高考数学 二项分布与正态分布 高考真题

11.3二项分布与正态分布

考点一条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式

1.(2021新高考/,8,5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1

个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件

“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

答案B依题意，有放回地随机取两次，共有36种不同结

果：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3)

,(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,I),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(

6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).

其中P(甲)4=Q(乙)4=：，夕(丙)=，。(丁)4=P

3boSbo3booo

丁事件包含(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6个基本事件.

丙事件包含(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共5个基本事件.

易知''甲、丙同时发生”的基本事件为。个，“丙、丁同时发生”的基本事件为0个，“乙、丙同时发生”

的基本事件为(6,2),共1个,

・・・P(乙丙)$又P(乙)(丙)=；x盘,白，乙、丙不相互独立.

306Jo30

同理可知“甲、丁同时发生”的基本事件为(1,6),(甲丁)=白又P(甲)/(丁)=±・"(甲

丁)=p(甲)・尸(丁)，

，甲与丁相互独立，故选B.

2.(2022全国乙理，10,5分，应用性)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知

该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为四,后,小，且〃3＞户＞0＞0.记该棋手连胜两盘的概率为则

()

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大

C该棋手在第••盘与乙比赛,p最大

D.该棋手在第二盘与两比赛,p最大

答案D棋手与甲、乙、丙比赛顺序有以下Ag=6种情况：

①比赛顺序为甲、乙、丙时,P=P\P1(I孙-2"l〃孙：

②比赛顺序为甲、丙、乙时，产P1P3(I-P2)+(1-〃I)P3P2=〃1P3+P2P3-2PIP2P3；

③比赛顺序为乙、甲、丙时，尸(l-p3)+(l-〃2)pip3=mp2+〃ip3-2pi〃2p3；

④比赛顺序为乙、丙、甲时,尸/)甲式1廿)+(1-〃2)•〃3〃1=〃2〃3+〃1〃32)1〃第3；

⑤比赛顺序为丙、甲、乙时，尸〃3PI(1/2)+(1-〃3)・〃1〃2=〃1〃3+/”22)1〃苧3；

⑥比赛顺序为丙、乙、甲时,尸p3P2(1-pi)+(1-p3)pipI=p2p^+pipi-2pipipy.

易得情况①与⑥，②与④,③与⑤的概率分别相等，又•,•pi"2<pip3,P孙•••②与④的概率最

大,即棋手在第二盘与丙比赛,p最大，故选D.

一题多解:设棋手在第二盘与日比赛连胜两盘的概率为在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为〃乙,在第二

盘与内比赛连胜两盘的概率为〃乩由题意得,〃产pi72(1-/)3)+〃3(1-〃2)]=P3+pip3-2pl/)冲,p乙

-Pl[pi(I-P3)+P式10)]=pi/)2+p2/)3-2pi〃2〃3,〃闻=〃3(I-/>2)+/)2(1-/?l)]=〃1〃3+〃乎3-2〃1〃2/)3.由得p、"

•pV=pip^p\pi=p2(/>J-pi)>0,〃内p乙=0〃3-〃1〃2=〃1(〃3-〃2)>0,.最大.故选D.

3.(2015课标I理,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中

的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()

A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312

答案A该同学通过测试的概率P=四xO.62xO.4+0.6=0.432+0.216=0.648,故选A.

4.(201-1课标D理,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天

为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()

A.0.8B.0.75

C.0.6D.0.45

答案A由条件概率可得所求概率为黑=0.8,故选A.

VJ./O

5.(2015广东理，13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n.p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.

答案I

解析因为X、B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=1.

6.(2020课标/理，19,12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场

比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另

一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，内轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为:.

(I)求甲连胜四场的概率;

(2)求需要进行第五场比赛的概率;

(3)求丙最终获胜的概率.

