教学材料《静力学》-第10章

10.1梁变形的概念平面弯曲时，梁的轴线在外力作用下变成一条连续、光滑的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线。在工程中，只允许梁发生弹性变形，所以，挠曲线又称为弹性曲线。为了表示梁的变形情况，建立坐标系Oxy，如图10-1所示以梁左端为原点，二轴沿梁的轴线方向，向右为正。在梁的纵向对称平面内取与二相垂直的轴为y轴，向上为正。下一页返回10.1梁变形的概念梁的基本变形用挠度和转角两个基本量来表示。

1.挠度梁轴线上的点C(即横截面的形心)，其在垂直于梁轴线方向上的线位移CC‘称为该截面的挠度，用y表示。由于变形是微小的，所以，C点的水平位移可以忽略不计。一般情况下，不同截面的挠度是不相同的，因此可以把截面的挠度y表示为截面形心位置二的函数Y=f(x)上式称为梁的挠曲线方程。挠度与y轴正方向一致时为正，反之为负。下一页返回上一页10.1梁变形的概念

2.转角梁横截面绕其中性轴相对于变形前的位置转动的角位移称为该截面的转角，用B表示，由图10-1可见，过挠曲线上任一点作切线，它与二轴的夹角就等于C,点所在截面的转角B。转角的正负号规定为:逆时牛一转动为正;顺时牛一转动为负。3.挠度与转角之间的关系由微分学可知，过挠曲线任一点的切线与二轴的夹角的正切就是挠曲线在该点的斜率，即下一页返回上一页10.1梁变形的概念由于微小变形，

角很小，有上式表明，任意横截面的转角等于挠曲线在该截面形心处的斜率。显然，只要知道了挠曲线方程，就可以确定梁上任一横截面的挠度和转角。4.挠曲线的微分方程在第9章中，曾导出纯弯曲时弯矩与中性层曲率间的关系式:下一页返回上一页10.1梁变形的概念式中，M为横截面的弯矩为挠曲线的曲率半径;EI为梁的抗弯刚度。在横力弯曲的情况下，通常梁的跨度远大于截面的高度，剪力对梁的变形影响很小，可以略去不计，因而式(1)仍可适用;只是梁的各截面的弯矩和曲率都随截面的位置改变，即它们都是二的函数，故式(1)可写为下一页返回上一页10.1梁变形的概念设沿x方向相距为dx的两横截面间的相对转角为，并设这两横截面间的挠曲线弧长为ds,ds两端法线的交点为曲率中心，曲率半径P也随之确定了。如图10-2所示，在顶角为

的曲边三角形中，显然有由于是小变形，

很微小，有，因此有下一页返回上一页10.1梁变形的概念得把式(3)代入式(2)，得到挠曲线近似微分方程式式中，M(x)为梁的弯矩方程。式(10-2)是研究弯曲变形的基本方程。欲求解梁的弯曲变形问题，只需对式(10-2)进行积分运算即可。返回上一页10.2用积分法求梁的变形对于等截面梁，抗弯刚度EI为常数，挠曲线近似微分方程(10-2)又可写为方程两边乘以dx，并积分一次，得到梁的转角方程式将上式再积分一次，得到挠曲线方程下一页返回10.2用积分法求梁的变形(1)简支梁的边界条件。简支梁在两端支座处的挠度为零，如图10-3(a)所示，即(2)悬臂梁的边界是条件。悬臂梁在固定端处的挠度和转角都等于零，即x=0处下一页返回上一页10.2用积分法求梁的变形由边界条件确定出积分常数后，可由式(10-4)和式(10-5)得到梁的转角方程和挠曲线方程分别为从而可求得梁任意截面的转角和轴线上任一点的挠度。这种求梁变形的方法，通常称为积分法。注意:当梁的弯矩方程需分段建立时，挠曲线微分方程也要分段建立。这时积分常数要按照边界条件和光滑连续条件确定。所谓光滑连续条件是指:梁的挠曲线应是一条光滑连续曲线，在任一点处有唯一确定的挠度和转角，而不允许有折点和不连续的现象。下一页返回上一页10.2用积分法求梁的变形例10-1工件在E端受切削力P作用，工件长为l，抗弯刚度EI，如图10-4所示。试求此工件最大挠度。解:工件被紧固在卡盘A端，不允许产生挠度和转角，故可简化为固定端约束。(1)求约束力，列弯矩方程。由平衡方程求得支座约束力在距A点x处取截面，列出弯矩方程返回上一页下一页10.2用积分法求梁的变形(2)列挠曲线近似微分方程并各分将弯矩方程代入式(10-2)，得该梁的挠曲线近似微分方程对式(2)积分，得到转角方程，对式(3)积分，得到挠度方程返回上一页下一页10.2用积分法求梁的变形(3)确定积分常数。该悬臂梁的边界条件为x=o处将此条件代入式(3)、式(4)，得到

