探究“余”的奥秘：跨学科视域下小学二年级“有余数的除法”导学案

探究“余”的奥秘：跨学科视域下小学二年级“有余数的除法”导学案

  一、课标依据与核心素养指向分析

  本导学案严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第一学段“数与代数”领域的要求。课标明确指出，要引导学生经历从具体情境中抽象出数学规律的过程，理解运算的意义，发展运算能力和推理意识。有余数的除法是表内除法的自然延伸，是整数除法运算体系构建的关键节点，亦是学生从“等分除”理想模型迈向现实复杂问题解决的重要桥梁。其核心素养指向多维且深刻：第一，数感与量感：通过分物活动，深化对数量“整体性”与“可分性”的理解，感受数量在“恰好”与“剩余”之间的辩证关系，建立对“余数”这一新数量的直觉感知。第二，运算能力与推理意识：理解有余数除法算式的意义、读写及各部分名称，掌握试商的基本方法。更重要的是，通过观察、比较、归纳余数与除数的关系，发展初步的合情推理与演绎推理能力。第三，模型意识与应用意识：将现实生活中的“平均分且有剩余”问题抽象为有余数除法的数学模型，并运用该模型解释和解决简单实际问题，体会数学与生活的广泛联系。第四，跨学科视野：本设计将自觉融入劳动教育（如分组值日）、艺术审美（如周期排列规律）、语言逻辑表达（如编撰包含“余数”情境的数学故事）等元素，促进学生综合素质的协同发展。

  二、学情诊断与前概念分析

  授课对象为小学二年级上学期的学生。其认知结构与思维特点表现为：从具体形象思维逐步向初级逻辑思维过渡，动手操作与直观体验是其建构数学概念的核心路径。在学习本课前，学生已具备以下关键知识与技能：第一，熟练掌握表内乘法，能够快速进行表内除法的计算（即没有余数的除法）。第二，深刻理解“平均分”的含义，能够用语言和操作清晰表述平均分的过程与结果。第三，具备初步的动手操作能力（如摆小棒、画圈）和小组合作交流的习惯。

  然而，学生可能面临的认知冲突与迷思概念包括：第一，对“分不完”或“有剩余”的现象，可能仅停留在生活经验层面，未能将其数学化为一个新的概念（余数）。第二，在书写有余数的除法算式时，易遗漏余数，或混淆商和余数的位置。第三，难以理解“余数一定比除数小”这一核心规律，在初期操作或计算中可能出现“余数大于或等于除数”的错误，其根本原因是对“余数”是“继续分下去每份还能至少再分到1个”后的剩余这一本质理解不深。因此，教学必须创设充分的“分物”活动，让学生在“分到不能再分为止”的体验中，自主发现并理解余数的产生、意义及其核心规律。

