专题44 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题44双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质

一．选择题（共10小题）1．（2025春•昌江区期末）若双曲线C1与双曲线C2：有相同渐近线，且C1过点（2，3），则双曲线C1的标准方程为（）A． B． C．或 D．或2．（2025•焦作三模）若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为A．14 B．12 C．10 D．83．（2025春•安徽月考）若椭圆的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则双曲线的标准方程为A． B． C． D．4．（2025春•仙游县期末）已知双曲线的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线的实轴长为A．6 B．8 C．10 D．125．（2025春•昌江区期末）已知双曲线，斜率为的直线过原点且与双曲线交于，两点，且以为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为A． B． C． D．6．（2025•渝中区模拟）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线，的左焦点为，左、右顶点分别为、，点为双曲线左支上一点且满足轴，点为线段上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，若，则该双曲线的离心率为A． B． C．2 D．37．（2025•南昌一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则△的面积为A．20 B．12 C．24 D．108．（2025春•濮阳期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交的两条渐近线于，两点，且，则A． B． C． D．9．（2025春•周口期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若△的面积为12，则的值为A． B． C． D．110．（2025•临翔区模拟）双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点．若，且，则直线与的斜率之积为A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•泸州期末）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则A．的实轴长为 B．的离心率为 C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为（多选）12．（2025春•安康期末）已知双曲线的一条渐近线为．将的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为，则A． B．的离心率为 C．的一条渐近线为 D．的焦点到渐近线的距离为的（多选）13．（2024秋•山西期末）已知双曲线，则A．双曲线的实轴长为8 B．双曲线的虚轴长为3 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为（多选）14．（2025•广西模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为的离心率），则A． B．的虚轴长为 C． D．的一条渐近线的斜率为三．填空题（共4小题）15．（2025春•昌江区期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则．16．（2025春•上海月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于，两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是．17．（2025春•虹口区月考）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于．18．（2025春•虹口区月考）已知、是双曲线的左右焦点，是的一条渐近线，以为圆心的圆与相切于．若双曲线的离心率为，则．四．解答题（共6小题）19．（2025春•连云港期末）已知双曲线的离心率为，且过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线经过点，①若直线与双曲线的左支相切，求直线的方程；②若双曲线的右顶点为，直线与双曲线交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值．20．（2025春•毕节市期末）已知点，动点到直线的距离等于，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．21．