河北省沧州市沧衡八县联考2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试卷（含答案）

河北沧州市沧衡八县联考2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题一、单选题1．复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．2．已知向量，若，则（

）A． B． C． D．23．下列说法正确的是（

）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体4．在中，若，则（

）A． B． C． D．5．若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（

）A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，不一定在平面内C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，且在平面内6．如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（

）A． B． C． D．7．已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为（

）A． B．或C．或 D．二、多选题9．在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（

）A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为C．圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D．圆台的外接球的表面积为11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（

）A．B．若，则b的最大值为C．若的面积为，则a的最小值为2D．若，，，，则动点D的轨迹长度为三、填空题12．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______．13．在正方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．14．已知向量，满足，且在上的投影向量为，与的夹角为，则的最大值为______．四、解答题15．已知复数．(1)若复数z在复平面内对应点，求实数m的值；(2)若复数，求m的值．16．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点．(1)证明：平面PAC；(2)证明：平面平面PBC．17．如图，在中，，，，．(1)用，表示；(2)若，，求．18．如图，在中，，D为边AC上一点，且，．(1)若．（ⅰ）求；（ⅱ）求的面积；(2)若，求的取值范围．19．如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)若与平面所成角的正弦值为，求的值．参考答案1．B【详解】因为，所以，则，其虚部为2．2．C【详解】，又，，解得．3．D【详解】对于A，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥，A错误；对于B，长方体是底面为矩形，且侧棱与底面垂直的四棱柱，B错误；对于C，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还需各侧棱延长后相交于一点，C错误；对于D，如果一个棱柱的所有面都是正方形，说明上、下底面是正方形的四棱柱，各侧面都是正方形，则有各侧棱都垂直于底面，且所有棱长都相等，所以这个棱柱是正方体，D正确．4．A【详解】由正弦定理，，不妨设，，，则由余弦定理，，因为，所以．5．C【详解】设，因为，在平面内，过点P作，垂足为A，由面面垂直的性质定理可知，，假设过点P有两条直线都与平面垂直，根据线面垂直的性质，这两条直线平行，又因为都过点P，所以这两直线重合，因此，过点P且与平面垂直的直线只有一条，且在平面内，6．A【详解】过点作C'D⊥O'A'于点D，故，因为∠C'O'D=45°，所以C'D=O'D=2，，同理过点作于点E，可得，所以B'C'

7．D【详解】因为是在同一平面内的三个单位向量，且，所以，设与的夹角为，与的夹角为，又因为，，所以且，即与和的夹角均为锐角，又因为，若把，，平移到同一起点，则在和之间，如图所示，其中，，OC=e3，则有，则+2e1⋅因为即，所以，则，则，即．8．B【详解】设正四棱锥外接球的半径为，则有，所以.因为为点P在平面ABCD上的投影，则有平面.因为是正四棱锥，则点O一定在直线上.如图1所示，连接OA，因为，所以.设，则AO'=8-则.当且仅当，即时等号成立，即，．当点O在正四棱锥的内部时，即点O在线段上时，正四棱锥的高为PO'则正四棱锥的体积.当点O在正四棱锥的外部时，如图2所示，即点O在线段的延长线上时，正四棱锥的高为PO'则正四棱锥的体积．9．ABD【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，3sin30°=2sinB可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角对于D，由余弦定理得，，故仅有一解，即D正确．10．ABD【详解】如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为，由题意可知：设上底面半径为，下底面半径为，母线为，，则，对于A选项，圆台的表面积，所以A正确；对于B选项，设圆台的高为，由图可知，，则圆台的体积，所以B正确；对于C选项，圆台侧面展开图所在扇形的圆心角θ=2πr2对于D选项，圆台的外接球的球心O一定在上，如图所示，连接OA，OD，则，则OO2=22-x，设外接球半径为R，即，所以解得，所以外接球的表面积S1=411．BCD【详解】对A，因为，所以sinC则，则sinC因为，所以，即，因为，所以，故A错误；对B，因为，，由正弦定理得：，即bsinB=当时，b取最大值，且最大值为，所以B正确；对C，若的面积为，则有，即，因为a2所以，当且仅当时等号成立，所以a的最小值为2，所以C正确；对D，因为，，即，，则AD=μ则点D在角A的内角平分线所在直线上．当时，3μ+2μ=1，则D，B，C三点共线，设AD与边BC的交点为E，则当时，点D的轨迹就是的角A的角平分线AE．则，根据，12，则，所以D正确．12．【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为，因为复数的实部与虚部之积小于0，可得，解得，所以实数x的取值范围为．13．【详解】如图，因为，所以点M在棱AB上，且，由得，点N为棱BC的中点，在棱CD上取一点P，使得，连接，PN，则C1P∥B1M，所以∠P设正方体棱长为6，则，，所以C1P=6C1N=6所以cos∠PC1N=52+45-252×213

14．/【详解】在上的投影向量为，即，所以，因为，所以，设，的夹角为，则，又因为，所以．如图，设，，，则，，由已知可得，，，．连接AB，则，又因为，在中，由正弦定理得：，即，所以的外接圆的半径为2，设圆为的外接圆，点C为优弧上任意一点，则，取AB的中点M，则，求的最大值，即求的最大值，当C，，M三点共线时，即点C在优弧的中点时，最大，又因为是边长为2的正三角形，所以，即的最大值为，所以的最大值为：．15．(1)(2)【详解】（1）若复数z在复平面内对应点，则有，解得；（2）设复数，若为负实数，则有，则有且，即为纯虚数．因复数，则复数z为纯虚数，即，解得．16．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点，又因为点D为BC的中点，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC；（2）因为点C在底面圆周上，所以，又因为点D为BC的中点，所以，因为AB为底面直径，所以，又因为，所以，而，PD，平面POD，所以平面POD，因为平面PBC，所以平面平面PBC．17．(1)(2)【详解】（1）因为，所以.所以．因为，所以为线段的中点.所以；（2）因为，，所以．，所以．所以a2所以①，因为a2+3a所以①．18．(1)（i）；（ⅱ）(2)【详解】（1）（ⅰ）在中，，，，由余弦定理得：DC2=1+3-2×1×所以是等腰三角形，即．所以∠BDC=π-π（ⅱ）∠BAC=π-2π3所以S△ABD（2）因为，即12AB⋅BD12设，则，则ABBC=sin所以ADCD又因为1tanα=所以233<又因为AD2+CD2所以AD2+CD2AD⋅CD=t+所以AD19．(1)证明见解析(2)(3)或【详解】（1）连接，，，因为是长方体，M，N分别为棱，的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为，，所以，，MC1则有MC12同理，MC1⊥DM，并且，BM，平面BDM所以平面BDM，又因为AN∥MC1，所以平面BDM；

（2）分别取BM，的中点为E，F，连接MF，则有MF=BF=2，所以，又因为是边长为的正三角形，则有，则即为二面角的平面角，且DE=22×32=由余弦定理，c