专题05 一元二次方程、不等式（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第15页（共16页）专题专题05一元二次方程、不等式

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系方程的判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根不等式的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))R2.分式不等式与整式不等式(1)eq\f(f(x),g(x))>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(f(x),g(x))≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．常用结论1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0；(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0；(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．►考点01求解一元二次不等式▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．【例1】（2025•开远市校级开学）已知，则关于的不等式的解集是A．或 B．或C． D．【答案】【分析】直接根据一元二次不等式的解法解不等式即可．【解答】解：因为，即，且，所以不等式的解集是．故选：．【例2】（2025•广东学业考试）不等式的解集是A． B． C． D．，，【答案】【分析】由二次不等式解法可得答案．【解答】解：，故不等式的解集是．故选：．【例3】（2024秋•中山区校级期末）关于的一元二次方程的解集为，，则不等式的解集为A． B．， C． D．，，【答案】【分析】由方程的解集和根与系数关系得，，的关系，并由得的正负，代入不等式后即可求解．【解答】解：关于的一元二次方程的解集为，，，即，，，即．，即，即，解得．故选：．【例4】（2024秋•深圳校级期末）已知函数．（1）若在区间，上单调递减，求的取值范围．（2）求关于的不等式的解集．【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为，，．【分析】（1）讨论当和时，函数在，上单调递减的情况即可得出结论；（2）解，即解不等式，分类讨论当和的情况，在的情况下，再讨论，，，以及时的解集，从而得出结论．【解答】解：（1）当时，的单调递减区间为，满足题意，当时，因为在，上单调递减，所以，解得，综上所述，的取值范围为；（2）由可得，，①当时，由，解得；②当时，方程的两根为，当时，，解不等式得，当时，，解不等式得或，当时，，解不等式得或，当时，由得，综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为，，．【例5】（2024秋•海淀区校级期中）解关于的不等式：．【答案】若，则不等式为，此时解集为，；若，则不等式解集为，；若，则不等式解集为，，；若，则不等式解集为；若，则不等式解集为，，．【分析】关于的大小进行分类讨论，求出取不同值时的解集．【解答】解：若，则不等式为，此时解集为，；若，不等式化为，若，则不等式解集为，；若，则不等式解集为，，；若，则不等式解集为；若，则不等式解集为，，．►考点02一元二次方程根的分布▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼一元二次方程根的分布解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．(1)判别式Δ的符号．(2)对称轴x＝－eq\f(b,2a)与所给区间的位置关系．(3)区间端点处函数值的符号．【例6】（2025•台湾四模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】【分析】根据一元二次函数的图像和零点存在定理求解的取值范围．【解答】解：因为，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，可得，为函数的两个零点，利用零点存在定理可得：，即，所以，所以，解得．故选：．【例7】（2025春•杭州期中）已知关于的不等式的解集为，，则的最大值是A． B． C． D．【答案】【分析】根据已知条件可得，，再利用基本不等式相关知识可解．【解答】解：已知关于的不等式的解集为，，则，，则，当且仅当时，即时，取等号，则的最大值是．故选：．【例8】（2024秋•亳州期末）已知，且是方程的一个根，则的最小值是A． B．4 C．2 D．8【答案】【分析】根据是方程的一个根得到和的关系，求出，根据基本不等式求出的最小值．【解答】解：由是方程的一个根可得，即，且，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值是8．故选：．【例9】（2025春•辽宁月考）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是A． B． C． D．【答案】【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解．【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，，所以．故选：．【例10】（2024秋•青海期末）若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】结合二次方程根的分布条件建立关于的不等式组，解不等式组即可求解．【解答】解：因为二次方程在上有两个不相等的实根，所以，解得．故选：．►考点03三个二次之间的关系▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．【例11】（2023秋•信阳期中）已知关于的不等式的解集是，，则下列结论正确的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据不等式的解集得出，且，是对应方程的解，由根与系数的关系以及二次函数的图象与性质，即可得出正确的判断．【解答】解：关于的不等式的解集是，所以，且，是一元二次方程的两个解；由根与系数的关系知，，选项正确；又，选项正确；且，选项正确．由二次函数的解集是，且，和3是方程的两解，如图所示：所以，选项错误．故选：．【例12】（2024秋•吉林期末）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是A． B． C． D．的解集为【答案】【分析】根据不等式的解集得出对应方程的解，以及，由此判断选项中的命题是否正确．【解答】解：因为不等式的解集为或，所以和3是方程的解，且，选项错误；所以，解得，，选项错误；所以，选项正确；不等式可化为，即，解得，所以不等式的解集为，选项正确．故选：．【例13】（2023秋•云南期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为A． B． C． D．【答案】【分析】根据不等式的解集求出、，代入不等式求解集即可．【解答】解：因为关于的不等式的解集为，所以2和3是方程的解，由根与系数的关系得，，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为，故选：．【例14】（2024秋•集安市月考）已知关于的不等式的解集为，，，则下列选项中正确的是A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为【答案】【分析】根据不等式的解集得出方程的解，判断，由此求解即可．【解答】解：因为不等式的解集为，，，所以和3是方程的解，且，选项错误；由根与系数的关系知，，所以，；所以不等式，可化为，解得，所以不等式的解集为，选项错误；因为，所以选项错误；不等式可化为，即，解得或，所以不等式的解集为，，，选项正确．故选：．【例15】（2024秋•大理市期末）若关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是A． B． C． D．【答案】【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理求得，，再代入不等式，即可求解．【解答】解：关于的一元二次不等式的解集是或，，2是一元二次方程的两个实数根，，，即，，不等式化为，解得，不等式的解集为．故选：．►考点04一元二次不等式恒成立问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．【例16】（2024秋•武强县校级期末）时，不等式成立，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】问题转化为在，上有解，结合二次函数的性质即可求解．【解答】解：时，不等式成立，即在，上有解，所以，根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值0，故．故选：．【例17】（2024秋•中牟县期末）设，不等式恒成立的一个充分条件可以是A． B． C． D．【答案】【分析】由题干不等式对恒成立，解出的取值范围，根据充分条件结合选项得出与答案．【解答】解：不等式对恒成立时，当时恒成立，当时，对恒成立，只需，解得，综上有当不等式对恒成立，，，而，，，故由选项推出题中不等式对恒成立．故选：．【例18】（2025•芒市校级开学）一元二次不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】结合二次函数的性质，开口向上，判别式小于零解不等式组即可；【解答】解：由题意可得，由可得，即．故选：．【例19】（2024秋•宁波期末）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为A．3 B． C．4 D．【答案】【分析】分和两种情况讨论，结合二次函数的性质可得，且，，再利用