专题24 解三角形（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题24解三角形

一．选择题（共10小题）1．（2025•雨花区模拟）在中，，，，则的面积为A． B． C． D．2．（2025•沧县模拟）已知△中，，，点在边上，，则的长为A． B． C． D．3．（2025春•鹤壁月考）某渔船由地出发向南航行了到达地，然后由地向东航行了到达地，再从地向北偏东航行了到达地，则地与地之间的距离为A． B． C． D．4．（2025春•重庆月考）如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用．某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度A．米 B．米 C．米 D．米5．（2025•黄冈模拟）已知锐角三角形，角、、所对的边分别为、、，且，．则的取值范围为A． B． C． D．6．（2025春•恩施州期中）在△中，角，，所对的边分别为，，，若，边上一点满足，，则的最小值为A． B．7 C．9 D．7．（2025春•鲤城区期中）在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，则当角取最大值时，△的周长为A． B． C．3 D．8．（2025春•烟台期中）△的内角，，的对边分别为，，，已知，且，，边上的中线，相交于点，且，则四边形的面积为A．1 B． C．2 D．9．（2025春•市中区期中）的内角，，的对边分别为，，，且，，若边的中线长等于3，则A． B． C． D．10．（2025春•无锡期中）在中，角的对边分别为、、，若，是的角平分线，点在上，，，则A． B． C． D．4二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•毕节市模拟）在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则A． B．△的周长的最大值为 C．当最大时，△的面积为 D．的取值范围为（多选）12．（2025•宁夏模拟）在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是A．若是高，则 B．若是中线，则 C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点（多选）13．（2025•嘉峪关模拟）在锐角△中，设，，，则下列说法正确的是A． B．边上的高是 C．△面积是 D．△内切圆的面积是（多选）14．（2025春•天心区期中）已知△中，角，，所对的边分别为，，，△的面积记为，若，，则A． B．△的外接圆周长为 C．的最大值为 D．若为线段的中点，且，则三．填空题（共4小题）15．（2025•立山区一模）在锐角△中，内角，，所对的边分别为，，，为△的面积，，则的取值范围为．16．（2025春•南通期末）在△中，，的角平分线交于，，则△面积的最小值为．17．（2025•黑龙江模拟）等边三角形△内接于等腰直角△，若△的斜边长为，则△面积的最小值是．18．（2025春•连云港月考）在锐角△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为．四．解答题（共6小题）19．（2025春•青秀区月考）在△中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）若，求△面积的最大值．（2）若的角平分线交于点，且，，求边的长度．20．（2025春•观山湖区月考）在锐角△中，角，，的对边分别为，，，已知且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．21．（2025春•安徽月考）在锐角△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求的大小；（2）若，求△周长的取值范围．22．（2025•牡丹江模拟）在△中，角，，的对边分别为，，，若．（1）求；（2）若△是锐角三角形，，求△面积的取值范围．23．（2025•安化县模拟）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，且．（1）若，求；（2）若△是锐角三角形，求△周长的取值范围．24．（2025•浙江模拟）在△中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求角和；（2）已知，设、为线段上的两个动点靠近点，且．①若，求△的周长；②当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ACAAACBDCA二．