37. 斜率计算的四种主要形式-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

37.斜率计算的四种主要形式一．基本原理1.角度形式：直线倾斜角的正切值；2.坐标形式：根据斜率的定义，不重合的两点，则.所以我们在解决与斜率有关的问题时，第一个最朴素的想法就是解点，然后利用斜率公式解决.3.设斜截式或者直接求解出斜率4.参数方程：(1)设过点,倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).点为直线上的任一点,由的参数方程知,,即,则表示直线上与两点间的距离.(2).由直线参数方程中参数的意义知,分别为直线上任意两点所对应的参数,由参数方程可求出交点坐标为：（凌晨讲数学） ①那么由两点间距离公式可得：②由中点坐标公式可得：若为中点，则的参数值为(2)根参数的几何意义,可知，,具体取值由点与点的相对位置决定,则若点同时又在二次曲线上，那么可将直线参数方程代入曲线方程，即可解得含参数t的一元二次方程，通过韦达定理判断具体位置并转化出上述线段关系的具体形式.二．典例分析例1.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．（1）求的斜率.（2）若，求的面积．解法1：设点解点设直线的方程为，与双曲线的方程联立，消去得到，根据韦达定理，得，故，从而.因为直线的斜率之和为，所以直线的方程为，同理，可得：，.（凌晨讲数学）所以直线的斜率为解法2：不联立的艺术设，由点都在双曲线上，得，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线的斜率之和为，即，所以，由得.②由得.③由②-③，得，从而，即的斜率为.（凌晨讲数学）解法3：设而不求，韦达定理将点代入双曲线方程得，化简得，，故双曲线方程为，由题显然直线的斜率存在，设，设，，，则联立双曲线得：，故，，，化简得：，故，即，当时，直线过点A，不合题意，舍去.,故.方法4.同构双斜率设过点的直线方程为，直线的方程为，联立解得，代入双曲线的方程中，整理得，这是关于的一元二次方程，方程的两根分别为直线的斜率.因为直线的斜率之和为，即，所以，整理后分解得.因为直线不经过点，所以，从而，即的斜率为.（凌晨讲数学）例2.（2021年八省联考）双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.（1）求C的离心率；（2）若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.解析：（1）设双曲线的离心率为e，焦距为2c，，在中令x＝c，则，解得，若|AF|＝|BF|，则，所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，解得e＝2或（舍去），所以e＝2；（2）因为e＝2，所以，所以，，设B（x，y）（x＞0，y＞0），kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tanθ＝，tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF.例3.（2021新高考1卷）在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足：，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点，且满足，求直线与直线的斜率之和.解析：（1）略.解析：（2）设，直线的倾斜角为，其参数方程为，将直线参数方程代入到双曲线方程可得：．设，由根与系数的关系得．设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为：，进一步，设点所对的参数分别为，将的参数方程代入双曲线方程可得：由可得，进一步，由题意可知，所以直线与直线的斜率之和为零.三．习题演练（凌晨讲数学）1．（2020山东卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．解析：（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.（2）（方法1.）由题意，设直线的方程为，代入椭圆方程，可得.解得.所以.因为，将代替上面的，可得.故.所以直线的方程为.化简，得.即直线恒过定点.（方法2）设．若直线的斜率不存在，则．因为，则，即．由，解得或（舍）．所以直线的方程为．若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．令，则．又，令，则．因为，所以，即或．当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意；当时，直线的方程为，所以直线恒过．综上，直线恒过，所以．又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动．取线段的中点为，则．所以存在定点Q，使得为定值．（方法3）设，依题意知，因为，所以，整理得同理得相减可得即直线恒过定点.又，所以点D在以线段为直径的圆上运动．取线段的中点为，则．所以存在定点Q，使得为定值．（方法4）.①当直线的斜率存在时，设其方程为：，直线方程为，两方程联立得.由直线与椭圆方程联立得由韦达定理可得，所以.整理得.设直线与直线的斜率分别为，因为，所以，整理得，所以，代入直线方程得，所以直线恒过定点.②当直线的斜率不存在时，易证得，略去.2．在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）点，点为上的两个动点，且满足.过作直线交于点.若，求直线的斜率.解析：（1）因为点满足，所以点的轨迹为双曲线的右支，故，所以，所以曲线的方程为.（2）（方法1）.设与的交点为.显然直线的斜率存在，设的方程为，联立方程消去得，设，所以.又，因为，所以，故，代入，整理得，即，解得或（舍）.所以直线的方程为，即直线恒过定点.因为四点共圆，且为直径，由，所以点为中点，且直线的方程为，联立，解得，所以点，故，代入曲线的方程，解得，即，所以直线的斜率为±1.（方法2）.由对称性，直线必过定点，设的方程为，联立方程消去得，设，所以.，因为，所以，故，代入，因为，整理得，解得.所以直线