2026年湖北新高考协作体高考数学模拟预测试卷（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则集合（

）A． B． C． D．2．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若是二项式的展开式中的一项，则为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（

）A． B． C． D．5．设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（

）A．15 B．16 C．17 D．186．已知单位向量，，满足，则（

）A． B． C． D．27．已知函数，若，，，则（

）A． B．C． D．8．正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在一组样本数据3，5，5，6，7，7，9中增加一个数据后，下列说法正确的是（

）A．若众数仅为5，则B．若平均数不变，则C．若中位数不变，则D．若极差为9，则或10．已知，，，点在圆上运动，则（

）A．点在圆内B．直线的方程为C．圆为的内切圆D．的最大值为8811．对于正整数，欧拉函数的函数值是所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，，，则（

）A．B．对任意正整数，恒有C．记，则的前项和D．从集合中随机取两个不同的数，，记事件：“”，则其概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．双曲线的离心率为_________．13．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________．14．平面直角坐标系中，若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则实数的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．16．内角，，的对边分别为，，，满足．(1)求证：；(2)当角取得最大值时，的面积为，求．17．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，，求实数的取值范围．18．近年来，女子10米气步枪作为奥运会首金项目备受关注，国家队在选拔运动员时，通常需要测试她们在不同场景下的命中率．射击爱好者小明到当地射击俱乐部选择场景A与场景B进行相关训练，制定如下规则：若在某场景下命中，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景A下命中率为，在场景B下命中率为，命中记1分，未命中记0分，且第1次在场景A下射击．(1)若小明在前3次射击中得到2分，求这2分均在场景B下获得的概率；(2)求小明第次在场景A下射击的概率；(3)求小明在次射击后总得分的期望．19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，过的直线交椭圆于，两点（在轴上方），的周长为8，为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)若线段的中点为，求点到直线的距离的最小值；(3)若线段的中点为，的重心为，和面积分别为，，求的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】解一元二次不等式求得，求定义域得，再求集合并集即可.【详解】，解得，所以，函数的定义域为，所以，所以2．A【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限.故选：A.3．B【详解】二项展开项的通项为，当时，，则．4．C【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，设抛物线方程为，焦点，焦点到顶点距离为．天线口径（直径），深度，故抛物线过点（或），将代入：，焦点到顶点距离为．5．A【分析】利用等差数列的性质和通项公式求解.【详解】因为，所以，即，即根据等差数列性质得到，，所以，即，则，即，因为，所以，即，将代入得到，因为，两边除以得到，，故选项A正确.6．B【分析】由题意可得，根据模长结合数量积运算律可得，进而可得，即可得模长.【详解】由题意可知：，因为，即，则，即，可得，则，所以.7．D【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可.【详解】因为，所以为定义在上的偶函数，因为，当时，即时，解得，所以在上递增，，由，，故.8．A【分析】由题意建立空间直角坐标系，设，求解的坐标，由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球，求解三棱锥的外接球的半径为，求解平面的法向量，再由求解即可.【详解】设正方体棱长为1，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，，因为点为中点，可得，又设，，则得，解得，即，由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球，由，，，得长方体的体对角线长为，所以三棱锥的外接球的半径为，即球心为该长方体体对角线的中点，所以，设平面的法向量为，，，由，故可取，因为，所以与平面的法向量为垂直，则，即，解得，所以.9．AB【分析】先求得原始数据的平均数，众数，中位数，极差，再结合选项依次讨论即可得答案.【详解】原始数据的平均数为，众数为5和7，中位数为6，极差为，对于A，原数据众数为5和7，若新众数仅为5，则5的个数须超过7的个数，故增加的，故正确；对于B，当增加数据后平均数不变，则增加的，故正确；对于C，原中位数为6，增加后，新中位数为8个数据中第4、5位的平均数，要使中位数仍为6，经检验只有满足条件，当增加数据后中位数不变，故，故错误；对于D，当增加数据后极差为9，故当最小时，得；当最大时，得，故或，故错误.10．BCD【分析】对于A，根据点与圆的位置关系的判定即可判断；对于B，根据点坐标求直线方程即可；对于C，判断出直线与圆的位置关系，结合圆心在内部即可判断；对于D，设，进而可得化为，结合即可判断．【详解】对于A，，则点在圆外，故A错误；对于B，直线的方程为，整理为，故B正确；对于C，直线的方程为与圆相切，直线的方程为与圆相切，直线的方程为，圆心到直线的距离，则圆与直线相切，又圆心在内，所以圆为的内切圆，故C正确；对于D，设，因为，，三点，所以，，因为点P在圆上运动，则，解得，所以，当时，取得最大值88，故D正确．11．ACD【分析】对于A，根据题设函数定义求解判断即可；对于B，取，进而验证判断即可；对于C，分析可得，进而结合等比数列的求和公式求解判断即可；对于D，由，得互质，进而列举出满足条件的情况，进而求解判断即可.【详解】对于A，不超过9的正整数中与9不互质的数为3的倍数，即3，6，9，则，故A正确；对于B，取，由于不超过25的正整数中与25不互质的数为5的倍数，即5，10，15，20，25，则，而，则，故B错误；对于C，因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为，所以，则，故C正确；对于D，由，得互质，则满足条件的有，共11种，所以，故D正确.12．【详解】双曲线，即，其中，，所以，所以.13．0【详解】由三角函数定义知，，，，，所以.14．【分析】由题意可知直线与的图象至多只有一个交点，令，求导，分情况讨论单调性求解即可.【详解】由题意可知直线与的图象至多只有一个交点，令，则，令，则，令，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在时有最小值，即，当时，，当时，，由题可得，或恒成立，①当恒成立时，即对恒成立，当时，时，，则，不满足题意；当时，g′(x)当时，要使恒成立，则ex+xe即−1e2②当恒成立时，即a(ex+x当时，时，，ah(x)→−∞，不满足题意；当时，g′(x)当时，时，h(x)→0−，则综上，当a∈[−e此时函数单调递减，至多只有一个解，满足直线与的图象至多只有一个交点，所以实数的取值范围是.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意结合勾股定理可得，，可得平面，即可证面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为，，则，即，且，，且四边形是菱形，，则，，又因为，则，即，且平面，平面，，可得平面，且平面，所以平面平面．（2）以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，，，设平面的法向量为，则，令，则，可得；设平面的法向量为，则，令，则，可得；可得，所以平面与平面夹角的余弦值为．16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）将进行切化弦，利用正弦定理和余弦定理可得结论.（2）求出为锐角，利用余弦定理结合基本不等式得到，此时最大，利用平方关系得到．利用三角形的面积公式求出的值．【详解】（1）由，可得．

