二分法的定义与应用-高中数学知识点讲解(含答案)

二分法的定义与应用(北京习题集)(教师版)

一.选择题(共5小题)

1.(2015秋•海淀区校级期中)已知函数/(x)=3'x-5,用二分法求方程3，+x-5=O在xc(O,2)内近似解的过程

中，取区间中点玉=1，那么下一个有根区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(1,2)或(0,1)都可以D.不能确定

2.(2015秋•海淀区校级月考)函数f(x)=,1—x+2的一个零点所在区间为()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

3.(2013秋•朝阳区期末)设函数/。)=3*+3%-8,用二分法求得方程/3)=()在xe(l,2)内的根所在的区间可以是

()

(参考数据：/(1.25)«-0.30,/(1.5)«1.70,/(1.75)«4.09)

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,1.75)D.(1.75⑵

4.(2014♦海淀区校级模拟)有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说

根据科学的算法，利用天平，三次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有几粒()

A.21B.24C.27D.30

5.(2010春•朝阳区期中)如图所示，以下每个函数都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是()

二.填空题(共8小题)

6.(2008秋•大兴区期末)某同学在借助计算器求“方程/gx=2-x的近似解(精确到0.1)”时，设73=妙+X-2,

算得/(1)<0,f(2)>0：在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并

得出判断：方程的近似解是不。1.8.那么他再取的工的4个值分别依次是.

7.(2016秋•丰台区期末)己知函数丫=。+88工在区间［0,2乃］上有且只有一个零点，则〃=.

8.(2017秋•西城区校级期中)用二分法求方程丁+1=3«的一个近似解时，已经确定有根区间为(0,1),则下一步

可确定这个根所在的区间为.

9.（2017秋•朝阳区校级期中）用二分法求/（幻=0的近似解，9（1）二一2，/（1.5）=0.625,/（1.25）=-0.984,

/（1.375）=-0.260,下一个求/（〃?），贝卜〃=.

10.（2017•海淀区二模）已知函数/■（%）=』一21则/（1）____/⑴（填“>"或）；/（x）在区间（己二!,」-）

x2〃〃+1

上存在零点，则正整数〃=.

11.（2017•朝阳区一模）函数八制=2'——a的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是.

x

12.（2015秋•北京校级期中）用“二分法”求函数/（幻=炉-3x+l的一个零点时,若区间［1,2］作为计算的初始区

间，则下一个区间应取为.

13.（2010秋•海淀区校级期中）用二分法求函数/（幻=2'+31-7在区间［0,2］上的零点，取区间中点1,则下一

个存在零点的区间是

二分法的定义与应用(北京习题集)(教师版)

参考答案与试题解析

一.选择题(共5小题)

1.(2015秋•海淀区校级期中)已知函数/(x)=3，+x-5,用二分法求方程3，+,1-5=0在xw(0,2)内近似解的过程

中，取区间中点玉=1,那么下一个有根区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(1,2)或(0,1)都可以D.不能确定

【分析】方程的实根就是对应函数/(])的零点，由/(2)>0,/(1)<0知，/(%)零点所在的区间为(1,2).

【解答】解：・・・〃劝=3』-5,

(1)=3+1-5<0,f(2)=9+2-5>0,

零点所在的区间为(1,2)

方程3、+4-5=0有根的区间是(1,2),

故选：B.

【点评】本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数的零点，函数在区间上存

在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号.属基础题.

2.(2015秋•海淀区校级月考)函数f*)=x-2—x+2的一个零点所在区间为()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【分析】紧扣函数零点存在的判定定理：函数连续，一正一负即可.

【解答】解：•.•函数加工)=-7+2在(0,+oo)上连续，

且/(3)=--3+2<0,f(2)=--2+2>0,

94

(2)f(3)<0,

函数/(X)二厂2一工+2的一个零点所在区间为(2,3)

故选：13.

【点评】本题考查了函数零点的判定，属于基础题.

3.(2013秋•朝阳区期末)设函数/a)=3'+3x-8,用二分法求得方程/(幻=0在工w(l,2)内的根所在的区间可以是

()

(参考数据：/(1.25)»-0.30,/(1.5)«1.70,./(1.75)»4.09)

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,1.75)D.(1.75,2)

【分析】由题意可得/(x)是A上的连续函数，且/(1.25)・，(1.5)<0,由此根据函数零点的判定定理求得函数的

零点所在的区间.

【解答】解：由题意可得/㈤是R上的连续函数，/(1.25)。-0.30,/(1.5)之1.70,

且/(1.25)./(1.5)<0,故函数f(x)的零点所在的区间为(1.25,1.5),

故选：13.

【点评】本题主要考查用二分法求方程的近似解，函数零点的判定定理，属于基础题.

4.(2014•海淀区校级模拟)有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有•粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说

根据科学的算法，利用天平，三次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有几粒()

A.21B.24C.27D.30

【分析】由题意利用天平，三次能找到这粒最轻的珠子，从特殊到一般，从少到多，平均分三堆，进行称量，有两

种情况：判断较轻的珠子在哪一堆，再对此堆平分三分，重复以上步骤，最后可以求解；

【解答】解：若只有一粒重量轻的珠子，对于均衡的三组珠子(最少时一组一粒珠子)一定为下囱两种情况：

(1)天平不平衡，此时重量轻的珠子存在于天平较轻的一侧：

(2)天平平衡，此时重量轻的珠子存在于不在天平上的一组，对于均衡的三组珠子，轻珠子存在于其中一组里面，

无论是天平平衡还是不平衡，都可以检验出来，最后一次，最多是三粒珠子，以此向上类推，构成等比数列，公

比为3,可得最多为：33=27粒

【点评】研究此题不需要有任何数学知识，考查学生数学思维解决问题的能力，这是今后高考命题的方向；

5.(2010春•朝阳区期中)如图所示，以下每个函数都有零点，但穴能用二分法求图中函数零点的是()

【分析】使用二分法求解，要求区间两个端点对应的函数值符号相反，即函数的图象在x轴的两侧，而当图象在x轴

的同一侧时，不能用二分法进行求解，分析四个图象即可得到答案.

