专题46 抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题46抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质

1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)开口方向向右向左向上向下对称轴x轴y轴顶点(0，0)离心率e＝1常用结论：1．抛物线方程一般首先转化为标准形式．2．在抛物线的标准方程中，焦点的位置与一次项系数的正负保持一致．3．焦点到原点的距离的4倍为一次项系数的绝对值．4．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．►考点01抛物线的定义及其应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径．【例1】（2024秋•亳州期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则A．3 B．4 C．5 D．6【答案】【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等即可得到结果．【解答】解：已知抛物线，则的准线为，因为到直线的距离为5，所以到直线的距离为3，即．故选：．【例2】已知抛物线的焦点为．若抛物线上的一点到直线的距离为3，则A．2 B．3 C．4 D．5【答案】【分析】由已知结合抛物线的定义即可求解．【解答】解：因为抛物线的焦点为，准线方程为，因为点到直线的距离为3，所以点到直线的距离为2，则．故选：．【例3】（2025•贵州三模）设抛物线上一点到直线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为2．【答案】2．【分析】由抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解．【解答】解：抛物线的焦点坐标为，由抛物线的定义得，到直线的距离，其中为垂足，则，当且仅当，，三点共线时取到等号．故答案为：2．【例4】（2025春•河北月考）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到轴的距离为4，则5．【答案】5．【分析】利用抛物线的定义可求得的值．【解答】解：抛物线的准线方程为，由题可得：点到准线的距离为5，由抛物线定义可得．故答案为：5．【例5】（2025•黑龙江一模）已知抛物线的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为．【答案】．【分析】根据抛物线的定义，先求出抛物线的准线方程，再结合抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，进而求出点到轴的距离．【解答】解：在抛物线中，可得，所以准线方程为．设点的坐标为，，由题：，即点到焦点的距离为，那么点到准线的距离也为．点到准线的距离为，所以．解方程，可得．所以点到轴的距离为．故答案为：．►考点02抛物线的标准方程▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼求抛物线标准方程的方法定义法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可待定系数法若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可设为y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，a的正负由题设来定，这样就减少了不必要的讨论【例6】（2025•新余模拟）已知抛物线的焦点为，过作抛物线的切线，切点为，，则抛物线的方程为A． B． C． D．【答案】【分析】不妨设，，由抛物线定义得，即解得，，利用导数得在点处的斜率，由两点的斜率公式即可求解．【解答】解：不妨设，，由抛物线定义知，，，，当时，，求导可得，，，又，解得，抛物线的方程为．故选：．【例7】（2025春•广东月考）已知抛物线的焦点为，过作斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段中点的纵坐标为3，则抛物线的方程是A． B． C． D．【答案】【分析】利用点差法可求出，可得抛物线的标准方程．【解答】解：设，，，，则，，所以，所以，因为线段中点的纵坐标为3，直线斜率为1，所以，所以抛物线的方程是．故选：．【例8】（2025春•顺义区月考）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为A． B． C． D．【答案】【分析】利用抛物线准线方程得到，从而求得其标准方程，由此得解．【解答】解：由题可设抛抛物线的标准方程为，所以，得，故所求抛物线的标准方程为．故选：．【例9】（2025•章丘区模拟）以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为A． B． C． D．【答案】【分析】不妨设点为抛物线上一点，由抛物线的定义可得出，化简可得出抛物线的方程．【解答】解：不妨设点为抛物线上一点，由抛物线的定义可得：点到原点的距离等于点到直线的距离，所以，即，即，即抛物线的方程为．故选：．