教学材料《静力学》-第12章

12.1拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度计算12.1.1拉(压)弯组合变形的应力分析拉仲或压缩变形与弯曲变形相组合的变形是工程上常见的变形形式。因为工程中工作状态下的杆件一般都处于线弹性范围内，而且变形也非常小，因而作用在杆件上的任一载荷所引起的应力一般不受其他载荷的影响。所以，可应用叠加原理来分析计算。现以图12-1(a)所示悬臂起重机的横梁为例进行说明，其步骤如下。下一页返回12.1拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度计算(1)外力分析。悬臂梁在自由端受力尸的作用，力P位于梁的纵向对称平面内，并与梁的轴线成夹角，。将力P沿平行轴线方向和垂直轴线方向分解为Px和Py(如图12-1(b)),大小分别为分力Px为轴向拉力，将使梁产生轴向拉仲变形，如图12-1(c)所示，分力Py方向与梁的轴线垂直，将使梁产生平面弯曲变形，如图12-1(d)所示，故梁在力P作用下将产生拉弯组合变形。下一页返回上一页12.1拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度计算(2)内力分析。梁的内力图如图12-1(c),12-1(f)所示。梁各描截面一的轴力都相等，均为梁的固定端截面A上的弯矩值最大，其值为梁的固定端截面A为危险截面。下一页返回上一页12.1拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度计算

(3)应力分析。在梁的危险截面上，拉应力均匀分布，如图12-1(g)所示，弯曲正应力、分布如图12-1(h)所示。其值分别为下一页返回上一页12.1拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度计算根据叠加原理，可将悬臂梁固定端所在截面上的弯曲正应力和拉仲正应力相叠加，则叠加后的应力分布图如图12-1(i)所示，在上、下边缘处，正应力大小分别为下一页返回上一页12.1拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度计算(4)强度条件。若以

表示拉(压)应力，以表示弯曲应力，则根据危险截面上单元体应力状态及构件所用材料的自身特性等可得强度条件对于拉压性能不等的材料，应对最大拉应力点和最大压应力点分别校核。下一页返回上一页12.1拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度计算12.1.2拉(压)弯组合变形时的强度计算例12-1如图12-2(a)所示，AB杆是悬臂吊车的滑车梁，若AB梁为22a工字钢，材料的许用应力,当起吊重量F=30kN，行车移至AB梁的中点时，试校核AB梁的强度。解:(1)外力分析。取AB梁为研究对象，如图12-2(b)所示。设支座A处的约束反力为RAx,RAy,BC杆给AB梁的约束反力为RBx,RBy根据平衡方程式返回上一页下一页12.1拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度计算可得可得可得返回上一页下一页12.1拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度计算(2)内力分析。RAx,RBx使AB梁各横截面上产生相同的轴向压力N,N=25.98kN。RAy,RBy与F引起AB梁产生弯曲变形，其弯矩图如图12-2(c)所示，最大弯矩值发生在AB梁的中点，且Mmax=19.5kN.m。根据内力分析可知，AB梁的中点截面就是危险截面。(3)应力分析。由轴向压力N引起危险截面上各点的压缩正应力均相等，由于最大弯矩引起的最大弯曲正应力产生在中点截面上侧各点，因此危险点就形成危险截面上侧的一条线。查型钢表得22a工字钢的面积A=42cm2，抗弯截面模量Wz=309cm2。返回上一页下一页12.1拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度计算危险点的压应力为危险点的最大弯曲压应力为返回上一页下一页12.1拉伸（压缩）与弯曲的组合变形的强度计算(4)强度计算。根据式(12-1)可得故AB梁的强度足够。由计算数据可知，由轴力所产生的正应力远小于由弯矩所产生的弯曲正应力。因此，在一般情况下，在拉(压)弯组合变形中，弯曲正应力是主要的。返回上一页12.2弯扭组合变形时的强度计算12.2.1弯扭组合变形时的应力分析

1.外力分析设有一圆轴，如图12-4(a)所示，左端固定，自由端受力P和力偶矩m的作用。力P的作用线与圆轴的轴线垂直，使圆轴产生弯曲变形;力偶矩刀m使圆轴产生扭转变形，所以圆轴AY将产生弯曲与扭转的组合变形。下一页返回12.2弯扭组合变形时的强度计算2.内力分析画出圆轴的内力图，如图12-4(c)、图12-4(d)所示。由扭矩图可以看出，圆轴各横截面上的扭矩值都相同，而从弯矩图看出，固定端A截面上的弯矩值最大，所以横截面A为危险截面，其上的扭矩值和弯矩值分别为T=m,M=Pl下一页返回上一页12.2弯扭组合变形时的强度计算3.应力分析在危险截面上同时存在着扭矩和弯矩，扭矩将产生扭转剪应力，剪应力与危险截面相切，截面的外轮廓线上各点的剪应力为最大;弯矩将产生弯曲正应力，弯曲正应力与横截面垂直，截面的前、后(a,b)两点的弯曲正应力为最大，如图12-4(b)所示，所以，截面的前、后两点(a,b)为弯扭组合变形的危险点。危险点上的剪应力和正应力分别为下一页返回上一页12.2弯扭组合变形时的强度计算