解析⑴甲连胜四场的概率为高

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束,共有三种情况：

甲连胜四场的概率为白；

16

乙连胜四场的概率为白；

16

丙上场后连胜三场的概率为

所以需要进行第五场比赛的概率为

loloo4

(3)丙最终获胜,有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为:：

比赛五场结束H丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙佐胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜，

胜负空胜,负空胜胜,概率分别为白3A

因此丙最终获胜的概率为；+5+:+[=△

o16oo16

7.(2022新高考/,20,12分，应用性)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生

习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未

患该疾病的人群中随机调查了10()人(称为对照组)，得到如下数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

⑵从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选到的人患有该疾

病”，㈱与霜的比值是更生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

⑴证明小端•犒

(ii)利用该调查数据,给出PU|/?),P(4|亘)的估计值,并利用⑴的结果给出R的估计值.

n(ad-bc')2

附：心=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解析⑴由题中数据可知心喘徵蒜224>6.635,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该

疾病群体的卫生习惯有差异.

⑵⑴证明:因为椅翳=符虢.曙.繇=端黯,

日P(川8)P(川初_P(/18)P(B)崎万)P(万)_P{AB)P(Ag)

JiP(X|B)P{A\B)-P(B)P(AB)P(B)P(西-P(AB)P(AB)*

所以代迪.也亘

以"P(A\B2)P(A\BV

(ii)由题表中数据可知P>⑻啜=IPS面脸=可P0B)啜=「⑷初啜=2

z

-

所

以1-

£?■

8.(2016山东理,19,12分)甲、乙两人组成"星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一

轮活动中，如果两人都猜对，则"星队”得3分;如果只有一人猜花，则"星队"得1分;如果两人都没猜对,

则"星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是7,乙每轮猜对的概率是1；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,

各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求:

(D"星队"至少猜对3个成话的概率;

(2)“星队"两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.

解析⑴记事件A:"甲第T仑猜对"，记事件B:"乙第T仑猜在"，记事件C:"甲第二轮猜对"，记事件

D:"乙第二轮猜对"，记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.

由题意,E=ABCD-加CD+A万CD+AB而十ABC万,

由事件的独立性与互斥性，得

P(E)=P(ABCD)+PUBCD)+P(AFCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)P(0P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)•P(B)P(0P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)•P5)

323212323132

=Z4W3433+2xlix5xJx

2

一

3’

2

所以"星队"至少猜对3个成语的概率为生

•J

⑵由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性，得

/、11111

B(X=0)7x-xr-=—

1105

P(X=,)=2XUX5X5X3+5X3X5X3/144-72

…小313131121231121225

r(X=2)=_X-X—X—+—X—X-X—4—X—X—X—4—x-x-x—=-----,

4343434343434343144'

32111132121

P(X=3)-x-x-x-+-x-x-x-=---=一,

4343434314412,

32313212\605

(4xrjx3+r5X4X37144-12,

…小3232361

P(X=6)=-x-x-x-==-.

43431444

可得随机变量X的分布列为

X012346

1525151

p

1447214412124

所以数学期望EX=0x方11x5^2x2言4+3x1高+4xS^+6x1；=2等?.

14472144121246

评析本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望,确定随机变量可能的取值

是解题的关键.属于中档题.

9.（2015湖南理,18,12分）某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是

从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球

中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球，则不获奖.

（U求顾客抽奖1次能获奖的概率；

⑵若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.

解析（1）记事件％=（从甲箱口摸出的1个球是红球｝,

儿=｛从乙箱中摸出的1个球是红球;，

B尸1顾客抽奖1次获一等奖L

BLI顾客抽奖1次获二等奖｝,

C=｛顾客抽奖1次能获奖｝.

+

由题意,Ai与A?相互独立,A4与4〃％互斥,Bi与互斥,且B产AA」,Bi-Ai/12i41Aj,C=Bi+B>

4251

因为P(A)研,P(A2)W，

211

所以P(Bi)=P(AIA2)=P(A,)P(A2)="X-="

P(B)=P(AJ2+^41A2)=P⑶彳2)+P(彳1A?)

=P(At)PU2)+PU1)P(A2)

=P(AI)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)

2-纲T)另

117

故所求概率为P(O=P出+Bj=P(B.)+P.

O4AV

⑵顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知.顾客抽奖1次获一等奖的概率为也所以X'B(3,i).