【例10】（2024秋•于洪区期末）顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为A． B． C． D．【答案】【分析】根据已知设抛物线方程为，再把已知点代入即可求解．【解答】解：由题顶点在原点，关于轴对称，设抛物线方程为，将代入得，故方程为．故选：．►考点03抛物线的简单几何性质▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．【例11】（2025春•昌江区期末）抛物线的准线方程为A． B． C． D．【答案】【分析】整理成标准式方程即可得到准线方程．【解答】解：抛物线化为标准形式为，则准线方程为．故选：．【例12】（2025春•昭通期末）抛物线的焦点坐标为．【答案】．【分析】化成标准方程即可求解．【解答】解：将抛物线方程化为标准方程可得：，所以焦点坐标为．故答案为：．【例13】（2024秋•通州区期末）抛物线的焦点到准线的距离为A．16 B．8 C．4 D．2【答案】【分析】直接利用抛物线的性质，求解即可．【解答】解：抛物线，可得，抛物线的焦点到准线的距离为：4．故选：．【例14】（2025•会宁县二模）下列抛物线中，准线方程为的是A． B． C． D．【答案】【分析】由抛物线准线方程可判断选项正误．【解答】解：对于，准线为；对于，准线方程为；对于，因为，所以，则其准线方程为：；对于，因为，所以，则其准线方程为：，即选项对应的准线方程为．故选：．【例15】（2025•安徽模拟）抛物线的焦点坐标是A． B． C． D．【答案】【分析】化简抛物线方程为标准方程没然后求解焦点坐标．【解答】解：抛物线的标准方程为：，，则抛物线的焦点坐标．故选：．►考点04到焦点与到定点(动点)距离之和最小问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离或利用对称性进行距离之间的转化，再利用“三点共线”解决．【例16】（2025春•南阳期末）已知抛物线的焦点为，是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为A． B．4 C．2 D．【答案】【分析】根据抛物线的定义，求出抛物线的标准方程，根据抛物线的定义，判断出线段和的最小值，求出结果．【解答】解：抛物线的焦点为，是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得，在抛物线中，当时，，因此点在抛物线上方．过点作准线于，交抛物线于点，连接，过作准线于，连接，如图，显然，当且仅当点与点重合时取等号，所以．故选：．【例17】（2023秋•盐田区期末）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】【分析】过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，当、、三点共线时，小值．【解答】解：如图，过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，由抛物线的定义，可知，故．即当、、三点共线时，距离之和最小值为3．故选：．【例18】（2025•娄底模拟）已知，分别为圆和抛物线上的点，抛物线的焦点为．若点为以点为圆心，以1为半径的圆上的动点，则的最小值为A． B． C． D．【答案】【分析】由题意画出图形，根据三角形的三边关系求解．【解答】解：由圆，得，圆的半径，由抛物线，得，已知圆的半径．如图，因为，当且仅当点在线段上，点在线段上时，等号成立，所以，当且仅当点，，，，共线，且从左到右依次为点，，，，时两等号同时成立．故选：．【例19】（2025•建湖县模拟）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值为A． B． C． D．5【答案】【分析】根据图象的平移和抛物线的几何性质，得到曲线的焦点坐标为，准线方程为，过点作，根据抛物线的定义，得到，结合，即可求解．【解答】解：由抛物线，即，又由抛物线开口向上，且准线方程为，焦点为，所以抛物线的准线方程为，焦点坐标为，因为点是抛物线上任意点，则点到焦点的距离等于点到的距离，如图所示，过点作，可得，所以，当且仅当，，三点共线时，等号成立，所以的最小值为．故选：．【例20】（2025•卓尼县模拟）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为A．4 B．6 C．7 D．8【答案】【分析】利用直接法或定义法求得点的轨迹方程，再结合抛物线的定义与焦半径公式，求解即可．【解答】解：方法一：设，动点到点的距离比到直线的距离小2，，化简得，即点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，如图，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，得，，当且仅当，，三点共线时，等号成立，即的最小值为7．方法二：设，点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小2，动点到点的距离等于到直线的距离，点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，抛物线的方程为，以下过程同方法一．故选：．