黑龙江省哈尔滨市2026届高三数学下学期第一次模拟考试(一)【含答案】

黑龙江省哈尔滨市2026届高三数学下学期一模试卷一、单选题1．已知复数，则（

）A． B． C． D．12．已知集合是绝对值小于的整数，，则的元素个数为（

）A． B． C． D．3．若关于的不等式的解集为，则（

）A．5 B．1 C．-1 D．-54．如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过OP的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（

）A． B． C． D．5．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（

）A． B． C． D．6．已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（

）A．2 B．2或 C．2或 D．2或7．已知，则（

）A． B． C． D．8．统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（

）A．61 B．70 C．98 D．120二、多选题9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．数列是公差为2的等差数列10．函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（

）A．B．C．在区间恰有一个零点D．将图象向左移个单位后关于轴对称11．已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，.则（

）A．的轨迹方程为： B．的最小值为2C．的最小值是 D．的最大值为三、填空题12．若向量满足，且，则的值为______.13．若直线是曲线的一条切线，则________．14．下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.四、解答题15．在中，内角，，所对的边长分别是，.(1)求角；(2)若，，，求AB边上的高.16．已知椭圆：左焦点，离心率为(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围.17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.(1)证明：平面PBC；(2)若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离.18．已知函数，其中.(1)讨论的单调性；(2)（ⅰ）当时，证明：；（ⅱ）当时，设，且.求证：.19．如图，一动点从点出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点移动了（）步之后，停在点的概率为.(1)求，；(2)求的通项公式；(3)记点的前次移动中，到达过点的次数为，求证：.参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则参考答案1．B【详解】复数，则.2．C【详解】是绝对值小于的整数，即满足（为整数），可得，已知，根据并集定义，得：因此，共个元素.3．D【详解】关于的不等式的解集为，则是方程的两个根，根据韦达定理可知，解得，故选：D.4．B【详解】如图，过OP的中点作平行于底面的截面，截面圆半径，是圆锥底面半径，在母线上，因为为中点，则，，所以剩余的几何体的体积为.5．C【详解】∵函数为奇函数，∴，又∵，∴，故选项C正确.其他三个选项条件不足无法计算，故选C.故选：C.6．D【详解】由题可得双曲线的渐近线为，这里不妨取，即，点到直线的距离，在中，所以，则，又因，所以，化简可得，等式两边同时除以，可得，即，解得或，因，所以或.7．B【详解】依题意，，所以．故选：B．8．B【详解】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则，所以.9．AC【详解】选项A，由等比数列性质得，由，解得或，若，则，不合题意，若，则，满足题意，A正确；选项B，由选项A得，，等比数列的通项公式应为形式，因此不是等比数列，B错；选项C，由选项B得，，C正确；选项D，由上知，，，所以数列是公差为的等差数列，D错．10．ACD【详解】因为，又，所以，故B错误；因为，由图可知，，所以，故A正确；所以，当时，，所以方程在上只有即一个解，即函数在区间恰有一个零点，故C正确；将图象向左移个单位后可得，为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确.11．AC【详解】由题意可知，设，过点P作轴于点N，如图：对于A，则，∴，即，∴，A选项正确；对于B，，，∴当点为时，的最小值为1，B选项不正确；对于C，，当且仅当时，的最小值是，C选项正确；对于D，由对称性可假设点P在一象限，则，∵，当且仅当，即时取等号，所以∴，∴最大值为，当AQ与圆F相切时，，∴的最大值，∴，D选项错误.12．【详解】因为，所以两边平方得，则，因为，所以.故答案为：13．e【详解】设直线与曲线相切于点．因为，所以且，解得，．故答案为.14．200【详解】将有阴影的圆分别标为，由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，当阴影的圆中的数字为时，则将填在中有种方法，接着剩下的个数字填到圆中有种方法，所以共有种方法；当阴影的圆中的数字为时，若将填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能从中选两个有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法；若将填到或，有种方法，则接着安排有种方法，与相邻的三个圆只能填有种方法，剩下一个数有种填法，所以共有种方法；当阴影的圆中的数字为时，则只能填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能安排有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法；所以总共有种填法.故答案为：15．(1)(2)【详解】（1）因为，根据正弦定理得，.因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以.（2）根据余弦定理得，，将，代入上式整理得，，又因为且，解得，，所以，所以为以AB为斜边的直角三角形，所以斜边AB上的高为.16．(1)(2)【详解】（1）由已知，解得，所以C的方程为（2）设MN：，，将直线与椭圆方程联立，整理得，经检验，根据韦达定理，因为，所以，即，所以，整理得，将韦达定理代入得，去分母后整理得，解得，17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）取PB中点，连接，分别为的中点，且，且，，且，则四边形为平行四边形，，平面平面，平面.（2）取AB中点，连接OP，OD，BD因为，所以，∵平面平面，面，为交线，平面，，为正三角形，，以为原点，分别以OB，OD，OP为，，轴建系，如图，设，则，，，，，所以，易知平面PAB的法向量可取，设平面PAE的法向量为，因为，令，可取，所以，解得，所以，，，设平面PBC的法向量为，因为，令，可得，所以.18．(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【详解】（1），①当时，，在单调递增，②当时，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）设，则，因为在上单调递增，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，当且仅当时取等，所以，即，当且仅当，时取等；（ⅱ）法一：由（1）已知，当时，在单调递增；因为，所以，由（2）可知，，，所以，因为，所以，所以，即，所以，所以法二：由（1）已知，当时，在单调递增；因为，所以；（同法一）设，，易知在上单调递增，所以当时，，即，上式整理得，即设，，所以在上单调递减，所以，即，因为，所以，所以，即，所以所以（同法一）法三：由（1）已知，当时，在单调递增；因为，所以；（同法一）设，，所以，所以在上单调递增，显然，所以，即，因为，所以，所以，即，根据基本不等式，，所以，所以，所以法四：由（1）已知，当时，在单调递增；因为，所以；（同法一）因为，所以根据基本不等式，，设，所以，整理得，设，所以，，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以为增函数，因为，所以当且仅当时，，所以，根据基本不等式，，所以，所以所以（同法三）19．(1)，(2)，(3)证明见解析【详解】（1）设事件表示第次沿水平方向移动，事件表示第次沿竖直方向移动，，，另一种计算的方法：四次移动中，两次水平移动和两次竖直移动的概率为；四次移动中，