(4)确定转角方程和挠度方程。将式(1)代入式(3)、式(4)，得到转角方程和挠曲线方程分别为返回上一页下一页10.2用积分法求梁的变形(5)求最大转角和最大挠度。由式(6)、式(7)可知，最大转角和最大挠度均发生在自由端，分别为返回上一页10.3用叠加法求梁的变形由上节例题可知，用积分法可以求出梁的挠曲线方程和转角方程。但当梁上载荷作用比较复杂时，用积分法计算梁的变形的过程就过于繁冗了。当只需求梁某特定截面的挠度和转角时，积分法尤为烦琐。当梁的弯曲变形很小，材料服从虎克定律时，梁的挠度和转角与梁上作用的载荷呈线性关系。当梁上有几个载荷同时作用时，可分别计算每一个载荷单独作用时所引起梁的变形，然后求出诸变形的代数和，即得到在这些载荷共同作用下梁所产生的变形。这种方法称为叠加法。下一页返回10.3用叠加法求梁的变形现将各种简单载荷作用下梁的挠曲线方程、转角和挠度有关计算公式列于表10-1中，以便查询。例10-3等直悬臂梁AB，已知梁的抗弯刚度为EI，如图10-6所示。试用叠加法求自由端的转角和挠度。解:悬臂梁上作用两种载荷:均布载荷q及集中载荷F。(1)集中载荷F单独作用时，召端的转角和挠度可直接由表10-1查出。得到自由端的转角和挠角分别为返回上一页10.3用叠加法求梁的变形(2)均布载荷q单独作用时，B端的转角和挠角可直接由表10-1查出，得到自由端的转角和挠度分别为(3)由叠加法求均布载荷q及集中载荷F同时作用下，自由端的转角和挠度分别为返回上一页下一页10.4梁的刚度计算及提高梁弯曲刚度的措施10.4.1梁的刚度计算在工程实际中，对梁的刚度要求，就是根据不同工作需要，将其最大挠度和最大转角(或指定截面的挠度和转角)限制在所规定的允许值之内，即式(10-6)称为梁的刚度条件。式中为梁产生的最大转角和最大挠度的绝对值，分别为对梁规定的许用转角和许用挠度，其值可从有关手册或规范中查得。下一页返回10.4梁的刚度计算及提高梁弯曲刚度的措施例10-5图10-8(a)所示矩形截面梁，已知(q=10kN/m,l=3m,E=196GPa,,许用挠度。试设计截面尺寸(h=2b)解:(1)按强度设计。画弯矩图，如图10-8(b)所示。最大弯矩上一页下一页返回10.4梁的刚度计算及提高梁弯曲刚度的措施矩形截面弯曲截面系数由强度条件上一页下一页返回10.4梁的刚度计算及提高梁弯曲刚度的措施(2)按刚度设计。由表10-1查得最大挠度值为矩形截面的惯性矩上一页下一页返回10.4梁的刚度计算及提高梁弯曲刚度的措施根据刚度条件，式(9-6)中,有取b=90mm,h=180mm(3)根据强度和刚度设计结果，确定截面尺寸。比较以上两个计算结果，应取刚度设计得到的尺寸作为梁的最终设计尺寸，即b=90mm,h=180mm上一页下一页返回10.4梁的刚度计算及提高梁弯曲刚度的措施10.4.2提高梁弯曲刚度的措施由表10-1可见，梁的挠度和转角除了与梁的支承和载荷情况有关外，还取决于以下因素，即材料一梁的变形与材料的弹性模量E成反比。截面一梁的变形与截面的惯性矩1成反比。跨长一梁的变形与跨长l的n次幂成正比(由表10-1可知，在各种不同载荷作用下，n分别等于1,2,3或4)。上一页下一页返回10.4梁的刚度计算及提高梁弯曲刚度的措施所谓提高梁的刚度，是指在外载荷作用下产生尽可能小的弹性变形。为了达到提高梁刚度的目的，常采用以下措施:(1)增大截面惯性矩。因为各类钢材的弹性模量E的数值极为接近，采用优质钢材对提高弯曲刚度意义不大，而且还造成浪费。所以，一般选择合理的截面形状，以增大截面的惯性矩。在工程上，常采用工字形、箱形、空心圆轴等形状的截面，这样既提高了梁的强度，又提高了刚度。上一页下一页返回10.4梁的刚度计算及提高梁弯曲刚度的措施(2)尽量减小梁的跨度。如上所述，梁的挠度和转角与梁的跨长l的n次幂成正比，因此如能设法缩短梁的跨度，将能显著地减小其挠度和转角。这是提高梁刚度的一个很有效的措施之一。例如桥式起重机的箱形钢梁或衍架钢梁，通常采用两端外仲的结构，如图10-10(a)所示。其原因之一，就是为了缩短跨长，从而减小梁的最大挠度值。另外，由于这种梁的外仲部分的自重作用，将使梁的AB跨产生向上的挠度，如图10-10(b)所示，从而使AB跨的向下挠度能够被抵消一部分而有所减小。上一页下一页返回10.4梁的刚度计算及提高梁弯曲刚度的措施