  三、学习目标设定

  基于以上分析，设定如下三维学习目标：

  （一）知识与技能维度

  1.在动手操作中，经历“平均分物体有剩余”的过程，理解余数的含义，能结合具体情境说出余数表示什么。

  2.掌握有余数除法的读写方法，认识余数，能正确列出有余数的除法算式。

  3.通过观察、操作、比较，发现并理解“余数必须比除数小”的规律，并初步应用于简单的试商。

  （二）过程与方法维度

  1.经历从现实问题到数学抽象，再从数学结论回到现实解释的完整探究过程，发展数学建模思想。

  2.在探索余数与除数关系的过程中，学习观察、比较、归纳等数学方法，发展初步的探究能力和推理能力。

  3.学会用数学语言（口头、书面、符号）清晰、有条理地表达分物过程和思考结果。

  （三）情感态度与价值观维度

  1.在解决“分不完”的真实问题中，感受数学与生活的紧密联系，体会学习数学的价值与乐趣。

  2.在小组合作探究中，乐于交流、倾听他人意见，培养合作意识与科学探究精神。

  3.通过了解“余数”在密码学、计算机编码等领域的奇妙应用（浅显层面），激发对数学世界的好奇心与求知欲。

  四、教学重难点研判

  教学重点：理解余数的产生和意义，掌握有余数除法的算式写法及各部分名称。

  教学难点：理解“余数一定比除数小”的规律，并能理解其背后的算理。

  五、教学准备与环境创设

  （一）教师准备

  1.多媒体课件：包含情境动画、互动游戏、知识梳理图等。

  2.实物教具：磁性小圆片、不同颜色的磁力扣、用于展示的大号除法算式卡片。

  3.学习任务单（每人一份）：包含“操作记录区”、“我的发现区”和“挑战闯关卡”。

  4.分组学具袋（每组一份）：内含20根小棒（或计数器）、10个五子棋棋子、12张圆形纸片、记录表。

  （二）学生准备

  铅笔、彩笔、尺子。

  （三）环境创设

  教室桌椅布置为四人小组合作式。墙面预留“我们的发现”展示区，用于张贴学生探究成果。

  六、教学过程实施详案

  （一）情境驱动，孕伏冲突——感知“分不完”的现象（约12分钟）

  1.故事化情境导入：

  师：（播放简短动画或出示图片）同学们，欢迎来到“智慧农场”。今天是丰收日，小兔子们收到了许多新鲜的胡萝卜。兔妈妈要把6根胡萝卜，公平地分给2只兔宝宝，每只小兔能分到几根？请你用动作或算式告诉老师。

  生：（齐答或用手指表示）3根。算式是6÷2=3（根）。

  师：为什么用除法？

  生：因为是平均分。

  师：说得真好。平均分，结果刚好分完，这是我们之前学习的除法。

  2.制造认知冲突：

  师：（情境延续）看，又来了1只小兔，现在有3只小兔了。兔妈妈有7根胡萝卜，还是要公平地分，每只小兔能分到几根？还剩几根？请用你桌上的小棒代替胡萝卜，动手分一分。

  （学生动手操作，教师巡视，选取典型分法：先每只分2根，发现还剩1根，但无法再平均分。）

  师：谁来分享你是怎么分的？结果怎样？

  生1：我一根一根地分，先给每只小兔1根，再给每只1根……最后每只分到2根，还多出1根。

  生2：我想3只小兔，每只2根就是6根，从7根里拿出6根分掉，还剩1根。

  师：两位同学都分得很清楚。现在每只小兔分到了2根，但还剩1根。这剩下的1根，还能再平均分给3只小兔吗？

  生：不能，因为1根不够分成3份了。

  师：对！在平均分的时候，有时会像这样“分不完”，有“剩余”。这剩下的、不够再分的一份，在数学上有一个新的名字，叫做“余数”。今天，我们就一起来认识这个带着“小尾巴”的除法——有余数的除法。

  （设计意图：从已掌握的“平均分完”情境无缝过渡到“平均分后有剩余”的真实场景，通过动手操作，让学生直观感受到“剩余”的存在，引发认知冲突，自然引出“余数”概念，激发学习内驱力。）