于是P(X=°Y©(护哉

PgF©©嘿,

Pg呜I护挑

P(x”呜©七

故X的分布列为

X0123

6448121

125125125125

X的数学期望为E(X)=3x土i3

10.(2014辽宁理,18,12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图,

如图所示.

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.

⑴求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;

⑵用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数.求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).

解析(1)设A表示事件"日销售量不低于100个"，

A：表示事件"日销售量低于5。个"，

B表示事件"在未来连续3天里有连续2天日销售量不彳氐于100个且另一天销售量彳氐于50个".因此

P(Ai)=(0.006+0.004+0.002)x50=0.6,

P(Az)=0.003x50=0.15,

P(B)=0.6x0,6x0.15x2=0.108.

(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为

B(X=0)=C§•(1-0.6))=0.064,

P(X=l)=Cj•0.6(1-0.6尸=0.288,

P(X=2)=C：•0.62(1-0.6)=0.432,

P(X=3)=0•0.6；i=0.216.

分布列为

X0123

P0.0640.2880.4320.216

因为X~B(3,0.6),所以期望E00=3x0.6=1.8,方差D(X)=3xO.6x(1-0.6)=0.72.

11.(2014安徽理,17,12分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现

21

连胜,则判定获胜局数多者嬴得比赛.假设每局甲获胜的概率为字乙获胜的概率为市各局比赛结果相互独

立.

(1)求甲在4局以内(含4局)嬴得比赛的概率；

⑵记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).

解析用A表示"甲在4局以内(含4励赢得比赛”，A.表示"第k局甲获胜"，Bh表示"第k局乙获胜"，

21

则PlAOqPOnqk=l,2,3,4,5.

(DP(A)=P(A.A2)+P(B,A2A.)+P(ABAA,)

=P(At)P(A>)+P(B,)P(AJP(AJ+P(AJ・P(BJP(AjP(A,)

/2\21/2\221/2\256

七)室0+3X3Xk3/一记

所以甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为当

(2)X的可能取值为2,3,4,5.

P(X=2)=P(AA)+P(BBJ

=P(Al)P(Ai)+P(B.)P(B,)=1,

P(X=3)=P(BAA)+P(ABBJ

2

=P(BJP(A?)P(A”P(A.)P(BJPB)节

P(X=4)=P(AB：AA)+P(BABB)

=P(A.)P(BJP(AJP(A.)+P(B.)P：AJP(B.OP(B.)

ol

o

P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=—.

ol

故X的分布列为

X2345

52108

P

998181

52108224

EX=2x-+3XT4x—F5X一h——.

99818181

评析本题考查了独立事件同时发生,互斥事件至少有一个发生、分布列、均值等概率知识;考查应用意识、

运算求解能力；准确理解题意是解题的关键；准确运算求解是得分的关键.

12.(2014山东理,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A,B,乙

被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落

点在C上记3分，在D上记1分其他情况记0分.对落点在八上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率

为g,在D上的概率为;;对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为右在D上的概率为|.假设共有

两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求：

(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率：

⑵两次回球结束后,小明得分之和£的分布列与数学期望.

解析⑴记A,为事件"小明对落点在A上的来球回球的得分为i分"(i=0,1,3),

贝!IP(A*,P(Aj],P(A°)=11-拒；

/JZoo

记B为事件"小明对落点在B上的来球回球的得分为i分"3),

13131

则P(B)=(P(BJ7,P(B)二17《7・

记D为事件"小明两次回球白潴点中恰有1次的落点在乙上”.

由题意,【AAIBO+ABI+AIBI+AOBJ,

由事件的独立性和互斥性，

P(D)=P(AB,+AR+AoBt+A«BJ

=P(A,Bo)十P(A,B0)+P(A瓜)+P(AoRj)

=P(AJ)P(BO)+P(A>)P(BO)+P(AO)P(B,)+P(AO)P(BJ

111113113

=-XX-+-X一〜X一=一,

2535656510'

3

所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为热.

