47.二项分布与超几何分布的七种辨识策略-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

47.二项分布与超几何分布的七种辨识策略本节主要研究二项分布与超几何分布及两者之间的区别，全国卷在这个点上的考察主要还是以基本的概念和公式为主，并没有像地方卷那样单独考察，但是我们需要注意的是二项分布的期望和方差公式，需要熟记于心，这一部分内容可能用来做为决策依据考察.一．二项分布1．重伯努利试验的概念只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验．2．重伯努利试验具有如下共同特征（1）同一个伯努利试验重复做次；（2）各次试验的结果相互独立．3．二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：，如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作4．一般地，可以证明：如果，那么.二．超几何分布超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．超几何分布的期望E(X)＝eq\f(nM,N)＝np(p为N件产品的次品率)．三．二项分布与超几何分布的区别1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.因为当总体数量N很大，而样本容量n相对较小时，超几何分布近似于二项分布。此时，超几何分布中的不放回抽样对概率的影响较小，可以将其近似看作有放回抽样，从而用二项分布来近似计算超几何分布的概率2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果或，一般考查二项分布.4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再抽”的题干信息.7.对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高.其中：对于N个总体中抽象个相同的个体，超几何分布的信息熵不超过二项分布的信息熵.（deepseek搜寻证明）三．典例分析例1．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率．（1）现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望．（2）用分层抽样的方法从这名观众中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列．解析：（1）“体育迷”对应的频率为：，用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取名观众，该观众是“体育迷”的概率为，则；所有可能的取值为，；；；；的分布列为：数学期望.（2）根据分层抽样原则知：抽取的人中，有“体育迷”人，非“体育迷”体育迷人，则所有可能的取值为，；；；的分布列为：例2．某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.解析：（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，所以的所有可能取值为，则，，所以的分布列为012所以的数学期望为.（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，则，，，所以的分布列为012所以的数学期望为.（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的大，即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.例3.（四川省成都市2026届高三一诊）口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案：游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为；游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立.（1）分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率；（2）求；（3）对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高.解析：（1）对于游戏一，设“第二次摸到白球”，则；对于游戏二，设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则；（2）对于游戏一，的可能取值为0，1，2，的分布列为：，，，对于游戏二，的可能取值为0，1，2，的分布列为：，，，因为游戏一与游戏二的结果相互独立，所以；（3）由（2）知，；同理.因为，所以，故游戏一的“不确定性”更高.三．习题演练1．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（

）A． B． C． D．2．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；（2）若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和期望．附参考数据，若随机变量X服从正态分布，则，，．3．某服装公司经过多年发展，在全国布局了3500余家规模相当的销售门店．该公司每年都会设计生产春季新款服装并投放到全国各个门店销售．公司为了了解2022年春季新款服装在各个销售门店的销售情况，市场部随机调查了20个销售门店的年销售额（单位：万元，不考虑门店之间的其它差异），统计结果如下：门店编号12345678910销售额45333044282237211924门店编号11121314151617181920销售额34412320373129323642（1）从以上20个门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店中至少有2个的年销售额超过40万元的概率；（2）以样本频率估计概率，现从全国销售门店中随机抽取3个，记该年春季新款的年销售额超过40万元的销售门店的个数为，求的分布列及数学期望．参考答案1.解析：依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，所以.故选：D．2.解析：（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖．从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为．（2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值，则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布．（ⅰ）因为，所以．故参赛学生中成绩超过