【解答】解：由二分法求方程的适用范围

当函数的图象在丫轴的同一侧时，不能用一分法进行求解

分析题目中的四个函数图象

A,B,。的图象均在x轴的两侧，故可以用二分法进行求解

只有C的图象在x轴的同一侧时，不能用二分法进行求解

故选：C.

【点评】本题考查的知识点是二分法求方程的近似解，其中熟练掌握二分法求方程近似根的适用范围是解答本题的

关键.

二.填空题（共8小题）

6.（2008秋•大兴区期末）某同学在借助计算器求“方程/gx=2-x的近似解（精确到0.1）”时，设/*）=/gx+x-2,

算得/（1）<0,f（2）>0；在以下过程中，他用“二分法”乂取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并

得出判断：方程的近似解是工土1.8.那么他再取的x的4个值分别依次是」.那1.75,1.875,1.8125.

【分析】根据“二分法”的定义，每次把原区间缩小一半，且保证方程的近似解不能跑出各个小的区间.

【解答】解：根据“二分法”的定义，最初确定的区间是（1,2）,又方程的近似解是不。1.8,

故后4个区间分别是（1.5,2）,（1.75,2）,（1.75,1.875）,（1.75,1.8125）,

故它取的4个值分别为1.5,1.75,1,875,1.8125,

故答案为：1.5,1,75,1.875,1.8125.

【点评】本题考查二分法的定义，以及利用二分法求方程的近似解，属于基础题.

7.（2016秋•丰台区期末）已知函数旷=。+以）8不在区间［0,2幻上有且只有一个零点，则-=1.

【分析】作函数y=cosx在区间［0,2m上的图象，从而结合图象解得.

【解答】解：作函数y=cosx在区间［0,2m上的图象如图所示，

结合图象可知，

若y=〃+cosx在区间［0,2万］上有且只有一个零点，

则4-1=0,

故4=1；

【点评】本题考查了学生对三角函数的掌握情况及数形结合的思想应用.

8.（2017秋•西城区校级期中）用二分法求方程丁+1=3«的一个近似解时，已经确定有根区间为（0,1）,则下一步

可确定这个根所在的区间为_(04)_.

2

【分析】由题意构造函数=五+1,求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值

的符号是否异号即可.

【解答】解:令-34+1,

则/(0)=l>0,f(1)=1-3+1<0,/•§)=；一乎+1<0,

由/(0)/(g)〈。知根所在区间为(0,g).

故答案为：(0,J).

【点评】此题是个基础题.考查二分法求方程的近似解，以及方程的根与函数的零点之间的关系，体现了转化的思

想，同时也考查了学生分析解决巨题的能力.

9.(2017秋•朝阳区校级期中)用二分法求/(x)=0的近似解，/(1)=-2,/(1.5)=0.625,/(1.25)=-0.984,

/(1.375)=-().260,下一个求/(〃"，则利=1.4375.

【分析】根据题意，由二分法分析可得方程八幻=0的根应该在区间(1.375,1.5)上，由二分法分析可得〃?=I8；L5,

计算即可得答案.

【解答】解:根据题意，方程/(幻=0的根应该在区间(1.375,1.5)上，

i1.375+1.5.

贝miIJ=--------=1.4375；

2

故答案为：1.4375.

【，点:评】本题考查二分法求出方程的近似解.，涉及二分法的应用，属于基础题.

10.(2017•海淀区二模)已知函数一21则(1)(填“〉”或“<”)；〃外在区间(上］,/_)

x2n/?+1

上存在零点，则正整数〃=.

【分析】根据函数的单调性即可判断，再根据函数的零点存在定理即可求出

【解答】解：易知函数为减函数，

x

则吗)>/⑴,

'：f(1)=1-2=-1,/(-)=2-x/2>0,

2

(1)吗)<0，

.•・函数/(%)的零点所在的区间为W，1),

/■*)在区间(纥L/一)上存在零点，

〃〃十1

解得〃=2,

故答案为：>,2

【点评】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题.

II.(2017•朝阳区一模)函数〃制=2'-2-。的一个零点在区间(1,2)内，则实数〃的取值范围是_(0,3)_.

X

【分析】由题意可得/(1)/(2)=(0-a)(3-a)<0,解不等式求得实数a的取值范围.

【解答】解：由题意可得/(1)f(2)=(0-。)(3-a)vO,

解得：Ova<3,

故实数a的取值范围是(0,3),

故答案为：(0,3)

【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题.

12.(2015秋•北京校级期中)用“二分法”求函数/(x)=V-3x+l的一个零点时，若区间［1,2］作为计算的初始区

间，则下一个区间应取为

【分析】函数，(x)=d-2x-1,确定/(I),f(2),〃1.5)的符号，根据零点存在定理，即可得到结论.

【解答】解：由二分法由/