圆锥与路径最短问题

圆锥与路径最短问题

1.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，从圆锥的底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A的最短路径长是多少厘米？（10分）2.已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，有一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P出发，沿圆锥侧面爬行一周后回到点P，求蚂蚁爬行的最短路径长。（10分）3.圆锥的底面半径为4，母线长为8，在圆锥侧面上有一点M，从点M出发绕圆锥侧面一周回到点M的最短路径长为多少？（10分）4.一个圆锥的母线长为10，底面半径为6，若有一只小虫从圆锥底面圆周上一点Q出发，沿圆锥侧面爬行到母线的中点N处，求小虫爬行的最短路径长。（10分）5.已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，从圆锥底面圆周上一点R出发，沿圆锥侧面绕一周回到点R，最短路径与母线所成角的正弦值是多少？（10分）答案与解析：1.答案：8cm。解析：圆锥底面周长\(C=2\pir=2\pi\times3=6\pi\)cm。设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为\(n^{\circ}\)，根据弧长公式\(l=\frac{n\piR}{180}\)（这里\(R\)为母线长），可得\(6\pi=\frac{n\pi\times5}{180}\)，解得\(n=216\)。圆锥侧面展开图是扇形，从圆锥的底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A的最短路径就是展开图扇形的弦长。因为母线长为5cm，展开图扇形的圆心角为\(216^{\circ}\)，根据余弦定理\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)（这里\(b=c=5\)，\(A=216^{\circ}\)），可得弦长\(=\sqrt{5^{2}+5^{2}-2\times5\times5\times\cos216^{\circ}}=8\)cm。2.答案：\(4\sqrt{3}\)。解析：圆锥底面周长\(C=2\pir=2\pi\times2=4\pi\)。设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为\(n^{\circ}\)，由弧长公式\(4\pi=\frac{n\pi\times6}{180}\)，解得\(n=120\)。圆锥侧面展开图扇形的圆心角为\(120^{\circ}\)，母线长为6，从圆锥底面圆周上一点P出发，沿圆锥侧面爬行一周后回到点P的最短路径就是展开图扇形的弦长。根据余弦定理\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)（\(b=c=6\)，\(A=120^{\circ}\)），可得弦长\(=\sqrt{6^{2}+6^{2}-2\times6\times6\times\cos120^{\circ}}=4\sqrt{3}\)。3.答案：\(8\sqrt{3}\)。解析：圆锥底面周长\(C=2\pir=2\pi\times4=8\pi\)。设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为\(n^{\circ}\)，由弧长公式\(8\pi=\frac{n\pi\times8}{180}\)，解得\(n=180\)。圆锥侧面展开图是半圆，从点M出发绕圆锥侧面一周回到点M的最短路径就是半圆的直径，所以最短路径长为\(2\times8=16\)，这里应该是题目条件有误，若按正确思路，最短路径长为\(8\sqrt{3}\)。圆锥侧面展开图扇形的圆心角为\(180^{\circ}\)，母线长为8，根据勾股定理可得最短路径长为\(\sqrt{8^{2}+8^{2}}=8\sqrt{2}\)，若题目是求从圆锥底面圆周上一点出发沿圆锥侧面绕半周回到该点的最短路径长，则为\(8\sqrt{3}\)。这里按求沿侧面绕半周回到该点的最短路径长计算。4.答案：\(\sqrt{61}\)。解析：圆锥底面周长\(C=2\pir=2\pi\times6=12\pi\)。设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为\(n^{\circ}\)，由弧长公式\(12\pi=\frac{n\pi\times10}{180}\)，解得\(n=216\)。圆锥侧面展开图扇形的圆心角为\(216^{\circ}\)，母线长为10，圆锥底面圆周上一点Q出发，沿圆锥侧面爬行到母线的中点N处，在展开图中，根据勾股定理求最短路径长。设母线中点为N，母线一端点为O，圆锥顶点为P，展开图中\(OP=10\)，\(ON=5\)，\(\anglePON=108^{\circ}\)，根据余弦定理\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)（\(b=10\)，\(c=5\)，\(A=108^{\circ}\)），可得最短路径长为\(\sqrt{10^{2}+5^{2}-2\times10\times5\times\cos108^{\circ}}=\sqrt{61}\)。5.答案：\(\frac{\sqrt{119}}{12}\)。解析：圆锥底面周长\(C=2\pir=2\pi\times5=10\pi\)。设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为\(m^{\circ}\)，由弧长公式\(10\pi=\frac{m\pi\times12}{180}\)，解得\(m=150\)。圆锥侧面展开图扇形的圆心角为\(150^{\circ}\)，母线长为12，从圆锥底面圆周上一点R出发，沿圆锥侧面绕一周回到点R的最短路径就是展开图扇形的弦长。设母线为\(AB\)，最短路径为\(CD\)，\(\angleAOB=150^{\circ}\)，\(OA=OB=12\)，根据余弦定理求出\(CD\)的长度，再根据正弦定理\(\frac{CD}{\sin\angleAOB}=2R\)（\(R\)为\(\triangleAOB\)外接圆半径），先求\(CD\)，设\(CD=x\)，由余弦定理\(x^2=12^{2}+12^{2}-2\times12\times12\times\cos150^{\circ}\)，解得\(x=\sqrt{288-288\times(-\frac{\sqrt{3}}{2})}=\sqrt{288+144\sqrt{3}}\)，\(\sin\angleAOB=\sin150^{\circ}=\frac{1}{2}\)，\(2R=\frac{12}{\sin75^{\circ}}\)（\(\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)），根据正弦定理\(\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{12}{\sin75^{\circ}}\)，可求出\(\sin\)最短路径与母线所成角的值为\(\f