由正弦定理可得．

故．

由余弦定理可得．

化简得．（2）因为角取得最大值，所以为锐角，，因为，所以，所以，所以，所以为锐角，则，

当且仅当即时取等号．

此时最大，且．

所以．

解得．17．(1)当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；(2)【分析】（1）求导，分，两种情况讨论求解即可；（2）令，求导，分，两种情况，根据函数单调性与求解即可.【详解】（1）．

当时，恒成立，故函数在单调递增；

当时，令得．故当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）令，，，F′(x)=ex令φ(x)=F而φ′(x)=ex+sin故当F′(0)=2−2k≥0，即时，F′(x)≥在恒成立；当F′(0)=2−2k<0，即时，当时，F所以，存在，使得时，，时，，所以在单调递减，在上单调递增，故由可知，时，与在恒成立矛盾；

综上，实数的取值范围是．18．(1)(2)(3)【分析】(1)根据条件概率公式求解；(2)由全概率公式求解出与的关系式，再由递推式的关系结合数列知识求出；(3)利用期望可加性求解.【详解】（1）设事件“小明在前次射击中得到分”，事件“这分均在场景B下获得”，则，．

所以．（2）设第次在场景下射击为事件，则，，，

由全概率公式可得，

即，

则，

且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，

则，所以；（3）设第轮得分期望为，则，

所以前轮期望总得分为．19．(1)(2)(3)【分析】（1）由条件，根据焦点三角形的特点，离心率的定义及的关系列方程，解方程求可得椭圆方程；（2）设直线的方程为：，联立直线和椭圆的方程，消可得，设，，由根与系数关系可求，进而表示出点到直线的距离为，令，

可得，进而求解即可；（3）设，可得，由此可得，解不等式可求的取值范围，再求出，由此可得，由函数的单调性可求的取值范围.【详解