北京市顺义区第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市顺义区第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知点A1,−2,B2,3，则向量AB=A.32,12 B.1,5 C.2.在复平面内，复数z=(3+4i)i对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在直角△ABC中，斜边AC=3，直角边BC=1.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为(

)A.22π3 B.424.已知向量a=2,−1,b=−1,3A.0,2 B.−1,3 C.2,23 5.已知两条不同直线l,m与两个不同平面α,β，下列命题正确的是(

)A.若l⊥α，l//β，则α⊥β B.若l//α,l⊥m，则m⊥α

C.若l//α,m//α，则l//m D.若α//β,m//α，则m//β6.在△ABC中，bcosB=csinC，则A.π6 B.π4 C.π37.庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡(如图①)(如图②)，若四边形ABCD是矩形，AB//EF，且AB=CD=2EF=2BC=8，EA=ED=FB=FC=3，则五面体FE−ABCD的表面积为(

)

A.64 B.32+325 C.32+88.设a,b为两个非零向量，则“a⋅b>0”是“存在正数λ，使得A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，平面DEC1A.直线A1F与直线C1E异面 B.平面AB1D1//平面DEC110.在Rt△ABC中，∠A=90∘,AB=2,AC=4，D为BC的中点，点P在▵ABC斜边BC的中线AD上，则PB⋅A.−5,0 B.−3,0 C.0,3 D.0,5二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.已知z1+i=i，则z=

12.如图，▵O′A′B′是水平放置的▵OAB的直观图，且O′A′=2,O′B′=3，则▵OAB的周长为

13.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为

．14.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45∘15.乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列命题：

①OB②OA③OA在OB上的投影向量为④若点P为正八边形边上的一个动点，则AP⋅AB的最大值为其中正确命题的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知a=2,b(1)a(2)2(3)2a+b与b的夹角17.如图，已知正方体ABCD−A1B1

(1)证明：B1C//平面(2)证明：BD⊥A(3)求三棱锥B−A118.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，a=3，b=26(1)求cosA(2)求c边及▵ABC的面积．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=a，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD．

(1)证明：平面PBD⊥平面PAC；(2)设平面PBC∩平面PAD于直线l，证明：BC//l；(3)若PE=12ED在线段BC上是否存在点F，使得EF//平面PAB，若存在点F，则a为何值时，直线EF与底面ABCD20.已知在▵ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，asin(1)求A的大小;(2)若c=8，判断下列三个条件是否能使▵ABC存在且唯一，并对满足条件的求出▵ABC的周长．①AB边上的高线CD长为3，②a=8注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分21.如图，设A是由n×nn≥2个实数组成的n行n列的数表，其中aij表示位于第i行第j列的实数，且aij∈−1,1i=1,2,⋯,n;j=1,2,⋯,n.

记向量Xi=an1,ai2,⋯,ain,Xj(1)直接判断A1=1−11(2)当n=6时，设X1=1,1,1,1,1,1,

且X2与X1为正交向量，X3(3)求证：对任意k∈N∗，当n=4k+2时，A不是正交数表．参考答案1.B

2.B

3.A

4.CD

5.A

6.B

7.D

8.B

9.C

10.A

11.−1−i

12.12

13.3

14.2

；4515.②③④

16.解：(1)由a=2,b=5,(2)由2a(3)由2a+b∴cos17.解：(1)

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AB1交连接OE，则OE//CB1，且CB1⊄平面A所以B1C//平面(2)因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，则所以AA1⊥BD，又BD⊥AC，AC∩AA1所以BD⊥平面ACA1，又A1C⊂平面(3)V18.(1)因为

a=3,b=26

，

∠B=2∠A所以在

▵ABC

中，由正弦定理得

3sinA所以

2sinA故

cosA=(2)方法一：由(1)知

cosA=63

，所以所以

sinA=又因为

∠B=2∠A

，所以

cosB=cos2A=2cos2A−1=所以

sinB=在

▵ABC

中，

sinC=sin所以

c=asinCsinA=5方法二：由余弦定理

a2=9=24+c2−2⋅26⋅c⋅63

当

c=3

时

cosB=a2+∵

B=2A

，∴

cosB=2cos2A−1=∴

c=3

舍，∴

c=5

，∵

cosA=63

，∴

0<A<π2S▵ABC=19.解：(1)因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，则PA⊥BD，又因为底面ABCD为正方形，则AC⊥BD，且PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC，可得BD⊥平面PAC，又因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．(2)在正方形ABCD中，则BC//AD，且BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，可知BC//平面PAD，且BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，所以BC//l．(3)存在点F在BC的13处，使得EF//平面PAB在线段PA上取点K，使PKPA=13，连接KE，在▵PAD中，PE=12则KE//AD，且KE=1在正方形ABCD中，F在BC的13处，则BF//AD，且BF=可得BF//KE，且BF=KE，可知BFEK为平行四边形，则EF//BK，且BK⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF//平面PAB，在AD的13处取点M，连接EM,FM▵PAD中，点E，M分别为PA,AD的13处，则PA//EM，且EM因为PA⊥平面ABCD，则EM⊥平面ABCD，即EF在平面ABCD上的射影MF，可知∠EFM即为EF与底面ABCD所成角，

在Rt▵EMF中，FM=2，

若∠EFM=45∘，EM=2，所以20.解：(1)已知在▵ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，asin根据正弦定理可得sinA在▵ABC中0<B<π，可知sinB>0则sinA=3又0<A<π，所以A=π(2)选择条件①，AB边上的高线CD长为3由(1)知A=π3，则由余弦定理得a=所以▵ABC存在且唯一，其周长为a+b+c=10+2选择条件②，a=8由(1)知A=π3，由余弦定理知a2整理得b2−8b−128=0，而b>0，解得所以▵ABC存在且唯一，其周长为a+b+c=24+8选择条件③，sinC=由(1)知A=π3，由正弦定理得因为csinA=8sin所以▵ABC存在两解，不符合要求．21.解：(1)对于A1=1则X1⋅X对于A2=1则X1不满足正交向量的定义，因此A2综上，A1是正交数表，A(2)设X2=a由X2与X1为正交向量，X3与Xb1+b2+故不妨设a1=a则X2即X2⋅X3≠0(3)因为k∈N∗，因此n=4k+2的最小值为所以我们可以从数表A中选出三个不同的行向量，不妨设为X1假设A是正交数表，则有X1⋅X2=0可得如下变换成立，变换1：交换正交数表A的任意两行，所得的新数表A′仍是正交数表；变换2：交换正交数表A的任意两列，所得的新数表A′仍是正交数表；变换3：将正交数表A的任意一列实数都变成其相反数，所得的新数表A′仍是正交数表；因此我们将第一行的所有元素都变成1，即假设X1由X1⋅X2=0，在X2中，1和−1的数量相等，即有同样的，在X3中也有n2个1和由X2第一种：a2j=a3j=1，设数量为a第三种：