2025-2026学年广东省惠州市第五中学教育集团八年级（下）期中数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省惠州市第五中学教育集团八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（）A.1，1， B.5，12，13 C.3，5，7 D.2，2.5，1.53.在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D为AB的中点，则∠ACD等于（）A.20° B.40° C.60° D.70°4.若最简二次根式可以与合并，则a的值是（）A.11 B.4 C.2 D.15.如图，已知矩形ABCD，点O是对角线AC上的中点，其中AB=3，AD=4，连接OB，则OB的长为（）A.3

B.4

C.

D.6.如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（）A.35海里

B.50海里

C.60海里

D.40海里7.已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD各边中点，连接AC、BD，添加以下条件能使四边形EFGH为菱形的是（）

A.AB=BD B.AD=CD C.AC=BD D.AC⊥BD8.如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近（）A.A B.B C.C D.D9.如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AE=DE=6，CD=2，AB=3，连接BE、CE.若∠BEC=45°，则△BCE的面积为（）A.15

B.20

C.25

D.3010.下列图形是黄金矩形的折叠过程：

第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；

第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；

第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；

第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．

则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（）A.①② B.①③ C.②④ D.②③二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是

.12.已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为

．13.如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E在BD上，过点E作EF∥BC交CD边于点F，如果∠ABC=50°，那么∠DEF的度数为

.

14.如图，实心圆柱的高为8cm,底面圆的周长为12cm,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到距离下底面4cm且与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短距离为

cm.

15.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=12cm，M是BC上一点，且BM=9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t=______

​​​​​​​三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题7分)

计算：

（1）；

（2）.17.(本小题7分)

已知O是BD的中点，DC∥AB，求证：四边形ABCD为平行四边形.18.(本小题7分)

为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织九年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动.其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案；他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示：活动课题测量古树AB的高度研学小组甲组乙组测量示意图测量说明CE⊥AB于点E，BECD为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内.CD⊥AB于点D，图中所有的点都在同一平面内.测量数据CD=4m,CE=12m,∠ACE=30°.∠ACD=45°，∠BCD=60°，CD=4m.请你选择其中的一种测量方案，求古树AB的高度.（结果保留根号）19.(本小题9分)

如图，在等腰三角形ABC中，AB=BC.

（1）尺规作图：在AC的右侧作一点D，使四边形ABCD为菱形（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接BD，交AC于点O，若BD=4，四边形ABCD周长为，求四边形ABCD的面积.20.(本小题9分)

我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.它的证明如下：

如图，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，∠ABC=90°，求证：.

证明；延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD，

∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，

∴OA=OC.

∴四边形ABCD是平行四边形.（①______）

又∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形.（②______）

∴BD=AC.（③______）

∴.

（1）认真阅读上面证明过程，在括号内填写相应的推理依据.

（2）类比探究逆命题：如图，CO是△ABC的中线，，△ABC是否为直角三角形？如果是，请说明理由.21.(本小题9分)

【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果.例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方.a2=1，b2=18，则a2＜b2，a＞0，b＞0，a＜b.

【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小.例如.

比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：

，

，

∵，

∴，

.

根据材料，解决下面问题：

（1）比较，的大小，c______d（填写“＞”＜”或“=”）.

（2）比较大小；______（填“＞”，“＜”或“=”）.

（3）若，求a2-4a+3的值.22.(本小题13分)

【数学背景】

我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”，其中3，4，5是一组勾股数，课外兴趣小组查阅资料后发现3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；…，这些也都是勾股数.于是为了更好地学习和理解勾股数，决定探究勾股数的规律.

【尝试探究】

（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.

事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，.根据你发现的规律，分别写出勾是7时，股的算式为______，弦的算式为______；

【猜想证明】

（2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，猜想它们之间的相等关系，并加以证明；

【深入思考】

（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数.且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，当勾为m时，直接用m（m为偶数.且m≥4）的代数式来表示股和弦，不用证明.23.(本小题14分)

综合与实践

【问题提出】数学课上，学习完四边形章节后，同学们发现对于很多问题，把一个条件和结论调换后仍然是正确的，或者把一些严格的限制条件更换成宽泛的要求，结论仍然成立，于是兴趣小组针对课本上给出的一些问题，进行更改条件后对此进行探究.

【动手探究】

（1）如图1，正方形ABCD，M是BC上的一点，连接AM.点N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM，分别交直线AB，CD于点E，F.求证：AM=EF.

（2）如图2，正方形的边ABCD，M是线段BC上的一点，连接AM，过点M作MQ⊥AM，交正方形的外角∠DCG平分线于点Q，我们知道，当M是BC中点时，有AM=MQ，如果去掉M是BC中点这个条件，AM=MQ这个结论是否仍然成立？

【拓展应用】

（3）如图3，正方形ABCD中，AB=4，M是BC上的一点，且BM=1，连接AM.点N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM，分别交直线AB，CD于点E，F，连接ME，AF，求ME+AF的最小值，并说明理由.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】B

11.【答案】x＞-5

12.【答案】5

13.【答案】25°．

14.【答案】．

15.【答案】或

16.【答案】

+7-4

17.【答案】∵AB∥CD，

∴∠OCD=∠OAB．

∵O是BD的中点，

∴OD=OB．

在△AOB和△COD中，

，

∴△AOB≌△COD（AAS），

∴AO=CO．

∵OD=OB，

∴四边形ABCD为平行四边形．

18.【答案】解：选甲组，

∵四边形BECD为矩形，

∴BE=CD=4m,

在Rt△ACE中，∠ACE=30°，

∴AC=2AE，

由勾股定理得，AC2-AE2=EC2，

即4AE2-AE2=122，

解得AE=4（负值舍去），

∴AB=AE+BE=（4）m；

选乙组，

在Rt△BCD中，∠BCD=60°，CD=4m,

∴BC=2CD=8m,

∴BD=（m），

在Rt△ACD中，∠ACD=45°，

∴∠ACD=∠CAD=45°，

∴AD=CD=4，

∴AB=AD+BD=（4）m.

19.【答案】如图，四边形ABCD即为所求；

4

20.【答案】①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③矩形的对角线相等

△ABC是直角三角形，理由如下：

延长CO到E，使EO=CO，连接AE，BE，如图2所示：

∴CE=EO+CO=2CO，

∵CO=AB，

∴CE=AB，

∵CO是△ABC的边AB上的中线，

∴AO=BO，

在四边形ACBE中，EO=CO，AO=BO，

∴四边形ACBE是平行四边形，

又∵CE=AB，

∴平行四边形ACBE是矩形，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形

21.【答案】＞

＜

5

22.【答案】×（72-1）;×（72+1）

勾、股、弦分别为：n，（n2-1），（n2+1），

它们之间的关系为：勾2+股2=弦2；证明：n2+[（n2-1）]2

=n2+n4-n2+

=n4+n2+

=[（n2+1）]2，

∴勾2+股2=弦2

当m≥4，且m为偶数时，股、弦分别为：（）2-1，（）2+1

23.【答案】证明：过点B作BG∥EF交CD于G，交AM于H，如图，

∵正方形ABCD，

∴∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，AB=BC，

∴∠ABG+∠MBG=∠ABC=90°，

由条件可知四边形BGFE是平行四边形，

∴BG=EF，

∵EF⊥AM，BG∥EF，

∴∠AHB=∠ANE=90°，

∴∠ABG+∠BAM=90°，∠AHB=∠C，

∴∠BAM=∠MBG，

∴△ABM≌△BCG（ASA），

∴AM=BG，

∴AM=EF．

仍然成立；

证明：在边BA上截取BE，使BE