(3)增加支座。增加支座也是提高梁刚度的有效措施之一。在梁的跨度不能缩短时，可采用增加支座的办法，以提高梁的刚度。例如在悬臂梁的自由端或简支梁的跨中增加一个支座，都可以使梁的挠度显著地减小。但采用这种措施后，原来的静定梁就变成了静不定梁。有关静不定梁的问题将在下一节中讨沦。(4)合理布置载荷，减小弯矩。弯矩是引起变形的主要因素。变更载荷位置或方式，减小梁内弯矩，可达到减小变形提高刚度的目的。上一页返回10.5梁的静不定问题工程中为了提高梁的强度和刚度，或者由于结构上的其他要求，常在静定梁上增加支承，使之变成静不定梁。增加的支承，对于在载荷作用下保持梁的平衡并不是必需的，而是多余的，故属于多余约束，与之相应的约束反力称为多余约束反力。多余约束的个数，称为梁的静不定次数。解静不定梁的方法很多，这里仅介绍解简单静不定梁常用的变形比较法。与解拉压静不定问题相似，解静不定梁问题的关键是建立变形补充方程。现举例说明解静不定梁的方法。下一页返回10.5梁的静不定问题例10-7图10-11(a)所示一等截面梁，若q,l,El均已知，求全部约束反力，并绘出梁的剪力图和弯矩图。解:(1)确定静不定梁次数。在A,B处共有四个约束反力，根据静力平衡条件可列三个平衡方程，故为一次静不定梁。

(2)选择基本静定梁，建立相当系统。除去梁上多余的约束，使原来的静不定梁变为静定梁，此静定梁称为基本静定梁。例如对图10-11(a)中的梁，若取支座召为多余约束并解除之，则得到图10-11(b)所示的悬臂梁，此为相应的基本静定梁。上一页下一页返回10.5梁的静不定问题

(3)列变形补充方程，求多余约束反力。为保证相当系统与原静不定梁完全等效，即二者的受力和变形应完全相同，则相当系统在多余约束处的变形必须符合原静不定梁的约束条件，即满足变形协调条件。由图10-11(a)知，原静不定梁在召点处为铰支座，不可能产生挠度，所以挠度应为零。即yB=0上一页下一页返回10.5梁的静不定问题根据叠加法，由表10-1查得在外力q和RB作用下，相当系统在截面召的挠度为将式(2)代入式(1)，得到变形补充方程为由此式解得多余约束反力上一页下一页返回10.5梁的静不定问题(4)列静力平衡方程，求其余约束反力。由相当系统的平衡，图10-11(c)所示，列平衡方程解得上一页下一页返回10.5梁的静不定问题(5)绘剪力图和弯矩图。从剪力图10-11知，最大剪力,从弯矩图(图10-11(g)知，最大弯矩.若与没有支座召的静定梁相比，静不定梁的最大剪力和最大弯矩比静定梁分别减小可见静不定梁由于增加了支座，其强度和刚度提高了。应该指出，相当系统的选取不是唯一的。例如图10-11(a)也可将固定端处限制横截面A转动的约束作为多余约束，并以多余约束反力偶矩M代替其作用，则原梁的相当系统如图10-11(h)