全品高考备战2027年数学一轮学生用书11第14讲函数与方程【正文】听课手册

第14讲函数与方程【课标要求】1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.

2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.1.函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的叫作函数y=f(x)的零点.

(2)等价关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有⇔函数y=f(x)的图象与有公共点.

(3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内零点,即存在c∈(a,b),使得,这个c也就是方程f(x)=0的解.

2.二分法(1)二分法的定义:对于在区间[a,b]上图象且的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的方法叫作二分法.

(2)给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤:①确定零点x0的初始区间,验证f(a)f(b)<0.

②求区间(a,b)的.

③计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:(i)若(此时x0=c),则c就是函数的零点;(ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈),则令b=c;(iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.

④判断是否达到精确度ε:若,则得到零点近似值a(或b),否则重复步骤②~④.

题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数是.

2.[教材改编]若函数f(x)=x·2x-kx-2在区间(1,2)内有零点,则实数k的取值范围是.

3.[教材改编]利用二分法求方程2x-x-4=0的一个近似解时,已经将一解锁定在区间(2,3)内,则下一步可断定该解所在的区间为.

题组二常错题◆索引:误解函数零点的定义致误;忽略限制条件致误.4.函数f(x)=(9x-3)ln(x-1)的零点为.

5.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的对应值表:x-2-1012345678f(x)-136-2161913-1-8-242998则下列说法正确的是.(填序号)

①函数f(x)在区间(-1,0)内有零点;②函数f(x)在区间(2,3)内有零点;③函数f(x)在区间(5,6)内有零点;④函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点.6.函数f(x)=x2-2函数零点所在区间的判断例1(1)函数f(x)=lnx+x2-2的零点所在区间是 ()A.0,22 C.(1,2) D.(2,2)(2)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为 ()A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.b>a>c总结反思判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)利用函数零点存在定理;(3)数形结合,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断,或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断.变式题(1)已知f(x)=22x+x-2,若f(x0)=0,则x0所在区间为 ()A.0,14 C.12,1 (2)已知函数y=ex-3与y=-x+5的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则n=.

函数零点个数的判断例2(1)已知函数f(x)=x2-2x+3,x>0,2x,xA.0 B.1C.2 D.3(2)若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x),则f(x)在(-2,2)上的零点个数至少为 ()A.5 B.6C.7 D.8总结反思求解函数零点个数的基本方法有:(1)直接法,令f(x)=0,方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;(2)定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图象法,一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数;(4)若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有fT2=0变式题(1)函数f(x)=ex+1+x+1的零点个数为 ()A.0 B.1C.2 D.3(2)若偶函数y=f(x),x∈R满足f(x+4)=f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=1-12x,则方程f(x)=log8|x|在[-10,10]内的根的个数为函数零点的应用角度1根据零点个数求参数范围例3(多选题)[2025·北京西城区二模]已知函数f(x)=x2+2x,x<-2或x>1,12-①若函数g(x)无零点,则a的一个取值为;

②若函数g(x)有4个零点xi(i=1,2,3,4),则x1+x2+x3+x4=.

变式题已知函数f(x)=|2x-a|-kx-3,给出下列四个结论:①若a=1,则函数f(x)至少有一个零点;②存在实数a,k,使得函数f(x)无零点;③若a>0,则不存在实数k,使得函数f(x)有三个零点;④对任意实数a,总存在实数k使得函数f(x)有两个零点.其中所有正确结论的序号是.

角度2根据零点(所在区间)求参数范围例4(1)已知x0是函数f(x)=x+log2(x+1)-4的零点,则(x0-1)(x0-2)(x0-3)(x0-4)的值 ()A.为正数 B.为负数C.等于0 D.无法确定正负(2)[2024·新课标Ⅱ卷]设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a= ()A.-1 B.12 C.1 D.总结反思已知函数的零点个数或零点所在区间求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.变式题(1)[2025·浙江Z20联盟一联]设函数f(x)=a(x-1)2-1,g(x)=cosπx2-2ax,若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(-1,1)上存在零点,则实数a的取值范围是 (A.a≤2 B.12<aC.12<a≤2 D.1<a(2)[2025·福州四检]若x0为函数f(x)=x-lnx,0<x<e,exxA.0 B.1 C.2 D.e2复合函数的零点例5设函数f(x)=2sinx,0≤x≤π,x2,x<0,则函数A.2 B.3 C.4 D.6总结反思求复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法,具体步骤是:(1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个);(2)根据不同的t的值解