多选题（共4小题）题号11121314答案BCDBCABCAC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据余弦定理可求解，由三角形面积公式即可求解．【解答】解：在中，，，，由余弦定理可得，解得，所以．故选：．2．【答案】【分析】根据三角形的内角平分线定理，结合向量的线性运算法则推导出，然后根据平面向量数量积的运算性质与向量模的公式算出的长．【解答】解：因为，，所以，即是的平分线．根据三角形的内角平分线定理，可得，即．所以，两边平方得，所以，即的长为．故选：．3．【答案】【分析】根据题意作出示意图，求出长与，然后在△中利用余弦定理算出的长，可得答案．【解答】解：由题意得，，则，，，在△中，由余弦定理得，所以．故选：．4．【答案】【分析】由题意设，用表示出、、，然后根据余弦定理列式，结合算出的值，即可得到本题的答案．【解答】解：设，在△中，，同理可得，，分别在△、△中，根据余弦定理得，，因为，所以，整理，解得（舍负）．故选：．5．【答案】【分析】根据正弦定理，函数单调性即可求解．【解答】解：已知锐角三角形中，，，利用正弦定理，，结合，可得为外接圆半径），将，代入条件式，化简后得，故，，而，则，令，因三角形为锐角，，故，化简得：，分析函数单调性：当时，，当时，，因此，的取值范围为．故选：．6．【答案】【分析】先由余弦定理和正弦定理结合题设可得，由可得为角的平分线，再利用等面积法可得，进而利用基本不等式求解即可．【解答】解：根据题意可知，，根据正弦定理得，，则，即，所以根据正弦定理得，，又，所以，因为，即，故为角的平分线，且，利用等面积法，则，故，即，所以，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为9．故选：．7．【答案】【分析】根据余弦定理即可用表示，再根据基本不等式即可求解．【解答】解：已知，根据余弦定理，将代入，则，又因为，即，且，所以，将，，代入，，因为，假设，，此时，则，此时，取得最大值，此时，即，当，，时，△的周长为：．故选：．8．【答案】【分析】根据余弦定理，重心的性质即可求解．【解答】解：由，结合，得，即，因为，所以，则，，已知，设，在△中，由余弦定理，即，解得，△的面积，因为是中线，所以，是重心，，则，又，所以，四边形的面积．故选：．9．【答案】【分析】根据题意，利用正弦定理将已知等式化为角的关系式，由两角和的正弦公式及诱导公式求出，从而得出的大小，设的中点为，则，利用平面向量数量积的运算性质，算出边的大小．【解答】解：由，根据正弦定理得，所以，即，可得，所以，结合，可得，而，所以．设的中点为，则，可得，而，所以，结合，可知，解得或（舍负）．故选：．10．【答案】【分析】利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得的值，进而求得的值，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得，的值，进而根据余弦定理可得的值．【解答】解：因为，所以由正弦定理化简可得：，又，所以，因为，可得，由于，可得：，因为是的角平分线，在边上，可得，所以由余弦定理可得，，因为，所以，即，整理可得，，所以由余弦定理可得．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据正弦定理与余弦定理算出的值，结合求得角，可判断项的正误；利用余弦定理与基本不等式，求出△的周长的最大值，可判断项的正误；利用正弦定理与三角形的面积公式判断出项的正误；根据正弦定理、两角和与差的三角函数公式，结合正弦函数的值域判断项的正误．【解答】解：对于，由，结合正弦定理可得，整理得，所以，结合，得，故项错误；对于，因为，根据余弦定理得，即，所以，解得，故，当且仅当时，等号成立．所以△的周长，当时，△的周长的最大值为，故项正确；对于，由正弦定理得，所以，当且仅当时，取最大值，此时，，故项正确；对于，由前面的结论，可得，．所以，因为，即，所以，，可得，故项正确．故选：．12．【答案】【分析】根据题意，分别求为高线，中线，角平分线及等分线时的长，即可得出答案．【解答】解：在中，，，，由余弦定理得，又，，对于：若是高，，解得，故错误；对于：若是中线，，即，，故正确；对于：若是角平分线，则，即，解得，故正确；对于：若为线段的三等分点，或，，或，或，故错误．故选：．13．【答案】【分析】根据余弦定理，三角形面积公式即可求解．【解答】解：根据题意可知，，得，验证选项：用余弦定理，代入，，，得，故，正确；验证选项：设边上的高为，由，即，解得，正确；验证选项：面积，正确；验证选项：求内切圆半径，由，代入，，得，内切圆面积，错误．故选：．14．