华东理工大学线性代数第1册答案09届版

华东理工大学

线性代数

作业簿（第一册）

学院专业班级

学号姓名任课教师

1.1矩阵的概念

1.矩阵A=.卜伊一月》二

2.设

1000100300

B=0100,c=230,D=030

0010041003

其中对角阵为，三角阵有.

解：对角阵为Q;三角阵有A,C,D.

1.2矩阵的运算

3-11—2

1.已知2—3X+=0,求矩阵X.

-2023

解：依题意，由

1]「4-33

11--115

1-11

即得X=1*3

115

,_333

2.如果矩阵…与/,满足"=试求刑〃",s之间的关系.

解：m=n=t=s.

3.填空:

一4311「7

(1)1-232

57

1

⑵[1,2,3]2=

3

1

(3)2[-1,2]=

3

24010

(4)

-1341

40-2

-352

68

解:(1)6;(2)14；4；(4)

20-6

496

010

4.已知矩阵4=001,试求与A可交换的所有矩阵.

000

解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为3阶方阵，不妨设

ahc

其为5d«f,丁是有

ghi

010ahde

AB=001degh

000gh000

ahh

BA=dee

ghh

e

由即得gh

00

由相应兀素相等，则得，=g=0=0,〃=a==/,

abc

故8=0a匕（。也。均为任意常数）为与A可交换的所有矩阵.

00a

5.计算下列各题:

⑴[石，尢2，”3]

解：原式等于:

4环；+a22X；+。3；后+（。12+。21）工1工2+（。13+〃31）工1七+（。23+432）龙2天

1

22

⑵4=求A2008；

I22

解:记A=则A2

R-I0

=-1,2008=3x669+1

0-1

叵

22=-A.

]_

T2

2

(3)A=—21,；,；,求A\

jJ

解:

2

21

3

ill2

=23=256

’2’3-3

3

31

2

6.利用等式

-173

35-2

--73"p31F10

一2八57口01

5

17-6T

计算

35-12

17-62320-733197-1266

解:

35-12570357385-2922

7.某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该

公司现有200()人正在脱产轮训，而不脱产职工有80()()人，若每

年从不脱产职工中抽调30%的人脱产轮训，同时又有60%脱产轮

训职工结业回到生产岗位，设职工总数不变，令

「0.70.618000

A=X=

[0.30.42000

试用A与X通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况，并据

此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人.

解：一年后职工状况为：4X=6800

32(X)

不脱产职工6800人，轮训职工3200人.

68(X)668(1

两年后职工状况为：A=A2X=

32003320

不脱产职工6680人,轮训职工3320人.

213-1

8.设矩阵A=,B=

-4-2-62

求：(1)(2)A2-B2.

2-43-62-4

解：⑴AlBr-BrAr=

1-2-121-2

-10-200。］/。-20

5-1000」［5-10

2123-1

(2)A2-B2=

-4-2-4-J-［：2-62

0015一:。

00-30:1H；。5

9.设A是对称矩阵,B是反对称矩阵，则（）是反对称矩阵.

(A)AB-BA\(B)AB+BA;(C)(AB)2;(D)BAB.

解：B.

12-1

10.试将矩阵村=301表示成对称矩阵与反对称矩阵之和.

-223

解:

5_3

101

2~222

53J_

A=-(A+AT)+-(A-AT)=0+0

222222

33

310

-22-22

11.设A是反对称矩阵，3是对称矩阵，试证：AB是反对称矩阵

的充分必要条件为AB=BA.

证：必要性：

由(A3)，=-AB及(AB)T=BTAT=B(-A)=-BA即得AB=BA.

充分性：若则

(AB)r=BTAT=B(-A)=-BA=-AB，知AB是反对称阵.

12.设/(%)=〃/"'+4_[%=+…+〃[X+4,记/(A)为方阵A的多

项式，即

/(A)=6〃A〃+4TA〃I++，解+旬/

0证明/(/)=/⑷0

(1)设/二4

047(4)

(2)设4=2/「，证明

0

解：（1）Ak

0

4"004010

••"(/)=4”+册I+%

0芍"o4〃~o401

=+。〃一4""++44+%o

="(4)o-

o/q)_

(2)A=PAPl=>Ak=PAkP]

f(A)=/(P/1P-1)=《〃P/TPT+q“_]尸/”々PT+，・・+qP/pT+《)PPT

=P/(M

T

13.设矩阵A=/-2*，其中,为〃阶单位阵，。为〃维列向量,

aa

试证A为对称矩阵，且*=/.

证:

A1'=(I—2岑)丁=IT-2(半尸=I--"混)T=1-24=A

aaaaaaaa

故A是对称矩阵，且

A?0r、/1aaTaaT,a(aTa)aT

A-=(Z-2--)(7-2—-)x=r7-4——+4...\=1r.

aaaaaa(aa)

L3逆矩阵

1.设A为〃阶矩阵，且满足T=A,则下列命题中正确的是().

(A)A=O；(B)A=/；

(C)若A不可逆，则A=O；(D)若A可逆，则4=/.

解：D.

2.设〃阶矩阵A、B、C满足ABAC=/,则必有().

(A)CA2B=I；(B)ATBTATCT=I；

(C)BA2C=/；(D)A232A2c2=/.

解：B.

-i-i-i-r

-ii-i-i

3.已知矩阵4=...,求A〃及AT(〃是正整数).

1

证：由1=4/,即可得

nn

An(4)3=(4/户=2","为偶数

A=j竺1

A^A=(4/)3A=2〃TA,〃为奇数

及A・(!A)=/,亦即A-=」A.

44

4.已知〃阶矩阵A满足A2+2A-3/=O,

求：A](A+2/尸，(A+4/)-1.

f4.L?/■)

解：依题意，有A(A4-2/)