(2)由题意,随机变量£可能的取值为0,1,2,3,4,6,

由事件的独立性和巨斥件.得

PROE.gJx器，

oaoU

P(E=D=P(A1B0+A0B1)=P(A^u)+P(AoB!)=1xi+ix1=i,

35656

131

P(^=2)=P(A.BI)=-x-=-

，、/、/、11112

P(£=3)=P(AB)+AoB、)=P(A.K)=TX-+-X-=—,

L55615

P(£=4)=P(AB+ABJ=P(AB)+P(AB)=；x|+gx［二技,

P&=6)=P(AB)=|X|=-^-.

可得随机变量a的分布列为：

5012346

1112111

p

3065153010

所以数学期望E^0x-Ul也看34+4碟+6哈嗡

13.(2014大纲全国理.20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、

0.5、0.4,各人是否需使用设皆相互独立.

⑴求同一工作日至少3人需使用设备的概率;

(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.

解析记A.表示事件:同一工作日乙、丙中怡有i人需使用设备,i=0,1,2,

B表示事件:甲需使用设备，

C表示事件:丁需使用设备，

D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.

(1)D=A,・B・C+A..・B+A2•万•匚,

P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A,)=Qx0.5；i=0,1,2,(3分)

所以P(D)=P(Ai・B・C+A2•B+A?・万♦(：)

=P(At•B•C)+P(A2・B)+P(M・万・C)

=P(Ai)P(B)P(C)+P(A.)P(B)+P(AJP(B)P(0

=0.3L(6分)

(2)X的可能取值为0.1.2,3.4.则

P(X=0)=P(F•Ao-C)

=P(F)P(A„)P(C)

=(1-0.6)x0.52x(l-0.4)

=0.06,

P(X=1)=P(B・Ao・2+豆・A。・C-B•AI•C)

-P(B)PGUP(C)+p(B)P(Ao)P(C)+P(B)P(A,)P(C)

=0.6x0.52X(1-0.4)+(l-0.6)xQ.52x0.4+(l-0.6)x2x0.5&(1-0.4)=0.25,

2

P(X=4)=P(Aj・B・C)=P(A2)P(B)P(C)=O.5X0.6X0.4=0.06,

P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,

P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)

=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)

数学期望EX-0*P(X-0)+1xp(X-1)+2xP(X-2)+3xP(X-3)+4xP(X-4)-0.25+2x0.38+3x0.25+4x0.06-2.(12

分)

14.(2013陕西理,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投

票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是I号歌手的歌迷，他必选1

号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爰,因此在1至5号中随机

选3名歌手.

⑴求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.

解析(1)设A表示事件"观众甲选中3号歌手"，B表示事件"观众乙选中3号歌手”

则P(A)亮,P⑻髻.

C335

•.事件A与B相互独立，

「•观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为

P(AB)=P(A)•P(B)=P(A)•[l-P(B)]

⑵设C表示事件"观众丙选口3号歌手”，

则P©需

•••X可能的取值为0.1.2.3.日取汶些值的概，率分别为

1224

P(X=0)=P(而C)=-x-x-=—

P(X=1)=P(ABC)+P(HBC)+P(7FC)

22213212320

=-x—x—+-x-x—+-x-x-=—.

35535535575

P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+PUBC)

23222313333

=—x-X—+-X-x—+—x-x—=—

35535535575)

2QOIO

P(X=3)=P(ABC)5xH嘿

••.X的分布列为

X0123

4203318

P

75757575

的数学期望EX=0x^HX薨+2x1|+3x1814028

/。/J/o75--75~-15'

15.(2013大纲全国理,20,15分)甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛.其中两人比赛,另一人当裁判，每局比赛

结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为2,各局比赛的结果相互独立，第1局不当

裁判.

⑴求第4局甲当裁判的概率;

⑵用x表示前4局中乙当裁判的次数,求X的分布列和数学期望.

解析(D记Ai表示事件"第2局结果为甲胜"，

A,表示事件"第3局结果为甲负"，

A表示事件"第4局甲当裁判”.

则A=Ai•A2.

则P(A)=P(A.•A,)=P(A,)P(A,)4.

(2)X的可能取值为0.1.2.

