福建省厦门市外国语学校2025-2026学年高一下学期期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省厦门市外国语学校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知α，β，γ是三个不同的平面，m,n,l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（）A.若m⊥l,n⊥l,则m∥n B.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C.若m⊥α，m∥n,则n⊥α D.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，CC1=4，点E，F分别为CC1，AD的中点，则异面直线EF和AD1所成角的余弦值为（）A.

B.

C.

D.

3.已知复数，则|z|=（）A.1 B. C.2 D.4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2BC=2CC1=6，点E，F分别为BC，CC1的中点，点P在矩形BCC1B1内运动（包括边界），若A1P∥平面AEF，则动点P的轨迹长度为（）

A. B. C. D.35.在△ABC中，已知2sinAsinC（cosB-1）+sin2B=0，则△ABC一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形6.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AB=BC=4，∠ABC=90°，则下列错误的是（）A.BC⊥PA B.点B到平面PAC的距离为

C.PA⊥平面ABC D.平面PAB⊥平面PAC7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BB1上，，点M，E分别是棱A1B1，AA1的中点，点N在棱CC1上，若MN∥平面CDE，则=（）A.

B.

C.

D.8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，点P为线段BC1上的动点，Q为平面ABCD内的动点，则D1P+PQ的最小值是（）A.

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（）A.

B.向量在向量方向上的投影向量为

C.

D.若，则

10.某货轮在A处时，灯塔B位于货轮的北偏东75°，距离为海里，灯塔C位于货轮的北偏西30°，距离为海里.该货轮自A处向正北方向航行到D处时，灯塔B位于货轮的南偏东60°，则下列说法正确的是（）A.D处在灯塔B的西偏北15° B.A处与D处之间的距离是24海里

C.灯塔C与D处之间的距离是海里 D.灯塔C在D处的西偏南60°11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A.当时，点P的轨迹长为

B.当时，有且仅有一个点P，使得AP⊥平面A1BD

C.当时，不存在点P，使得A1P∥AB

D.当时，三棱锥P-A1BD的体积为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z在复平面对应的点为（2，1），z的共轭复数为，则=

.13.如图，正四棱锥P-ABCD底面边长和高均为4，点E，F，G，H分别是其所在棱的中点，则几何体EFGH-ABCD的体积为

.14.在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，，点P是平面ABCD内的动点，且，则=

；若0＜t＜1，则的最小值为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在△ABC中，点D，E满足，，AC边上的中线BM与DE交于点O.设，.

（1）用向量，表示，；

（2）设，求x+y的值.16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且，.

（1）求B；

（2）若△ABC的外接圆半径为，求△ABC的周长.17.(本小题15分)

如图，多面体ABC-B1C1D是由直三棱柱ABC-A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点，且AD=AC=1，BC=2.

（1）若E为AB的中点，F在CC1上，且，证明：直线EF∥平面B1C1D；

（2）若BC⊥AC，求直线B1C与平面B1C1D所成角的正弦值.18.(本小题17分)

在平面四边形ABCD中，AD=CD=4.

（1）如图1，若BC=2，，且AD⊥AB，求AC；

（2）如图2，若△ABC为正三角形，求四边形ABCD面积S的最大值；

（3）如图3，若AB=2BC=4，AC与BD相交于点O.当四边形ABCD面积S取得最大值时，求的值.

19.(本小题17分)

如图，在三棱锥D-ABC中，，|AC|=7，|BC|=|CD|=5.

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）在线段CD上是否存在一点E，使得二面角E-AB-C的正切值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）已知点P为线段CD上另一动点，过点P且与CD垂直的平面α将三棱锥D-ABC分成左右两部分，设DP=t,当t为何值时，右侧部分的几何体的体积为？

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】5．

13.【答案】．

14.【答案】02．

15.【答案】=-，

=-+

-

16.【答案】

17.【答案】取B1D的中点G，连接EG，C1G，

由题意知，四边形ABB1D是直角梯形，

因为E，G分别是AB，B1D的中点，

所以EG∥BB1，EG===，

因为F在CC1上，且，

所以C1F∥BB1，C1F=，

所以EG∥C1F，EG=C1F，

所以四边形EFC1G是平行四边形，

所以EF∥C1G，

又EF⊄平面B1C1D，C1G⊂平面B1C1D，

所以直线EF∥平面B1C1D

18.【答案】

4

19.【答案】在△ACD中，cos，所以∠CAD=45°．

过点D作DO⊥AC于点O，连接BO，

则|DO|=|AD|•sin45°=3，

因为|AD|=|AD|，|BC|=|CD|，A