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文档简介

第四篇综合与实践第十章数学问题探究第43讲几何中的最值与定值问题几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本策略：①单线段最值主要考虑“两点之间线段最短”“垂线段最短”；②双线段最值主要考虑“将军饮马”模型或“胡不归模型”；③当图形中有相似，建立函数模型求线段最值.几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.有些几何图形有着天生的不变性，如反比例函数中的面积不变性，同弧所对的圆周角不变，等腰三角形底边上一点到两腰距离和为定值.解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明.

类型一

线段的最值

A.4B.5C.8D.10B

类型二

建立函数模型求最值

A.

B.4C.

2

D.5C【解后感悟】考查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配方技巧.类型三

几何定值

（1）∠OCG＝

45°－α

（结果用含α的代数式表示）.45°－α

（2）当α＝30°时，求证：AF＝2FE.

【答案】（2）连结OE，如图，∵∠OAF＝α＝30°.∴∠OCG＝45°－30°＝15°，∠AFO＝60°，∴∠DOE＝30°，∵∠AFO＝60°＝∠DOE＋∠OEF＝30°＋∠OEF，∴∠OEF＝30°，∴OF＝EF，∵∠OAF＝30°，CD⊥AB，∴AF＝2OF＝2FE.

（3）判断AG·CF是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【转化思想探究图形相关的等量关系】问题情境（1）如图1所示，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2所示），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的

2

倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略.2

操作实践（2）如图3所示，①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a，b，c，d之间存在某种数量关系.小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系.【答案】（2）如图2，∵EG⊥FH，∴a2＝OF2＋OE2，c2＝OG2＋OH2，d2＝OE2＋OH2，b2＝OF2＋OG2，∴a2＋c2＝b2＋d2，结合图形变换可得PA2＋PC2＝PB2＋PD2.探究应用（3）如图5所示，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值.若PE＝8，PF＝5，当∠DAP最大时，求AD的长.

方法与对策：通过

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