.【详解】由图可知的最大值为15，最小值为，所以，解得，因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15，所以，得，当时，，即，则，因为，则，所以.14.已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由，结合取整函数的定义，分类讨论可得到的取值范围，根据向量模长公式将转化为关于和的表达式，再结合之前得到的取值范围求解该表达式的范围.【详解】因为，所以，当时，，显然不成立；当时，，显然成立，当时，，显然不成立；当时，，显然不成立；当时，，显然不成立；当时，，显然不成立；当时，，显然不成立；当时，，显然不成立；所以，，，，，因为，所以.所以的取值范围为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知.（1）若，且，求的值；（2）若，且，求的坐标.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据向量坐标运算可得，再结合题意建立关于的方程并求解；（2）根据向量共线设，再结合向量的模的坐标运算求解即可.【小问1详解】已知，解得，.由，代入坐标得：，则，解得：；【小问2详解】设（为实数），由，可得：解得，即或，所以或.16.设函数.（1）列表并画出，的图象；

（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）答案见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据五点作图法画出图象.（2）化简的解析式，根据三角函数值域的求法求得正确答案.【小问1详解】列表：0x14710y0200作图：【小问2详解】由已知，由已知，∴，∴，∴函数在区间上的值域是.17.已知点，，为坐标原点，函数（1）求的解析式及最小正周期（2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积【答案】（1），最小正周期为（2）或【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标运算、二倍角公式和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期求法可求得结果；（2）由，结合的范围可求得或；当时，根据余弦定理和勾股定理可证得，根据角度关系可求得，进而求得；当时，根据正弦定理可求得，结合两角和差正弦公式和三角形面积公式可求得.【小问1详解】，，，则的最小正周期.【小问2详解】，，，，则或，或；当时，，，，，，，又为的角平分线，，，，，；当时，，，，为的角平分线，，在中，由正弦定理得：，，在中，由正弦定理得：，，.综上所述：的面积为或.18.在中，为的中点，在边上，交于，且，设．（1）用表示；（2），求；（3）若在上，且设，若，求的范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.（3）设，结合及（1）可得，即可得答案.【小问1详解】因P,R,C共线，则存在使，则，整理得.由共线，则存在使，则，整理得.根据平面向量基本定理，有，则.【小问2详解】由（1），，，则，，.则，所以.【小问3详解】由（1）知，则.由共线，设.又.则.因，则，则，所以.19.已知单位圆与轴正半轴分别交于两点，过线段上一点作轴的垂线交单位圆于点（在第一象限），延长至点，使得为的中点，连接.设.（1）若，求；（2）求取得最大值时的值；（3）若，设的面积为，线段与劣弧围成的图形面积是，记，用定义证明的单调性并求的值域.可用公式：时，.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意结合二倍角公式求解即可；（2）根据题意，先表示出，令，则，可得，进而根据二次函数的性质求解即可；（3）