记八表示事件"第3局乙和因比赛时，结果为乙胜丙"，

B：表示事件"第1局结果为乙拄丙"，

表示事件"第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲"，

B,表示事件"第3局乙参加比赛时，结果为乙负".

则P(X=0)=P(B.•R•A：,)=P(B1P(B-,)P(Ajq,

o

P(X=2)=P(瓦•贝!JP(X=l)=l-P(X=0)-P(X=2)=1444.

14848

.•.X的分布列为

X012

151

P

884

1519

/.E(X)=0x-+lx-+2x-=-

8848

16.(2013福建理,16,13分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率

为|,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为|,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机

会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.

(D若小明选择方案甲抽奖,4位选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求XW3的概率；

(2)若小明、小红两人都选择万案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学

期望较大？

22

解析解法一：(1)由已知得,小明中奖的概率为个小红中奖的概率为E，且两人中奖与否互不影响.

记"这2人的累计得分XW3”的事件为A,

则事件A的对立事件为"X=5”,

2241111

因为P(X=5)=rx-=-所以P(A)=1P(X=5)=w，即这2人的累计得分XW3的概率为

(2)设小明、小红都选择方案庠抽奖中奖次数为X”都选择方案乙抽奖中奖次数为X、则这两人选择方案甲抽

奖累计得分的数学期望为E(2工)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3XJ.

由已知可得,XJB(2,|),XJB(2,|),

2424

E(XJ=2x-=-»E(X2)=2x-=-,

o12

从而E(2X,)=2E(X,)=",E(3X)=3E(X)=—.

J22J

因为E(2XJ〉E(3XJ,

所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

22

解法二：(1)由已知得,小明中奖的概率为于小红中奖的概率为1巨两人中奖与否互不影响.

记"这2人的累计得分XW3”的事件为A,则事件A包含有"X=0""X=2""X=3"三个两两互斥的事件.

因为P(X=O)=(1号>(1_编,P(X=2)争(1-翡,P(x=3)=(l-§x/,所以

P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)七，

JL0

即这2人的累计得分XW3的概率为白

AO

⑵设小明、小红都选择方案曰所获得的累计得分为X.,都选择方案乙所获得的累计得分为X.,则X„X.的分

布列如下：

X,024

144

P

999

Xz036

9124

P

252525

1448912412

所以£区)=0、3+2、^4、*・E(Xj=0x^3x^+6x^.因为E(Xj>E(Xj,所以他们都选择方案甲进行抽

奖时,累计得分的数学期望较大.

评析本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算

求解能力、应用意识.

17.(2。13辽宁理，19,12分)现有I。道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答

(D求张同学至少取到1道乙类题的概率：

(2)已知所取的：3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是壬答对每道乙类题

4

的概率都是于且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.

解析⑴设事件A="张同学所取的3道题至少有1道乙类题"，则有彳一张同学所取的3道题都是甲类题”.

因为P(彳)=孕=；,所以P(A)=l-P(4)4(6分)

Cio66

(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.

M•(I)''(I)'・2(沪(I)2•逐32)Y©•(于2(沪(I),.品;

po(i).i)r喂.

所以X的分布列为

X0123

4285736

P

125125125125

(：0分)

所以E(X)=0x//lx我+2x^3x黑=2.(12分)

18.(2013山东理,19,12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即纭束.

除第五局甲队获胜的概率是夕卜,其余每局比赛甲队获胜的概率都是|.假设各局比赛结果相互独立.

⑴分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率：

⑵若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得

1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.

解析(D记"甲队以3：0胜利"为事件"甲队以3：1胜利"为事件A”“甲队以3：2胜利"为事件

Ai>

由题意,各局比赛结果相互独立，

故P(A)=◎吟,

PMC*)"一沪w

84

所以,甲队以3:0胜利、以3:1胜利的概率都为云,以3:2胜利的概率为五.

⑵设"乙队以3:2胜利”为事件A.,

由题意.各局比赛结果相互独立，所以

(一沪(沪㈠)*

由题意.随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.

根据事件的互斥性得

P(X=0)=P(A,+A,)=P(AJ+Pa)嗡.