  （二）操作探究，建构模型——理解余数的意义与算式表达（约18分钟）

  1.活动一：多样操作，丰富表象。

  师：刚才我们分了7根胡萝卜。现在，请各小组用学具袋里的物品，分别完成以下三个分物任务，并把结果记录在任务单的“操作记录区”。

  任务A：（用小棒）把10根小棒，每3根一份，可以分成几份？还剩几根？

  任务B：（用棋子）把11个棋子，平均分给4个小朋友，每人分得几个？还剩几个？

  任务C：（用圆片）把13张圆片，每5张摆成一朵花，可以摆几朵？还剩几张？

  （学生小组合作，动手操作、记录。教师深入小组，指导记录方法，倾听学生对话，关注是否表达出“平均分”、“分到不能再分为止”、“还剩”等关键语言。）

  2.活动二：数学表达，抽象建模。

  师：哪个小组来汇报任务A的结果？

  生：10根小棒，每3根一份，可以分成3份，还剩1根。

  师：谁能用一个除法算式来表示这个分的过程和结果？

  （学生可能尝试写出10÷3=3……1。教师将学生写法展示出来。）

  师：这种写法很接近数学家的想法了！在数学上，我们这样规范地书写：（板书）10÷3=3（份）……1（根）。

  师：这个算式读作：10除以3等于3余1。我们来认识一下新朋友：“……”叫做余号。这个“1”就是“余数”，它表示平均分后剩下的数量。

  师：谁能结合分小棒的过程，说说这个算式中“10”、“3”、“3”、“1”分别表示什么？

  生：10是要分的总数（被除数），3是每份数（除数），3是分得的份数（商），1是剩下的根数（余数）。

  师：太棒了！请同学们像这样，将任务B和任务C的操作过程和结果，用这样的有余数除法算式写在任务单上，并和同桌互相说一说每个数的含义。

  （学生练习书写与表达，教师巡视指导，确保读写规范、表达准确。）

  3.对比归纳，明晰概念。

  师：（将板书的7÷3=2……1，10÷3=3……1，以及一个旧知如6÷2=3放在一起）请同学们仔细观察这些除法算式，你有什么发现？它们有什么相同和不同？

  生：有的除法算式结果刚好分完，没有余数；有的分不完，有余数。

  师：是的。像这样，平均分一些物品时，有时正好分完，没有剩余；有时会有剩余，且剩下的部分不够再分。这种不够再分、有剩余的除法，就叫“有余数的除法”。这个剩余的数，就是“余数”。

  （设计意图：通过三个层次递进的操作任务，让学生从具体到抽象，充分经历“实物操作——语言描述——符号记录”的数学化过程。在对比中，清晰界定“有余数的除法”概念，牢固建立算式与操作过程之间的对应关系，完成数学模型的初步建构。）

  （三）深入探究，发现规律——探索余数与除数的关系（约15分钟）

  1.聚焦矛盾，引发猜想。

  师：刚才分13张圆片时，有没有小组得到“每5张一份，分得2份，还剩3张”的结果？这个结果对吗？13÷5=2……3？

  （学生思考，有的说对，有的犹豫。请一名认为对的学生用圆片操作演示。）

  生：（操作）先摆出5张一堆，摆了2堆，是10张，还剩3张。

  师：还剩的这3张，还能再摆出一堆（每5张一堆）吗？

  生：不能，因为3张不够5张。

  师：那这3张能怎么办？

  生：只能剩着。

  师：所以13÷5=2……3这个结果是对的。那么，如果我说“把14根小棒，每4根一份，分得3份，还剩2根”，可以写成14÷4=3……2。如果有人说“分得2份，还剩6根”，写成14÷4=2……6，对吗？请你用小棒分一分验证。

  （学生迅速操作，并发现“还剩6根”时，这6根还能再每4根分一份。）

  生：不对！还剩6根，还能再分一份，所以应该是分成了3份，剩2根。

  师：也就是说，余数“6”比除数“4”大，说明还能继续分，所以这个结果是错的。那么，余数和除数之间，会不会藏着什么秘密呢？

  2.合作探究，发现规律。

  师：请各小组开启“规律探索”模式。用一堆小棒（数量在14-20根之间自选），分别进行“每4根一份”和“每5根一份”的分物活动，将每次分的结果用算式记录在“我的发现区”，并思考：余数可能是哪些数？它和除数比，有什么关系？

  （学生分组活动，记录如：17÷4=4……1，18÷4=4……2，19÷4=4……3，20÷4=5；16÷5=3……1，17÷5=3……2…等。教师引导学生观察一组算式。）

  师：观察“每4根一份”的这一列算式，余数出现了哪些数？

  生：1，2，3。

  师：会出现4吗？会出现5吗？为什么？

  生：不会！如果余4根，那这4根刚好又能每4根分一份，所以应该没有余数，或者余数比4小。

  师：太精彩了！你的推理完全正确。那么，“每5根一份”时，余数可能有哪些？

  生：1，2，3，4。

  师：能等于或大于5吗？

  生：不能！等于5就又能分一份了，大于5说明还能继续分。

  3.归纳概括，形成结论。

  师：通过这么多例子，你们发现了余数和除数之间有什么关系？

  生：余数一定要比除数小。

  师：这是一个非常重要的发现！谁能用更完整的数学语言来说一说？

  生：在有余数的除法中，余数必须比除数小。

  师：（板书结论）这就是有余数除法中的一个核心规律。我们一起来读一读。这个规律有什么用呢？

  生1：可以帮助我们检查算出的余数对不对。

  生2：在分东西的时候，如果剩下的比每份数还多或一样多，就说明还没分完。

  （设计意图：通过制造认知冲突（余数能否大于除数），引导学生进行更深层次的思考和操作验证。在大量例证的基础上，通过观察、比较、归纳，自主发现“余数必须比除数小”这一核心规律。不仅知其然，更通过“为什么”的追问，引导学生理解规律背后的算理，即“余数表示不够再分一份”，从而发展推理意识。）

