广西玉林市九校2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试卷

广西玉林市九校2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试卷一、单选题1．复数的虚部为（）A． B． C． D．2．若直线在平面内，则符号表示正确的是（

）A． B． C． D．3．下列关于平面向量的说法正确的是（

）A．若是共线的单位向量，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（

）

A． B． C．12 D．105．已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知向量，则向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．7．已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（

）A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形8．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知为虚数单位，复数，，则（

）A．的共轭复数为 B．C．为实数 D．的虚部为-510．已知向量，，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或3 D．若，则与的夹角为11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（

）A． B．外接圆的面积为C．面积的最大值为 D．周长的最大值为三、填空题12．已知向量，则__________.13．圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的，则其体积是原来的____倍.14．已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为______.四、解答题15．平面内给定两个向量，.(1)求的坐标；(2)若，且、、三点共线，求的值.16．如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．(1)求圆柱的底面半径；(2)求三棱柱的体积．17．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.(1)求两点间的距离；(2)求大楼的高度.18．在中，内角的对边分别为，且，.(1)求的大小；(2)若，求的面积；(3)求的最大值.19．三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点P满足条件时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为．(1)求证：；(2)若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．(3)若，试判断的形状．参考答案1．C【详解】复数的虚部为.故选：C.2．A【详解】对于A：直线在平面内是两个集合间的包含关系，符号表示为，A正确；对于B：表示直线与平面平行，不符合题意，B错误；对于C：是元素与集合的"属于"符号，仅用来表示点在直线/平面内，不能表示直线与平面的位置关系，C错误；对于D：表示直线与平面相交于点，不符合题意，D错误.3．B【详解】选项A：共线单位向量可同向也可反向，反向时，A错误；选项B：相等向量的定义是方向相同、模长相等，因此若，必有，B正确；选项C：时，两向量夹角为或，夹角为时，C错误；选项D：若是零向量，零向量与任意向量平行，此时与可以不平行，D错误.4．D【详解】梯形中，，而，则梯形的高，因此梯形的面积，而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，所以原图形OABC的面积为.故选：D5．B【详解】如图，正方体中，，，平面为平面，其中，平面，显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件；若，且，根据线面垂直的性质定理，可知成立，所以“”是“”的必要条件.所以，“”是“”的必要不充分条件.6．C【详解】向量在上的投影向量为.7．B【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，由，即的角平分线与边垂直，所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.故选：B8．C【详解】因为，，，由余弦定理得：，所以.因为，所以，又因为，所以为正三角形.则当为线段的中点时，，即取最小值，此时；又因为，，三点共线，所以，由平面向量基本定理，得，解得.9．BD【详解】因为的共轭复数为，所以A错误；因为，，所以B正确；因为，所以C错误；因为，所以虚部为，所以D正确.10．BCD【详解】A：若，则，解得，故A错误；

B：若，则，解得，故B正确；

C：，令，解得或，故C正确；D：若，，，则，因为，所以，故D正确.11．BC【详解】因为，由正弦定理得，因为，所以，则，即，故A错误；由正弦定理得外接圆的半径为，即，所以外接圆的面积为，故B正确；由余弦定理得，即，则，当且仅当时，等号成立，所以三角形的面积为：，故C正确；由，得，则，当且仅当时，等号成立，所以三角形的周长为，故D错误，故选：BC12．【详解】因为，则.故答案为：.13．2【详解】设圆锥的底面半径以及高分别为，则变化之后的半径和高分别为，则原来的体积为，变化后的体积为,故,故答案为：214．【详解】

因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直三棱锥中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面与面最大即可，而且；，当时，取得最大值.过点向平面作垂线，设的中点为垂足为，

因为，，所以由余弦定理知，所以，易得.所以.因为，设内切球的半径为，则根据等体积法，有：，即，解之得，所以其内切球的表面积为故答案为：15．(1)，(2)【详解】（1）因为，，所以，.（2）由题意可得，，，又、、三点共线，则可得，即，解得.16．(1)2；(2)【详解】（1）设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得，所以圆柱的底面半径为2.（2）由（1）知，正外接圆半径为2，则边长，所以三棱柱的体积.17．(1)(2)【详解】（1）因为，在中，由正弦定理得，即，所以m，即AC两点的距离为m；（2）在中，因为，，所以，又，所以m，即大楼的高度为m.18．(1)(2)(3)【详解】（1）由正弦定理得：，又，，即，又，，，又，.（2）由余弦定理得：，解得：，.（3）由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），，又，；，令，，则在上单调递增，，即，的最大值为.19．(1)证明见解析；(2)存在，；(3)正三角形.【详解】（1）依题意，，所以.（2）存在实数使等式成立．理由如下：由