4.强度条件为了进行强度计算，必须要了解危险点a或b的应力状态，围绕点a切取一单元体，如图12-4(c)所示，可以看出a点是平面应力状态，其中。应用公式(11-4)可求得a点的主应力分别为下一页返回上一页12.2弯扭组合变形时的强度计算由于圆轴一般是用塑性材料制成的，所以，a点的强度应按第三或第四强度理论进行校核。若用第三强度理论校核强度时，其强度条件为将主应力值代入上式可得下一页返回上一页12.2弯扭组合变形时的强度计算对于圆截面及圆环截面，有WT=2Wz则上式可写为若用第四强度理论校核强度，其强度条件为下一页返回上一页12.2弯扭组合变形时的强度计算将主应力的值代入上式，化简后得将带入后得下一页返回上一页12.2弯扭组合变形时的强度计算12.2.2弯扭组合变形时的强度计算例12-3电动机带动皮带轮运动，如图12-5(a)所示，轴的直径d=38mm，带轮的直径D=400mm，其重量G=700N,若电动机的功率P=16kW，转速n=955r/min，带轮紧边与松边拉力之比为T2/T1=2,轴的许用应力。试按第三强度理论来校核该轴的强度。

返回上一页下一页12.2弯扭组合变形时的强度计算解:(1)外力分析。根据题意，可求得电动机输出的外力偶矩为由皮带轮的受力图12-5(b)可知，作用在轴上的载荷有垂直向下的力F和作用面垂直于轴线的力偶刀m，轮轴的计算简图如图12-5(c)所示。其中返回上一页下一页12.2弯扭组合变形时的强度计算显然所以作用于轴中间垂直向下的力为力F使轴产生弯曲变形，力偶刀m使轴产生扭转变形，所以轴AB将发生弯扭组合变形。返回上一页下一页12.2弯扭组合变形时的强度计算(2)内力分析。画出轴的内力图如图12-5(d)、图12-5(c)所示，由扭矩图可以看出，轴CB段各横截面上的扭矩值都相同，AC段的扭矩值为零，而从弯矩图可以看出，轴的中间截面C处的弯矩值最大，所以轴的中间截面C稍靠左处为危险截面，该截面上的扭矩值和弯矩值分别为返回上一页下一页12.2弯扭组合变形时的强度计算(3)强度校核。轴的抗弯截面模量根据式(12-3)可得所以轴的强度足够。返回上一页12.3截面核心的概念设有一柱体，在其顶端A处作用一平行于柱体轴线的压力尸(图12-7(a)),A点的坐标位置为(Yp,Zp)，距截面形心的偏心距为。(图12-7(b))将力尸移至截面形心O处，得一作用于形心的压力P及力偶M=Pe，再将力偶M分解成My及Mz力偶均以矢量表示，如图12-7(b))，则柱体共受到P,My,Mz的作用，即柱体为压+弯+弯的组合变形(图12-7(c))下一页返回12.3截面核心的概念现求任意横截面m-m上任意点C的应力(图12-7(c))设A,IY,Iz分别为柱体横截面的面积及轴惯性矩，则C点的正应力为因故下一页返回上一页12.3截面核心的概念令(12-7)式等于0，得式(12-8)即为中性轴方程，此中性轴方程是一条不通过截面形心的直线，为了定出中性轴位置，可利用它在y，z轴上的截距ay=y|z=0及az=z|y=0绘出，根据式(12-8)可求得下一页返回上一页12.3截面核心的概念因A点(图12-7(a))在第一象限内，yp,zp均为正值，故由式(12-9)可知，ay,az均为负值，这就是说，中性轴与外力作用点分别位于截面形心的相对两边(图12-8)

由(图12-8)可知，中性轴右侧截面上点均为压应力，中性轴左侧截面上点均为拉应力。由式(12-9)可知，当偏心距较小(即yp,zp较小)时，柱体横截面上也就可能全部是压应力而不出现拉应力。下一页返回上一页12.3截面核心的概念在土建工程中，常用的混凝土构件和砖石砌体，其抗拉强度远低于抗压强度，主要用做承压构件。这类构件在受偏心压力作用时，其横截面上最好不出现拉应力，以免开裂。为此应使中性轴不穿过横截面。从式(12-9)可知，对于任一给定的截面，为yp,zp值越小，ay,az

值就越大，即外力作用点离形心越近，中性轴距形心就越远。因此，当外力作用点位于截面形心附近的一个区域内时，就可以保证中性轴不穿过横截面，这个区域就称为截面核心。下一页返回上一页12.3