►考点05到定直线的距离最小问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，利用“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．【例21】（2025春•岳阳期末）已知直线与抛物线交于，两点，且满足，，则线段中点到轴距离的最大值为A． B． C．2 D．1【答案】【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义可得，利用余弦定理结合基本不等式可得，即可得结果．【解答】解：已知直线与抛物线交于，两点，且，，取线段的中点，设，，在准线的投影分别为，，，则，，可得，在△中，由余弦定理可得，即，可得，解得，可得，当且仅当时，等号成立，可得，又因为线段的中点到轴距离的为，所以线段中点到轴距离的最大值为．故选：．【例22】（2025•山西模拟）已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为A． B． C． D．【答案】【分析】设，，利用导数的几何意义求出抛物线在点、的切线方程，进而求得，则点的轨迹为一条直线，确定线段的最小值为点到直线的距离，结合点线距公式计算即可求解．【解答】解：设，，由，得（不妨设，则，所以抛物线在点的切线斜率为，得抛物线在点的切线方程为，即，同理可得抛物线在点处的切线方程为，，解得，即，又因为直线的斜率，所以直线的方程为，即，将点代入直线的方程得：①，设点坐标为，则①式可整理为：，即，所以点的轨迹为一条直线．所以线段的最小值为点到直线的距离，即为．故选：．【例23】（2025春•闵行区期末）抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则的最小值为A．1 B．2 C．4 D．8【答案】【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线上的所有点中顶点到焦点的距离最小得答案．【解答】解：由抛物线，得，又点是抛物线上任意一点，则当为坐标原点时，取得最小值为．故选：．【例24】（2025•肥城市模拟）过，倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，当取得最小值时，的值为A． B． C． D．【答案】【分析】设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，结合抛物线的定义与基本不等式，可得取到最小值时，，，再写出点的坐标，并代入直线的方程，求出的值，然后利用同角三角函数的基本关系，求解即可．【解答】解：设直线的方程为，，，，，联立，得，所以，，所以，，由抛物线的定义知，，，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，，因为，所以，，不妨取，，代入，有，解得，所以，所以．故选：．【例25】（2025•枣庄模拟）已知抛物线的焦点为，，为抛物线上的两点，满足，线段的中点为，到抛物线的准线的距离为，则的最大值为A． B． C． D．【答案】【分析】由题意，利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合基本不等式计算即可求解．【解答】解：设，，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，此时，，因为点为线段的中点，又点到抛物线的准线的距离为，所以，在△中，因为，，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，则的最大值为．故选：．►考点06直线与抛物线的综合问题▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼利用抛物线的定义、几何性质来研究直线与抛物线的位置关系时：如果是判断直线与抛物线的位置关系，可以通过联立方程，利用方程组的解的个数来判断；如果涉及弦长问题，可以利用弦长公式解决；如果涉及面积问题，往往需要利用弦长公式、面积公式、构建目标函数来解决问题．【例26】（2025春•大同期末）已知抛物线，，为坐标原点，过点的直线与交于，不同的两点，若，则△的面积为A． B． C． D．【答案】【分析】设直线方程为，，，，，，，联立抛物线并应用韦达定理得，，结合已知向量线性关系有，进而求出，的纵坐标，应用三角形面积公式求面积．【解答】解：根据题意，直线的斜率不为0，可设直线为，设，，，，，，联立可得，化简得，根的判别式△，根据韦达定理得，，根据，，又因为，则，根据，那么，解得，，因此．故选：．【例27】（2025春•廊坊月考）已知点和点是曲线上的不同两点，割线的斜率为3，点的横坐标为2，点的横坐标为4，则A．3 B． C． D．【答案】【分析】求出点、的坐标，利用斜率公式可求得割线的斜率，构造等式求解即可．【解答】解：当时，，即点，当时，，即点，因为割线的斜率为3，所以，解得．故选：．【例28】（2025•白银区三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则△面积的最小值为A．24 B．18 C．16 D．12【答案】【分析】由题意，得到抛物线的方程，设出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式求解即可．【解答