（2025春•鹤壁期末）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F．过点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，其中B位于第一象限，且AB⊥AC．（1）求E的方程；（2）过点F且斜率为的直线l与E交于M，N两点，求△BMN的面积．22．（2025春•江西月考）已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上．（1）求双曲线的方程；（2）过点作斜率为的直线与双曲线交于，两点，若△的面积为，求实数的值．23．（2025•陕西模拟）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，点到双曲线上动点的距离的最小值为．（1）求的方程；（2）若过点的直线与的上支交于点、下支交于点，且，求的方程．24．（2025春•长安区期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，．（1）求的标准方程；（2）若，求直线的斜截式方程；（3）若，，三点不共线，且，证明：直线过定点．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BBDBBCCBAA二．多选题（共4小题）题号11121314答案BCBCDADACD一．选择题（共10小题）1．【答案】B【分析】根据共渐近线的双曲线方程为.代入点的坐标即可求解．【解答】解：根据题意可知，C1和C2有相同的渐近线，所以设双曲线C1的方程为，将（2，3）代入得，所以双曲线C1的方程为．故选：B．2．【答案】【分析】先利用双曲线的标准方程确定焦点坐标，再利用双曲线的定义求解即可．【解答】解：已知双曲线，则，，则，则双曲线的左、右焦点分别为，，因或，且，故．故选：．3．【答案】【分析】根据条件得出双曲线的顶点和焦点坐标即可．【解答】解：椭圆，则椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为，故双曲线的顶点为，焦点为，则双曲线的标准方程为．故选：．4．【答案】【分析】先利用渐近线的性质结合给定条件得到，，再代入中得到，进而求出实轴长即可．【解答】解：由双曲线的渐近线方程为，可得，即，而焦距为10，故，代入，可得，解得，则，则双曲线的实轴长为8．故选：．5．【答案】【分析】由题意设直线的方程，与双曲线的方程联立，求得，由题意可得，化简可得，的关系式，进而得到离心率的值．【解答】解：如图，由已知设直线的方程为，代入双曲线，可得，则，，设为双曲线的左焦点，又以为直径的圆经过，则，可得，即有，化为，解得或（舍去），则．故选：．6．【答案】【分析】根据图形，可得△△，以及△△，则可得，再由，可解得离心率．【解答】解：由已知得，△△，所以，同理，△△，所以，所以，因为，所以，得，故离心率．故选：．7．【答案】【分析】根据双曲线的几何性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形面积公式，即可求解．【解答】解：因为双曲线，所以，，，因为平分，所以，又，且过点，所以，且为的中点，所以，又，设，则，所以，所以，所以，，又，所以，所以，所以△的面积为．故选：．8．【答案】【分析】根据离心率，可得渐近线方程，设直线，，，，，线段中点为，联立渐近线方程和直线方程，可得、、三点坐标，再由，可得，可解得．【解答】解：因为双曲线的离心率为，所以，，故渐近线为，设直线，，，，，线段中点为，由，得，即，，由，得，即，，所以点，，因为，所以，即，整理得，解得．故选：．9．【答案】【分析】根据已知，可得点坐标以及直线的方程，再由△的面积为12，可得点的坐标，根据双曲线的定义可求出．【解答】解：由的方程可知，，直线的方程为，设，，因为△的面积为12，所以，因为点在第一象限，所以，故，又，得，所以，所以，即．故选：．10．【答案】【分析】由题意，不妨设，利用双曲线定义推出相关线段的长度，在和△中利用余弦定理，得到和，结合，，之间的关系得到，结合双曲线方程以及斜率公式进行求解即可．【解答】解：易知，又，不妨设，此时，，，，在中，，由余弦定理得，即，解得，在△中，由余弦定理得，即，此时，又，解得，又，所以，不妨设，，因为点在双曲线上，所以，即，又，，则．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】由直线方程求得焦点坐标，再求出双曲线的，得双曲线标准方程，然后判断各选项．【解答】解：直线与坐标轴的交点分别为和，因此双曲线的一个焦点为，即，又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以，由，解得，，实轴长为，故错误；，离心率为，故正确；，双曲线方程为，由解得，即，右焦点为，则，故正确，，曲线的顶点坐标为，故错误．故选：．12．【答案】【分析】根据双曲线渐近线可求出的值，再根据题中描述的变化，可求出双曲线．【解答】解：对于，且根据双曲线性质可得：的渐近线为，因为双曲线的一条渐近线为，所以其一条渐近线等价于，因为，故，得到，解得，故错误；对于，将代入方程，得到，所以的离心率为，故正确；对于，将的实轴，虚轴长度均变为原先的，则，其渐近线为，所以的一条渐近线为，故正确；对于，对于双曲线，焦点到渐近线的距离为，其中即为半虚轴长，由于的虚轴长为的，故的焦点到渐近线的距离为的，故正确．