高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1数列的概念 同步练习（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册4.1数列的概念同步练习一、单选题1．若数列满足，则（

）A． B． C． D．2．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（

）A．20 B．30 C．40 D．503．已知数列{an}，a1=1，an+1=an+，则该数列的第3项等于（

）A．1 B． C． D．4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知数列中，，，则（

）A．3 B． C． D．6．已知数列满足，(，)，则数列的通项（

）A． B．C． D．7．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（

）A．99 B．131 C．139 D．1418．已知数列中，，，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．59．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇数就乘3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次数，最终回到1．对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．610．已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．11．在数列中，，，则的值为（

）A． B． C． D．12．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．二、填空题13．观察下列数表：设1025是该表第m行的第n个数，则______.14．设数列满足，则an＝________．15．已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为__．16．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为___________.17．数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．三、解答题18．在数列中，.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？（2）求数列中的最大项.19．数列中，已知．（1）写出，；（2）是否是数列中的项？若是，是第几项？20．在数列中，，点在函数的图象上.（1）求，，的值；（2）猜想数列的一个通项公式.21．已知公差不为零的等差数列中，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求证：.参考答案：1．C利用前项积与通项的关系可求得结果.【详解】由已知可得.故选：C.2．B由前项和公式直接作差可得.【详解】数列的前n项和(n∈N*)，所以.故选：B.3．C根据递推关系先求出，即可求出.【详解】，.故选：C.4．B根据，由递推求解.【详解】因为，，所以，，，，，故选：B本题主要考查数列的递推，属于基础题.5．C首先根据及，依次写出，，，，可以发现，则数列是以4为周期的周期数列，进而可以得到的值.【详解】∵，，∴，，，，而，∴数列是以4为周期的周期数列，∴.故选：C.6．A直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．【详解】解：数列满足，，整理得，，，，所有的项相乘得：，整理得：，故选：．7．D根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则.故选：D8．B由题意可得，运用累加法和“裂项相消法”求和可得，再将不等式恒成立问题转化为成立，由此可得实数的取值范围．【详解】∵，∴，∴，∴∴∴．∵，∴，∴，故选：B．9．D推导出，，由，得，从而，进而或．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的的值的个数．【详解】解：由题意知，，由，得，，或．①当时，，，或，或．②若，则，或，当时，，此时，或，当时，，此时，或，综上，满足条件的的值共有6个．故选：D10．D根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项.【详解】解：若是递增数列，则，即，解得，即实数的取值范围是．故选：D．11．D首先求出数列的前几项，即可找出数列的周期，即可求出；【详解】数列中，，，所以，当时，解得，当时，解得，当时，解得，当时，解得，故数列的周期为3，所以，故选：D．12．A显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．【详解】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．13．12先找出每行第一个数的规律，再按照规律求解即可.【详解】解：根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9、…都是连续奇数，第一行1个数；第二行个数，且第一个数是；第三行个数，且第一个数是；第四行个数，且第一个数是；…第10行有个数，且第一个数是，第二个数是1025，所以1025是该表第10行的第2个数，所以，，则故答案为：12.本题考查利用数列找规律求值，是基础题.14．先由题意得时，，再作差得，验证时也满足．【详解】①当时，；当时，②①②得，当也成立.即故答案为：15．由题意首先求得数列的通项公式，然后裂项求和计算其前20项和即可．【详解】当n＝1时，b1＝S1＝2﹣1＝1，当n≥2时，，且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，则，则．故答案为：．16．由题意可得,当时，，又，两式相减可得，再利用累乘法，即可求出时数列的通项公式，注意当时,代入进行检验即可.【详解】由，可得当时，，则，即，故，所以.当满足.故数列的通项公式为.故答案为：易错点睛：本题考查已知数列的前项和求数列的通项公式，当时，，要注意当时,代入通项进行检验是否符合，考查学生的运算能力，属于一般题.17．4先根据将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案.【详解】因为，所以.又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以的个位数字相同，的个位数字相同，易知，则，所以的个位数字为4.故答案为：4.18．（1）是，；（2）（1）设，解方程，看是否为正整数即可．（2）将看成二次函数，利用二次函数的最值来求．【详解】（1）令，解得或（舍去）.所以（2），由于，所以最大项为本题考查已知项求项数，注意项数要为整数，另外将数列的最值转化为函数的最值，解题会更加简单．19．（1），；（2）79是该数列中的项，是第15项.（1）直接代入，计算即可；（2）利用通项公式解出是否是正整数即可得到答案．【详解】解：（1）所以；.（2）令，解得或舍去)，所以是该数列中的项，并且是第15项.20．（1），，；（2）.（1）由已知可得：，代入，即可求得，，的值；（2）由前4项的值即可归纳.【详解】（1）因为点在函数的图象上，所以，又，所以，，.（2）由（1）中数列的前4项的规律，可归纳出数列的一个通项公式为.21．（1）（2）见解析（1）直接利用已知条