与对话高三数学（文）一轮复习课时跟踪训练第八章立体几何课时跟踪训练41

课时跟踪训练(四十一)[基础巩固]一、选择题1．如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为8eq\r(2)的矩形．则该几何体的表面积是()A．8 B．20＋8eq\r(2)C．16 D．24＋8eq\r(2)[解析]由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，其侧棱为4，故其表面积S表＝2×4＋2×4＋2eq\r(2)×4＋eq\f(1,2)×2×2×2＝20＋8eq\r(2).[答案]B2．已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)[解析]VB1－ABC1＝VC1－ABB1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).[答案]A3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛[解析]米堆的体积为eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8×4,2π)))2×5＝eq\f(320,3π).将π＝3代入上式，得体积为eq\f(320,9)立方尺．从而这堆米约有eq\f(320,9×1.62)≈22(斛)．[答案]B4．(2017·河北唐山二模)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为()A．24－πB．24－3πC．24＋πD．24－2π[解析]由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方eq\f(1,8)球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为2×2×6－3×eq\f(1,4)×π×22＋eq\f(1,8)×4×π×22＝24－π，故选A.[答案]A5．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1 B.eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)D.eqD.eq\f(3π,2)＋3[解析]由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)π×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝eq\f(π,2)＋1，故选A.[答案]A6．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10B．12C．14D．16[解析]由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为eq\f(2＋4×2,2)×2＝12，故选B.[答案]B二、填空题7．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析]由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为eq\r(3).设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝eq\f(3,2)，所以这个球的体积为eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3)×eq\f(27,8)＝eq\f(9π,2).[答案]eq\f(9π,2)8．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．[解析]该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图所示，(半)球的半径为1，长方体的长、宽、高分别为2、2、1，∴该几何体的表面积为：S＝16＋eq\f(1,2)×4π×12－π×12＝16＋π.[答案]16＋π9．(2017·山东卷)由一个长方体和两个eq\f(1,4)圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．[解析]由三视图可知，该组合体中的长方体的长、宽、高分别为2,1,1，其体积V1＝2×1×1＝2；两个eq\f(1,4)圆柱合起来就是圆柱的一半，圆柱的底面半径r＝1，高h＝1，故其体积V2＝eq\f(1,2)×π×12×1＝eq\f(π,2).故该几何体的体积V＝V1＋V2＝2＋eq\f(π,2).[答案]2＋eq\f(π,2)三、解答题10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．[解]由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圆台－V圆锥＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.[能力提升]11．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256π[解析]如图，设点C到平面OAB的距离为h，球O的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△OAB＝eq\f(1,2)R2，要使VO－ABC＝eq\f(1,3)·S△OAB·h最大，则OA，OB，OC应两两垂直，且(VO－ABC)max＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，此时R＝6，所以球O的表面积为S球＝4πR2＝144π.故选C.[答案]C12．(2017·重庆诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(3\r(3),2)B．2eq\r(3)C.eqC.\f(5\r(3),2)D．3eq\r(3)[解析]该几何体的直观图是如图所示的不规则几何体ABB1DC1C，其体积是底边边长为2的等边三角形，高为3的正三棱柱ABC－A1B1C1的体积减去三棱锥A－A1C1D的体积，即3eq\r(3)－eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2).[答案]C13．(2017·河南南阳一中四模)球O为正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，AB＝2，E，F分别为棱AD，CC1[解析]设EF与球面交于M，N两点，因为AB＝2，E，F分别为棱AD，CC1的中点，所以EF＝eq\r(6)，OE＝OF＝eq\r(2)，取EF中点O′，则O′F＝eq\f(\r(6),2)，所以OO′＝eq\r(\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\f(\r(2),2).由球O为正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，可得ON＝1，由勾股定理得O′N＝eq\f(\r(2),2)，故MN＝eq\r(2).所以直线EF被球O截得的线段长为eq\r(2).[答案]eq\r(2)14．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2，PA＝PC＝2eq\r(2)，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是__________．[解析]由已知得，△PAD，△PDC，△PAB，△PBC都是直角三角形．设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP，易知VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，即eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(1,3)×22×R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×22×R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2×R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2×R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×22×R，解得R＝2－eq\r(2)，所以此球的最大半径是2－eq\r(2).[答案]2－eq\r(2)15．如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC为等边三角形，AA′⊥平面ABC，AB＝3，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为eq\r(29)，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥C－MNP的体积．[解](1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为eq\r(42＋92)＝eq\r(97).(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，如下图，设PC＝x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2.∵MP＝eq\r(29)，MA＝2，AC＝3，∴x＝2，即PC＝2.又∵NC∥AM，故eq\f(PC,PA)＝eq\f(NC,AM)，即eq\f(2,5)＝eq\f(NC,2).∴NC＝eq\f(4,5).(3)S△PCN＝eq\f(1,2)×CP×CN＝eq\f(1,2)×2×eq\f(4,5)＝eq\f(4,5).在三棱锥M－PCN中，M到面PCN的距离，即h＝eq\f(\r(3),2)×3＝eq\f(3\r(3),2).∴VC－MNP＝VM－PCN＝eq\f(1,3)·h·S△PCN＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×eq\f(4,5)＝eq\f(2\r(3),5).16．(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ADC是正三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．[解](1)证明：取AC的中点O，连接BO、DO，如图所示．因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.(2)连接EO.由(1)及题设知，∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝eq\f(1,2)AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝eq\f(1,2)BD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的eq\f(1,2)，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的eq\f(1,2)，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.[延伸拓展](2017·安徽蚌埠一模)如图所示，用一边长为eq\r(2)的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A.eq\f(\r(2),2)＋eq