故选：．13．【答案】【分析】由曲线方程得到，，，从而知道曲线的实轴、虚轴长和离心率及渐近线的斜率．【解答】解：由，双曲线的实轴在轴，可得，，，实轴，虚轴，故选项正确，选项错误；离心率，故选项错误；渐近线方程，则斜率为，故选项正确．故选：．14．【答案】【分析】利用已知条件求解，求解虚轴长，求解离心率，渐近线的斜率，判断选项的正误即可．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，若，可得，即，所以，，，，渐近线的斜率为，所以、、正确，不正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】1或13．【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的性质求解．【解答】解：已知双曲线的渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为，不妨设，则，又，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则，则或，又，则或．故答案为：1或13．16．【答案】．【分析】利用点差法设，，，，代入椭圆方程可得可得，计算可得．【解答】解：因为，是双曲线的两点，设，，，，则，，两式相减得，因为是的中点，所以，，所以，又，，所以，解得，所以．故答案为：．17．【答案】．【分析】首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚轴长．【解答】解：已知方程表示双曲线，显然，将化为，若该方程表示双曲线，则且双曲线的标准方程为，即，则虚轴长．故答案为：．18．【答案】．【分析】以为圆心的圆与相切于点，，所以由点到直线的距离求出，由余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可求出的值．【解答】解：设一条渐近线为，则到直线的距离为，以为圆心的圆与相切于点，，，又双曲线的离心率为，，则，在△中，，在△，，解得：，根据余弦定理，，，故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）．（2）①．②证明见解析．【分析】（1）根据离心率得出，关系，再代入点的坐标即可求出，，写出标准方程；（2）①点斜式设出直线方程，联立双曲线方程，利用判别式为0求解；②根据直线与方程联立后根与系数的关系、斜率公式，求和后化简即可得证．【解答】解：（1）根据离心率，可得，即，因此双曲线为，代入点，可得，，所以双曲线为．（2）如图，①根据题意，直线斜率存在，设直线为，联立直线和双曲线方程可得，消元可得：，因为直线与双曲线相切，根的判别式△，即，解得，因此直线为，即．②证明：根据题意知，，设，，，，直线为，联立双曲线方程可得，可得，根据①知，根据韦达定理可得，，因此，所以为定值，证明完毕．20．【答案】（1）；（2）存在定点．【分析】（1）设出，根据题意列出等量关系，化简后得到轨迹方程；（2）设直线方程，和曲线联立，先假设存在这样的定点，利用韦达定理化简，对表达式是否可以为定值进行分析．【解答】解：（1）设点，故，而点到直线的距离为，因为动点到直线的距离等于，所以，即，所以动点的轨迹的方程为．（2）存在定点满足题意，解答如下：当直线斜率存在时，设过点的直线方程为，，，，，联立方程消去化简得，则，则，又，所以，将，代入化简得：，若为定值，不妨设为，则，则，要定值与无关，令，则，解得，所以存在定点，使得．当过的直线垂直轴时，此时，则，满足条件．所以在轴上存在定点，使得为定值．21．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直线BC的方程为x＝c，由已知可得b2＝1+c，进而求解即可得E的方程；（2）求得，设M（x1，y1），N（x2，y2），与双曲线联立方程组可得，，根据，可求面积．【解答】解：（1）因为双曲线，所以A（﹣1，0），设F（c，0）（c＞0），因为直线BC与x轴垂直，所以直线BC的方程为x＝c，将x＝c代入双曲线的方程中，解得y＝±b2，因为AB⊥AC，所以△ABC是等腰直角三角形，此时b2＝1+c，即c2﹣1＝1+c，解得c＝2（负值舍去），所以b2＝c2﹣1＝3，则双曲线的E的方程为；（2）由（1）可得F（2，0），设，M（x1，y1），N（x2，y2），且x1＜x2，联立，消去y并整理得26x2+4x﹣31＝0，由韦达定理得，，所以．由（1）得，|BF|＝3，又．所以．22．【答案】（1）；（2）或或．【分析】（1）设双曲线的半焦距为，由条件列关于，，的方程，解方程可求，，，由此可得结论；（2）设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法利用表示△的面积，列方程求可得结论．【解答】解：（1）设双曲线的半焦距为，由题意可知，①又因为在双曲线的渐近线上，所以，②由方程①和②解得，，所以双曲线的方程为．（2）由题意可设直线的方程为，联立方程可得①，所以，且方程①的判别式△，得且．设直线与双曲线交于，，，两点，有则，所以，解得或或，所以实数或或．23．【答案】（1）；（2