【答案】【分析】解：对于，根据正弦定理将变形，再结合三角形中，可得，再结合角的范围，即可求出角；对于，先由正弦定理求出，再根据圆的周长公式计算即可判断；对于，先由余弦定理求出的最大值，再根据三角形的面积公式计算即可判断；对于，分析出当时三角形恰好为等边三角形，再求出等边三角形的中线长即可判断．【解答】解：对于，因为，由正弦定理可得，即，又因为在△中，，所以可得，因为，所以，故正确；对于，由正弦定理可知，所以外接圆的周长为，故错误；对于，因为，，所以在△中由余弦定理可知，即，当且仅当时等号成立，所以，的最大值为，故正确；对于，由选项可知，当时，△必为等边三角形，此时中线，故错误．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得，再利用正弦定理，然后利用三角函数求解．【解答】解：根据题意可知，，则，故，由是△的内角，则，，根据正弦定理，，由△是锐角三角形，且，解得或（舍去），令，设，当时，单调递增，故，而，故．故答案为：．16．【答案】8．【分析】根据二倍角公式以及正弦定理边角转化可得为直角，由等面积法得，结合基本不等式即可求解【解答】解：设在△中，角，，所对的边分别为，，，根据题意可知，，，，根据正弦定理可得，故，根据题意可知，为的角平分线，，根据，得，整理得，即，，，当且仅当时取等号，，故△面积的最小值为8．故答案为：8．17．【答案】．【分析】首先利用正弦定理将等边三角形的边长用角表示出来，然后构造新函数，对新函数进行化简，利用三角函数的性质求出边长的范围，进而利用三角形面积公式可求出△面积的最小值．【解答】解：设，，则，在△中应用正弦定理，，其中，则，令，则，所以，令，则，当且仅当，时取到等号，此时取最小值，，所以△的面积，从而△的面积最小值为．故答案为：．18．【答案】．【分析】由余弦定理求出，然后根据，运用平面向量数量积的运算性质算出，再根据正弦定理与三角恒等变换公式化简出，结合角的取值范围利用正弦函数的性质求得线段长的取值范围．【解答】解：由平面向量数量积的定义可得，在△中，由余弦定理可得．在△中，点是线段的中点，则，所以．由，结合正弦定理得，，所以．因为△为锐角三角形，且，所以，解得，，所以．所以，可得，即线段的长的取值范围为．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根据余弦定理求出角，再利用基本不等式求出的最大值，进而得到三角形面积的最大值；（2）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解的长度．【解答】解：（1）根据题意可知，，即，由余弦定理可知，又，则；又，故，当且仅当时等号成立，△面积的最大值为；（2）根据题意可知，的角平分线交于点，则，又在△中，，即，即，解得．20．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由条件利用两角和差的三角公式求出，即可求解；（2）把边化为角利用三角函数的值域求解即可．【解答】解：（1）根据题意可知，，，，，，，又，，，；（2）根据正弦定理，，则，，所以的取值范围为．21．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角可得，再利用两角和公式及三角恒等变换化简可得，由此可求结论；（2）设△的外接圆半径为，利用正弦定理求，结合正弦定理可得，结合两角和关系消并化简，求的范围，结合正弦函数性质求结论．【解答】解：（1），由正弦定理可得，又，，，则，，，；（2）设△的外接圆半径为，，，，锐角△，，，，周长．22．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换求解即可；（2）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，进而结合锐角三角形条件即可求得，再根据正切函数的性质求解即可．【解答】解：（1）根据题意可知，，可知，根据正弦定理得，故，则，因为，所以，则，则，故，得或，，结合，可得；（2）由正弦定理可得，故，因为△为锐角三角形，故，解得，则，所以，故△面积的取值范围是．23．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据正弦定理即可求解；（2）根据锐角三角形的性质即可求解．【解答】解：（1），则，，或，，当，；（2），，，，，，，故周长范围．24．【答案】（1），；（2）①；②．【分析】（1）根据余弦定理化简，结合正弦定理与三角恒等变换公式推导出，可得．然后运用正弦定理与同角三角函数的关系化简，算出的值，进而可得角、的大小；（2）①由（1）的结论可得、，在△中求出角为直角，进而可得、的大小．然后在△中运用余弦定理求出长，进而证出△是直角三角形，运用锐角三角函数的定义求出、的长，可得△的周长；②设，分别在△