  （四）分层应用，拓展升华——在解决问题中深化理解（约20分钟）

  1.基础巩固层：辨识与计算。

  （1）课件出示“火眼金睛”判断题：

  ①18÷5=3……3（）

  ②在算式□÷6=4……△中，△最大是5。（）

  ③余数可以比除数大。（）

  （2）完成学习任务单上的“竖式初探”（直观模型辅助的竖式填空练习），如：将17个苹果，每盘放5个，可以放几盘？还剩几个？用17÷5=□（盘）……□（个）表示，并尝试用简易竖式框架填写。

  2.综合应用层：解决真实问题。

  （1）生活问题：班级有35名同学参加“两人三足”游戏，至少需要准备多少根绑脚的绳子？（35÷2=17（组）……1（人），余下的1人也需要和另一人组成一组，故需要17+1=18根绳子）。此题涉及“进一法”的雏形思考。

  （2）艺术中的数学：用、、三种颜色的磁力扣按顺序重复排列，第16个磁力扣是什么颜色？（16÷3=5（组）……1（个），余数是1，所以是每组的第一个颜色，即。）初步渗透周期规律。

  （3）体育分组：二年级（1）班有38人，按每6人一组进行跳绳练习，可以分成几组？还多几人？（38÷6=6（组）……2（人））

  3.思维拓展层：开放探究。

  挑战题：在一个有余数的除法算式里，除数是7。请你想一想，余数可能是多少？如果商是5，被除数最大是几？最小是几？（引导学生运用“余数比除数小”的规律，余数可能是1~6；被除数最大时余数最大为6，即7×5+6=41；最小时余数最小为1，即7×5+1=36）。

  （设计意图：设计层次分明、形式多样的练习，从概念辨析到实际应用，再到思维拓展。将数学与生活、艺术、体育紧密结合，体现跨学科视野。问题设计注重开放性、思考性，既巩固了基础知识与核心规律，又培养了学生灵活应用数学知识解决实际问题的能力和初步的数学模型思想。）

  （五）总结反思，勾连展望——梳理知识脉络（约5分钟）

  师：这节课我们一起探究了“有余数的除法”的奥秘。通过今天的学习，你收获了哪些知识？明白了什么道理？还有什么疑问？

  生1：我知道了平均分有时会有剩余，剩余的数叫余数。

  生2：我学会了写有余数的除法算式，还知道余数一定要比除数小。

  生3：我明白了如果余数和除数一样大或比除数大，就说明还能继续分。

  师：同学们的总结非常到位。我们不仅认识了“余数”这个新朋友，还发现了它和除数之间“余数必须比除数小”的重要约定。这就是数学的严谨与美妙。课后，请大家当一回“小小发现家”，在生活中找一找哪些地方用到了“有余数的除法”，把你的发现画出来或写成一个数学小故事。下节课我们分享。

  （设计意图：引导学生从知识、方法、体验等多个维度进行自主梳理与反思，构建完整的认知图式。通过布置开放性的实践作业，将数学学习延伸至课外，持续培养学生用数学眼光观察世界的意识和能力。）

  七、板书设计规划

  板书将采用思维导图式与过程性呈现相结合的方式，力求清晰、直观、结构化。

  （左侧区域：核心概念与模型）

  认识有余数的除法

  平均分→有剩余→余数

  10÷3=3（份）……1（根）

  被除数除数商余数

  读作：10除以3等于3余1。

  （中部区域：探究过程关键记录）

  我们的操作：

  7÷3=2……1

  13÷5=2……3

  ……

  （右侧区域：核心发现（规律））

  我们的重大发现：

  在有余数的除法中，

  余数必须比除数小。

  （下方区域：问题与应用示例）

  生活应用：

  38÷6=6（组）……2（人）

  八、学习评价设计

  评价贯穿教学全过程，体现多元与多维。

  （一）过程性评价：

  1.观察评价：教师通过巡视，观察学生操作活动的规范性、合作交流的参与度、倾听与表达的积极性。

  2.言语评价：对学生的发现、质疑、精彩回答给予及时、具体、指向思维过程的鼓励性评价，如“你不仅分得对，还说清了为什么余数不能是4，真有数学家的推理风范！”

  3.作品评价：对学习任务单的完成情况（记录完整性、书写规范性、发现表述的准确性）进行评价。

  （二）形成性评价：

  1.课堂练习反馈：通过判断题、解决问题题的完成情