专题26 平面向量基本定理及坐标表示（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题26平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．常用结论：1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).►考点01平面向量基本定理的应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．提示：(1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．【例1】（2025春•南宁期末）在△中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则A．0 B． C． D．1【答案】【分析】选一组基底，利用平面向量基本定理即可求解．【解答】解：如图，因为是边上靠近点的三等分点，是的中点，所以，所以，又，且，不共线，所以．故选：．【例2】（2025春•观山湖区月考）在平行四边形中，是边靠近的四等分点，与交于点，设，，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据题设及向量对应线段的位置关系得、，结合即可得．【解答】解：如图，由已知得，，所以，因为是边靠近的四等分点，且，所以，则，所以．故选：．【例3】（2025•海淀区模拟）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，，根据平面向量的加法运算，讨论点在点处与处时的值，从而得的取值范围．【解答】解：如图，在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，，则，由于，要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处），当点在点处时，，当点在点处时，，所以的取值范围是．故选：．【例4】（2025春•杭州期末）在△中，，点平分线段．设，，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据三角形中线的性质算出，然后由化简，进而算出用表示的式子，可得答案．【解答】解：因为，点是线段的中点，所以．故选：．【例5】（2025春•安徽期末）如图，是平行四边形的边上一点，且，为的中点，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据平面向量的线性运算进行求解即可．【解答】解：由已知，，，所以．故选：．►考点02平面向量的坐标运算▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．【例6】（2025春•乌鲁木齐期末）已知向量，，若，则A． B． C． D．10【答案】【分析】利用向量平行的坐标表示直接求解即可．【解答】解：向量，，，则，解得．故选：．【例7】（2025春•红桥区月考）若向量，，则的坐标为A． B． C． D．【答案】【分析】利用平面向量的坐标运算求得结果．【解答】解：因为，，所以，则．故选：．【例8】（2025春•邵阳期末）已知，，且，则的坐标为A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，求得，结合向量的坐标运算，即可求解．【解答】解：因为，所以，解得，即，所以．故选：．【例9】（2025•渝中区模拟）已知向量，若，则的值为A． B．0 C． D．【答案】【分析】根据向量共线的性质求解即可．【解答】解：因为向量，故，，，，又，所以，解得．故选：．【例10】（2025春•安徽期末）已知向量，，，，则实数A．2 B．1 C．0 D．【答案】【分析】结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：向量，，则，，，则，解得．故选：．►考点03利用向量共线求向量或点的坐标▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．提示：(1)a∥b的充要条件不能表示为eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能为0.(2)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．【例11】（2025春•闵行区月考）已知点，点，且，则点的坐标为，．【答案】，．【分析】设点，根据平面向量的坐标运算及，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标．【解答】解：设点，则，，，即，解得，故点的坐标为，．故答案为：，．【例12】（2025春•北流市月考）若，，且是线段的一个三等分点（靠近点，则点的坐标为A． B． C．或 D．或【答案】【分析】直接利用分点坐标公式的应用求出结果．【解答】解：若，，且是线段的一个三等分点（靠近点，设，由题意知，整理得：，所以，即点的坐标为．故选：．【例13】（2025春•安徽月考）已知点，，若点满足，则点的坐标为A． B． C． D．【答案】【分析】结合向量的坐标运算法则，即可求解．【解答】解：设．，点，，则，，；，解得，即．．故选：．【例14】（2025春•东昌府区期中）在△中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为A． B． C． D．【答案】【分析】结合重心坐标公式，即可求解．【解答】解：是中线上一点，且，则为三角形的中心，设，，，则，解得．故选：．【例15】（2025春•宝山区期中）已知，，若，则点的坐标为A． B． C． D．【答案】【分析】由已知结合向量的坐标表示即可求解．【解答】解：设，则，，若，则，解得，．故选：．►考点04利用向量共线求参数▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．【例16】（2025春•宁波期末）已知向量，，若，则的值为A． B． C． D．3【答案】【分析】结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：向量，，，则，解得．故选：．【例17】（2025春•东莞市期中）已知向量．若与平行，则实数的值为A． B． C．1 D．【答案】【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：，，则，，与平行，则，解得．故选：．【例18】（2025春•沙县区期末）已知向量不共线，向量，则A． B． C． D．12【答案】【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：因为，不共线，所以，解得．故选：．【例19】（2025•仁寿县模拟）已知平面向量．若向量与共线，则实数的值为A．3 B． C． D．【答案】【分析】先由向量坐标的运算表示出与，再由向量共线的条件求出结果即可；【解答】解：由，可得，，因为向量与共线，所以，解得．故选：．【例20】（2025•东西湖区模拟）在矩形中，，，若，且，则A． B． C． D．5【答案】【分析】若，则，然后结合向量数量积的坐标表示即可求解．【解答】解：矩形中，，，，若，且，则，故，所以．故选：．►考点05解析法(坐标法)在向量中的应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼通过建立坐标系，把复杂的几何运算转化为便于操作的代数运算，使向量问题化繁为简．【例21】（2025•开封模拟）已知向量，，若，则A． B． C．0 D．1【答案】【分析】结合向量的坐标运算法则，即可求解．【解答】解：向量，，，则，解得，故．故选：．【例22】（2025春•江西月考）已知，，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为A． B． C． D．【答案】【分析】由题意有，结合已知向量坐标及线性运算的坐标表示求向量．【解答】解：因为，，所以，，由题意，，则．故选：．【例23】（2025春•广东月考）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为A． B．或 C． D．或【答案】【分析】根据平面向量的线性运算即可求解．【解答】解：因为为线段的一个三等分点